Phương pháp giải:

+) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa \({{d}_{1}}\) và song song với \({{d}_{2}}\).

+) Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa \({{d}_{1}}\) và vuông góc với (P).

+) Gọi M là giao điểm của (Q) và \({{d}_{2}}\).

+) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P) thì \(\Delta \) là đường vuông góc chung của \({{d}_{1}};\ \ {{d}_{2}}\).

+) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với \({{d}_{1}};\ \ {{d}_{2}}\).

Khi đó AB chính là đoạn vuông góc chung của \({{d}_{1}};\ \ {{d}_{2}}\).

+) Mặt cầu cần tìm có tâm I là trung điểm của AB và bán kính là: \(\frac{AB}{2}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;1;3 \right);\,\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;2;3 \right)\) lần lượt là VTCP của d1 và d¬2.

Lấy \(M\left( -1;-1;-1 \right)\in {{d}_{1}},M'\left( 2;0;3 \right)\in {{d}_{2}}\Rightarrow \overrightarrow{MM'}=\left( 3;1;4 \right)\)

Ta có : \(\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -3;-3;3 \right)\) \(\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{MM'}=-3.3-3.1+3.4=0 \)

\(\Rightarrow\) Hai đường thẳng d1 và d2 đồng phẳng cắt nhau, do đó không có đường vuông góc chung.

Không có đáp án.

Phương pháp giải:

Gọi d là đường vuông góc chung của d₁ và d₂.

Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}M = d \cap {d_1}\\N = d \cap {d_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .{\overrightarrow u _1} = 0\\\overrightarrow {MN} .{\overrightarrow u _2} = 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có : \({{\overrightarrow{u}}_{1}}=\left( 1;0;1 \right);{{\overrightarrow{u}}_{2}}\left( 0;-2;3 \right)\) lần lượt là 1 VTCP của d₁ và d₂.

Gọi d là đường vuông góc chung của d₁ và d₂.

Gọi \(M=d\cap {{d}_{1}}\Rightarrow M\in {{d}_{1}}\Rightarrow M\left( 1+t;0;-5+t \right);\,\,N=d\cap {{d}_{2}}\Rightarrow N\in {{d}_{2}}\Rightarrow N\left( 0;4-2t';5+3t' \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - t - 1; - 2t' + 4;3t' - t + 10} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .{\overrightarrow u _1} = 0\\\overrightarrow {MN} .{\overrightarrow u _2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - t - 1 + 3t' - t + 10 = 0\\4t' - 8 + 9t' - 3t + 30 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t' =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {4;0; - 2} \right)\\N\left( {0;6;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 4;6;4} \right) = 2\left( { - 2;3;2} \right)\end{array}\)

Vậy đường vuông góc chung của d₁ và d₂ đi qua \(M\left( 4;0;-2 \right)\) và nhận \(\left( -2;3;2 \right)\) là 1 VTCP nên có phương trình  \(\frac{x-4}{-2}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{2}\) .

Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow{{{n}_{P}}}=(3,1,0)\)  và \(\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=(2,1,1)\).

Gọi \(\left( d \right)\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) ta có  

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm  \(M\left( 1,2,3 \right)\) và song song với  là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}&{}\\{y = 2 - 3t}&{}\\{z = 3 + t}&{}\end{array}} \right.\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ hai điểm M, N bằng cách xây dựng vectơ chỉ phương , sau đó tìm tọa độ trung điểm I

Lời giải chi tiết:

Ta có : 

\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3a\\y =  - 1 + a\\z = 2 + 2a\end{array} \right.;{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2b\\y = 3 + 4b\\z = b\end{array} \right..\)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \({{\vec{u}}_{\Delta }}=\left( 3;-\,4;1 \right).\)

Điểm \(M\in {{d}_{1}}\)\(\Rightarrow M\left( 3a+1;a-1;2a+2 \right)\) và \(N\in {{d}_{2}}\)\(\Rightarrow N\left( 2b-2;4b+3;b \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow{MN}=\left( 2b-3a-3;4b-a+4;b-2a-2 \right)\) mà \(M,\,\,N\in \Delta \)\(\Rightarrow \)\(\overrightarrow{MN}\)//\({{\vec{u}}_{\Delta }}\)

Do đó \(\frac{{2b - 3a - 3}}{3} = \frac{{4b - a + 4}}{{ - 4}} = \frac{{b - 2a - 2}}{1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{4}{3}\\b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( { - 3; - \frac{7}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\\N\left( { - 4; - 1; - 1} \right)\end{array} \right..\)

Vậy tọa độ trung điểm của \(MN\) là \(I\left( -\frac{7}{2};-\frac{5}{3};-\frac{5}{6} \right).\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Lấy M bất kì thuộc \({\Delta _2}\). Vì \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Rightarrow M \in {\Delta _1}\), thay tọa độ điểm M vào \({\Delta _1}\) để tìm m.

Lời giải chi tiết:

Lấy \(M\left( {1;1;1} \right) \in {\Delta _2}\), vì \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Rightarrow M \in {\Delta _1} \Rightarrow {1 \over 1} = {{1 + 1} \over 2} = {{1 + m} \over 1} \Rightarrow m = 0\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Kiểm tra \(d\subset \left( \alpha  \right)\)

+) Gọi \(B=\Delta \cap \left( Oxy \right)\Rightarrow B\left( a;b;0 \right)\Rightarrow B\in \left( \alpha  \right),\) thay tọa độ điểm B vào phương trình \(\left( \alpha  \right)\Rightarrow \) 1 phương trình 2 ẩn a, b.

+) \(d//\Delta \Rightarrow d\left( \left( d \right);\left( \Delta  \right) \right)=d\left( B;\left( d \right) \right)=3.\) Sử dụng công thức tính khoảng cách \(d\left( B;\left( d \right) \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{BM};{{{\vec{u}}}_{d}} \right] \right|}{\left| {{{\vec{u}}}_{d}} \right|}\) , lập được 1 phương trình 2 ẩn chứa a, b.

+) Giải hệ phương trình tìm a, b \(\Rightarrow \) Tọa độ điểm B \(\Rightarrow \) Độ dài AB.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy \(d//\left( \alpha  \right)\) và \(\left( -\,1;-\,2;-\,3 \right)\in \left( \alpha  \right)\)\(\Rightarrow \,\,d\subset \left( \alpha  \right).\)

Ta có \(B=\Delta \cap \left( Oxy \right)\Rightarrow B\left( a;b;0 \right)\) mà \(B\in \Delta \subset \left( \alpha  \right)\)\(\Rightarrow \,\,2a+b-2=0\Rightarrow b=2-2a\)

Lại có \(d\)//\(\Delta \)\(\Rightarrow \,\,d\left( \left( d \right);\left( \Delta  \right) \right)=d\left( B;\left( d \right) \right)=3.\) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( 0;0;-\,1 \right),\) có \({{\vec{u}}_{d}}=\left( 1;2;2 \right).\)

\(\overrightarrow{BM}=\left( -a;-b;-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BM};\overrightarrow{u} \right]=\left( -2b+2;-1+2a;-2a+b \right)\)

Do đó

\(\begin{array}{l}
d\left( {B;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BM} ;{{\vec u}_d}} \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_d}} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {2b - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2a} \right)}^2} + {{\left( {2a - b} \right)}^2}} }}{3} = 3\\
\Leftrightarrow {\left( {2b - 2} \right)^2} + {\left( {1 - 2a} \right)^2} + {\left( {2a - b} \right)^2} = 81 \Leftrightarrow {\left( {2 - 4a} \right)^2} + {\left( {1 - 2a} \right)^2} + {\left( {4a - 2} \right)^2} = 81\\
\Leftrightarrow {\left( {1 - 2a} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - 2a = 3\\
1 - 2a = - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = - 1\\
a = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = - 1\\
b = 4
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 1;4;0} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = - 2
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2; - 2;0} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(AB=\frac{7}{2}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Vì điểm M thuộc d nên tham số hóa tọa độ điểm M, tính tổng \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\) đưa về khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất

Lời giải chi tiết:

Vì \(M\in \left( d \right)\Rightarrow \,\,M\left( t+1;2-2t;2t+3 \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{align}  \overrightarrow{AM}=\left( t-2;4-2t;2t \right) \\  \overrightarrow{BM}=\left( t;2-2t;2t-2 \right) \\ \end{align} \right..\)

Khi đó \(T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}={{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4-2t \right)}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( 2-2t \right)}^{2}}+{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}=18{{t}^{2}}-36t+28.\)

Dễ thấy \(18{{t}^{2}}-36t+28=18\left( {{t}^{2}}-2t+1 \right)+10=18{{\left( t-1 \right)}^{2}}+10\ge 10\)\(\Rightarrow \,\,M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\ge 10.\)

Vậy \({{T}_{\min }}=10.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(t=1\Rightarrow M\left( 2;0;5 \right).\)

Chọn A

Phương pháp giải:

- Vì \(\left( S \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(d\) nên bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \(R = d\left( {A;d} \right)\).

- Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: \(d\left( {A;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\) trong đó \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của \(d\), \(M\) là điểm bất kì thuộc \(d\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 2 + t\\z =  - 3 - t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 1} \right)\) và đi qua \(M\left( { - 1;2; - 3} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 2;4; - 6} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {2; - 14; - 10} \right)\\ \Rightarrow d\left( {A;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 14} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 5\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = 5\sqrt 2 \).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Gọi \(A = \Delta  \cap {d_1},\,\,B = \Delta  \cap {d_2}\). Tham số hóa tọa độ hai điểm \(A,\,\,B\).

- \(\Delta \parallel d \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow u \) (với \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP của đường thẳng \(d\)).

- Giải hệ phương trình tìm tham số, từ đó tìm tọa độ \(A,\,\,B\).

- Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) hoặc \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}A = \Delta  \cap {d_1} \Rightarrow A\left( { - 1 + 2{t_1}; - 1 + {t_1};2 - {t_1}} \right)\\B = \Delta  \cap {d_2} \Rightarrow B\left( {1 - {t_2};2 + {t_2};3 + 3{t_2}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - {t_2} - 2{t_1} + 2;{t_2} - {t_1} + 3;3{t_2} + {t_1} + 1} \right).\)

Vì \(\Delta \) song song \(d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}\) nên \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow u \) (trong đó : \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 1} \right)\) là 1 VTCP của \(d\)).

\( \Leftrightarrow \)\(\dfrac{{ - {t_2} - 2{t_1} + 2}}{1} = \dfrac{{{t_2} - {t_1} + 3}}{1} = \dfrac{{3{t_2} + {t_1} + 1}}{{ - 1}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - {t_2} - 2{t_1} + 2}}{1} = \dfrac{{{t_2} - {t_1} + 3}}{1}\\\dfrac{{{t_2} - {t_1} + 3}}{1} = \dfrac{{3{t_2} + {t_1} + 1}}{{ - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2{t_2} - {t_1} = 1\\4{t_2} + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\{t_2} =  - 1\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow A\left( {1;0;1} \right),\,\,\,B\left( {2;1;0} \right).\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;0;1} \right)\) và có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {1;1; - 1} \right)\) là : \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}} .\)

- Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right)\) có phương trình chính tắc là:

\(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;3} \right).\)

Vì \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}  \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2; - 1;3} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là: \(\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{3}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tham số hóa tọa độ điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\) theo biến \(t\).

- Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) tìm \(t\).

- Suy ra các giá trị \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {1 + 2t; - 1 + t;2t} \right) \in d.\)

Vì \(M \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow 1 + 2t - \left( { - 1 + t} \right) + 2.2t + 3 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5t + 5 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\\ \Rightarrow M\left( { - 1; - 2; - 2} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 2\\c =  - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 9.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Cho \(x = 0\) và \(y = 0\), tìm hai điểm \(A,\,\,B\) cùng thuộc hai mặt phẳng.

- Viết phương trình đường thẳng giao tuyến là đường thẳng đi qua 2 điểm \(A,\,\,B\).

Lời giải chi tiết:

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - z - 8 = 0\\3x + 4y - z - 11 = 0\end{array} \right.\) là tập hợp các điểm cùng thuộc hai mặt phẳng.

Cho \(x = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z - 8 = 0\\4y - z - 11 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z =  - 7\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;1; - 7} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right).\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - z - 8 = 0\\3x - z - 11 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\z =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {3;0; - 2} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right).\)

Khi đó đường thẳng \(d\) là giao tuyến của \(\left( P \right);\left( Q \right)\) là đường thẳng đi qua \(A,\,\,B\), nhận  \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 1;5} \right)\) là 1 VTCP. Do đó chỉ có đáp án A thỏa mãn.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Viết phương trình đường thẳng \(IA\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

- Tìm tọa độ điểm \(I = IA \cap \left( P \right)\).

- Mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A\) có bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}} \).

- Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right) \Rightarrow IA \bot \left( P \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{IA}}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(IA\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(IA\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 - 2t\\z = t\end{array} \right.\).

Gọi \(I\left( {2 + t; - 1 - 2t;t} \right) \in \left( {IA} \right)\). Mà \(I\) \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right) \Rightarrow I \in \left( P \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2 + t - 2.\left( { - 1 - 2t} \right) + t + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\\ \Rightarrow I\left( {1;1; - 1} \right)\end{array}\)

Khi đó bán kính mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A\) là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt 6 .\)

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1;1; - 1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 6 \) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tìm bán kính của mặt cầu: Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

- Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) dựa vào định lí Pytago.

- Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \(I\) đến \(\Delta \) là: \(d\left( {I;\left( \Delta  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) với \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), \(M\) là điểm bất kì trên đường thẳng \(\Delta \).

- Giải phương trình tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + m = 0\) có tâm \(I\left( { - 2;3;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {4 + 9 - m}  = \sqrt {13 - m} \) với \(m \le 13\).

Gọi \(O\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow IO \bot AB\) và \(OA = OB = \dfrac{1}{2}AB = 4\).

Đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) có 1 vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;2} \right)\) và \(M\left( {4;3;3} \right) \in \left( \Delta  \right)\) bất kì.

Ta có: \(\overrightarrow {IM}  = \left( {6;0;3} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right] = \left( { - 3; - 6;6} \right).\)

\( \Rightarrow d\left( {I;\left( \Delta  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow n } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {9 + 36 + 36} }}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 3 = IO.\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAI\) ta có:

\(\begin{array}{l}I{A^2} = I{O^2} + O{A^2}\\ \Leftrightarrow 13 - m = 9 + 16\\ \Leftrightarrow m =  - 12\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z + 9 = 0\) tại điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\) nên \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(\left( P \right)\).

- Viết phương trình đường thẳng \(OH\) đi qua \(O\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

- Tìm \(H = OH \cap \left( P \right)\).

- Xác định \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính tổng.

Lời giải chi tiết:

Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z + 9 = 0\) tại điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\) nên \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(\left( P \right)\).

\( \Rightarrow OH \bot \left( P \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(OH\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2t\\z = 2t\end{array} \right.\).

Vì \(H \in OH \Rightarrow H\left( {t; - 2t;2t} \right)\).

Lại có \(H \in \left( P \right) \Rightarrow t - 2.\left( { - 2t} \right) + 2.2t + 9 = 0\) \( \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\).

\( \Rightarrow H\left( { - 1;2; - 2} \right) \Rightarrow a =  - 1,\,\,b = 2,\,\,c =  - 2\).

Vậy \(a + b + c =  - 1 + 2 + \left( { - 2} \right) =  - 1.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Gọi \(H = d \cap \left( P \right)\), khi đó \(H = d \cap d'\). Xác định tọa độ điểm \(H\).

- \(\left\{ \begin{array}{l}d' \subset \left( P \right)\\d \bot d'\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right]\).

- Viết phương trình đường thẳng đi qua \(H\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H = d \cap \left( P \right)\).

Vì \(H \in d \Rightarrow H\left( {2t;3 + t;2 - 3t} \right).\)

Mà \(H \in \left( P \right) \Rightarrow 2t - \left( {3 + t} \right) + 2\left( {2 - 3t} \right) - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 5t - 5 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Rightarrow H\left( { - 2;2;5} \right)\)

Gọi đường thẳng cần tìm là \(d'\). Vì \(d' \subset \left( P \right)\) và \(d'\) cắt \(d\) nên \(H \in d'\) .

Gọi \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 3} \right)\) là 1 VTCP của \(d\), \(\overrightarrow n \left( {1; - 1;2} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\).

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}d' \subset \left( P \right)\\d \bot d'\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 1; - 7; - 3} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(d'\).

\( \Rightarrow \left( {1;7;3} \right)\) cũng là 1 VTCP của đường thẳng \(d'\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d'\) cần tìm là: \(\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{7} = \dfrac{{z - 5}}{3}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có tâm \(I\) thì \(I\)chính là hình chiếu của tâm mặt cầu \(\left( S \right)\)lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Xác định tâm \(A\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).

- Viết phương trình đường thẳng \(AI\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(mp\left( P \right)\).

- Tìm \(I\) là giao điểm của \(AI\) và \(\left( P \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 45\) có tâm là \(A\left( {1;2; - 1} \right).\)

Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có tâm \(I\) thì \(I\)chính là hình chiếu của tâm mặt cầu \(\left( S \right)\)lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Do đó \(AI\) là đường thẳng đi qua \(A\). và vuông góc với \(mp\left( P \right)\).

Ta có \({\overrightarrow u _{IA}} = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\). Suy ra phương trinh đường thẳng \(AI:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z =  - 1 - t\end{array} \right.\).

Vì \(I \in AI\) nên gọi \(I\left( {1 + t;2 + t; - 1 - t} \right).\)

Mặt khác \(I \in \left( P \right)\), nên ta có: \(1 + t + 2 + t + 1 + t - 13 = 0 \Leftrightarrow 3t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3.\)

\( \Rightarrow I\left( {4;5; - 4} \right) \Rightarrow a = 4,\,\,b = 5,\,\,c =  - 4.\)

Vậy \(a + b + c = 4 + 5 + \left( { - 4} \right) = 5.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Lấy điểm \(B\) bất kì thuộc đường thẳng \(d\).

- \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( P \right)\\d \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\) với \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(d\), \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(B\left( {0;1;3} \right) \in d\). Mà \(d \subset \left( P \right)\)\( \Rightarrow B\left( {0;1;3} \right) \in \left( P \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;2;1} \right)\)

Đường thẳng d có 1 vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 2} \right)\)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 5; - 5; - 5} \right)\parallel \left( {1;1;1} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( P \right)\\d \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} \) cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\). Do đó \(\left( P \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;1} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(x - 3 + y + 1 + z - 2 = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận \(\overrightarrow {AB} \) là 1 VTCP.

- Đường thẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 4; - 2} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \) , suy ra \(\overrightarrow u \left( {1;2;1} \right)\) cũng là 1 VTCP của \(\Delta \).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;4;4} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {1;2;1} \right)\) là: \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 4}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{1}\).

Ta thấy \(M\left( {0;2;3} \right) \in \Delta \) , do đó phương trình \(\Delta \) cũng có dạng \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{1}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Gọi giao điểm của đoạn vuông góc chung với hai đường thẳng đã cho.

- Áp dụng tính chất vuông góc để tìm hai giao điểm đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A \in {d_1}:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 4}}{1} = \dfrac{z}{{ - 2}} \Rightarrow A\left( {a + 2;a + 4; - 2a} \right)\)

       \(B \in {d_2}:\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}} \Rightarrow B\left( {2b + 3; - b - 1; - b - 2} \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2b - a + 1; - b - a - 5; - b + 2a - 2} \right)\)

Mà \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;1; - 2} \right);\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b - a + 1 - b - a - 5 - 2\left( { - b + 2a - 2} \right) = 0\\2\left( {2b - a + 1} \right) + b + a + 5 + b - 2a + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a + 3b = 0\\ - 3a + 6b + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;3;2} \right)\\B\left( { - 1;1;0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy trung điểm M của AB là \(M\left( {0;2;1} \right) \Rightarrow OM = \sqrt 5 .\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm \(\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {NP} \)

- Áp dụng công thức tính góc giữa hai vecto: \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {NP} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NP} }}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {NP} } \right|}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(M\left( {2;3; - 2} \right),N\left( { - 1;1;0} \right),P\left( {1; - 1;1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 3; - 2;2} \right);\overrightarrow {NP}  = \left( {2; - 2;1} \right)\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {NP} } \right) = \dfrac{{ - 3.2 + 4 + 2}}{{\sqrt {9 + 4 + 4} .\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 0\)

Nên góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {NP} \) bằng \(90^\circ \).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tìm phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa d và vuông góc với \(\left( P \right)\).

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( Q \right)\) và \(\left( P \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  \bot \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1; - 1;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_d}} ;\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( {0; - 2; - 2} \right)\)

Mà \(I\left( {0;0; - 1} \right) \in d \Rightarrow I\left( {0;0; - 1} \right) \in \left( Q \right)\)

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(y + z + 1 = 0\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y + z + 1 = 0\\x - y + z + 1 = 0\end{array} \right.\)

+) Cho \(x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + z =  - 1\\ - y + z =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0; - 1} \right)\)

+) Cho \(z = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x - y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 2; - 1;0} \right)\)

Phương trình hình chiếu của d trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {0;0; - 1} \right);B\left( { - 2; - 1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BA}  = \left( {2;1; - 1} \right)\)

Có phương trình là \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Xác định điểm \(B \in d\) và \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của d.

- Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của (P). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( P \right)\\AB \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {AB} } \right]\).

- Mặt phẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) có phương trình

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua \(B\left( {2;1; - 1} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;2;3} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;4; - 4} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 20;4;4} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của (P).  Vì \(\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( P \right)\\AB \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 20;4;4} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow n \left( {5; - 1; - 1} \right)\) cũng là 1 VTPT của (P).

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \(5\left( {x - 2} \right) - \left( {y + 3} \right) - \left( {z - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 5x - y - z - 10 = 0\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d:  \(d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IA} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) với A là điểm bất kì thuộc đường thẳng d, \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP của đường thẳng d.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}\) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;1} \right)\) và đi qua \(A\left( {1;0;0} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = \left( {0;0; - 2} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IA} ;\overrightarrow n } \right] = \left( { - 2; - 4;0} \right).\)

Vậy \(d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IA} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {4 + 16} }}{{\sqrt {4 + 1 + 1} }} = \dfrac{{\sqrt {30} }}{3}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Áp dụng công thức tính chu vi hình tròn.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\) có tâm là \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và bán kính \(R = 5\).

Gọi r là bán kính của đường tròn có chu vi bằng \(6\pi  \Rightarrow 2\pi r = 6\pi  \Leftrightarrow r = 3\)

Ta có \({R^2} = {r^2} + d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}^2 \Rightarrow {d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}} = 4\)

Mà \({d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}} = \dfrac{{\left| {m - 5} \right|}}{3} \Rightarrow \dfrac{{\left| {m - 5} \right|}}{3} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 17\\m =  - 7\end{array} \right.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Xác định vecto chỉ phương của hai đường thẳng: Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + bt\end{array} \right.\), \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\).

- Kiểm tra mối quan hệ của 2 VTCP:

   + Nếu \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương thì \(\left( {{d_1}} \right)\parallel \left( {{d_2}} \right)\) hoặc \(\left( {{d_1}} \right) \equiv \left( {{d_2}} \right)\).

   + Nếu \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\) thì \(\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 3 + 4t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {2;3;4} \right)\).

Đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):\dfrac{{x - 3}}{4} = \dfrac{{y - 5}}{6} = \dfrac{{z - 7}}{8}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {4;6;8} \right)\).

Dễ thấy \(\overrightarrow {{u_2}}  = 2\overrightarrow {{u_1}} \), do đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.

Lấy \(A\left( {1;2;3} \right) \in \left( {{d_1}} \right)\), thay vào phương trình đường thẳng \({d_2}\) ta có: \(\dfrac{{1 - 3}}{4} = \dfrac{{2 - 5}}{6} = \dfrac{{3 - 7}}{8} =  - \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow A \in {d_2}\).

Vậy \(\left( {{d_1}} \right) \equiv \left( {{d_2}} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm.

- Gọi \(M = \Delta  \cap d,\,\,\,N = \Delta  \cap d'\), tham số hóa tọa độ điểm M và N.

- Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0\end{array} \right.\), với \(\overrightarrow {{u_d}} ,\,\,\overrightarrow {{u_{d'}}} \) lần lượt là 1 VTCP của đường thẳng d và d’.

- Tìm tọa độ điểm M, N, từ đó viết phương trình đường thẳng đi qua M, N.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm.

Gọi \(M\left( {2a + 2;3a + 3; - 5a - 4} \right) = \Delta  \cap d,\) \(N\left( {3b - 1; - 2b + 4; - b + 4} \right) = \Delta  \cap d'\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( {3b - 2a - 3; - 2b - 3a + 1; - b + 5a + 8} \right)\).

Đường thẳng d có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;3; - 5} \right)\), đường thẳng d’ có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {3; - 2; - 1} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot d\\MN \bot d'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {3b - 2a - 3} \right) + 3\left( { - 2b - 3a + 1} \right) - 5\left( { - b + 5a + 8} \right) = 0\\3\left( {3b - 2a - 3} \right) - 2\left( { - 2b - 3a + 1} \right) - 1\left( { - b + 5a + 8} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5b - 38a - 43 = 0\\14b - 5a - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {0;0;1} \right)\\N\left( {2;2;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {2;2;2} \right)\parallel \left( {1;1;1} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(\Delta :\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tham số hóa tọa độ.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{d_1}:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2} = a \Rightarrow B\left( {a + 1; - a - 1;2a} \right)\\{d_2}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{z}{1} = b \Rightarrow C\left( {b;2b + 1;b} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {b - 5;2b + 4;b - 5} \right)\\\overrightarrow {AB}  = \left( {a - 4; - a + 2;2a - 5} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - 5 = k\left( {a - 4} \right)\\2b + 4 = k\left( { - a + 2} \right)\\b - 5 = k\left( {2a - 5} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\k = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow B\left( {2; - 2;2} \right),C\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\\ \Rightarrow BC = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {19} \end{array}\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Lấy điểm bất kỳ

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {Oyz} \right):x = 0\\A\left( { - 3;1;1} \right),B\left( {0;\dfrac{5}{2};\dfrac{{ - 7}}{2}} \right) \in d\end{array}\)

Hình chiếu của A,B lên (Oyz) lần lượt là \(A'\left( {0;1;1} \right),B'\left( {0;\dfrac{5}{2};\dfrac{{ - 7}}{2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {A'B'}  = \left( {0;\dfrac{3}{2};\dfrac{{ - 9}}{2}} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {0;1; - 3} \right)\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right)\) là: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}.\)

Đường thẳng \(d//d' \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = k\overrightarrow {{u_{d'}}} \,\,\left( {k \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\Delta :\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 3}}{5}\) có VTCP là: \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2; - 1;\,\,5} \right).\)

\(d//\Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2; - 1;\,\,5} \right).\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d:\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{5}.\)  

Ta có: \(\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{5} = t\)

Với \(t = 1\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 1 = 3\\y =  - 1 - 1 =  - 2\\z = 5\end{array} \right. \Rightarrow d\) đi qua điểm \(M\left( {3; - 2;\,\,5} \right)\)

\( \Rightarrow d:\,\,\,\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 5}}{5}.\) 

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

- Tọa độ các giao điểm của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 1 = 0\\x - y = 0\end{array} \right.\).

- Cho lần lượt \(x = 0,\,\,x = 1\) tìm tọa độ 2 điểm \(A,\,\,B \in \Delta \).

- Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm A, B.

- Dựa vào các đáp án chọn điểm đi qua phù hợp và viết phương trình đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Tọa độ các giao điểm của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 1 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x\\z = 1 - x - y\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x\\z = 1 - 2x\end{array} \right.\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0;1} \right) \in \Delta \).

Cho \(x = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z =  - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( {1;1; - 1} \right) \in \Delta \).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1; - 2} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\),

Chọn \(t =  - 1\) ta có điểm \(C\left( { - 1; - 1;3} \right) \in \Delta \).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(C\left( { - 1; - 1;3} \right)\) và có 1 VTCP \(\left( {1;1; - 2} \right)\) là: \(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cần tìm và \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}\parallel \left( P \right)\\{d_2}\parallel \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_2}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]\).

- Phương trình mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cần tìm và \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Đường thẳng \({d_1}:\,\,\dfrac{{x + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{z}{2}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;2;2} \right)\), đường thẳng \({d_2}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 1; - 2} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}\parallel \left( P \right)\\{d_2}\parallel \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_2}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2;0; - 1} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\( - 2\left( {x - 0} \right) - 1.\left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x - z + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + z - 2 = 0\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Biến đổi \(\dfrac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \dfrac{{x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} = \dfrac{A}{{x - 1}} + \dfrac{B}{{2x - 1}}\).

- Quy đồng, đồng nhất hệ số tìm \(A,\,\,B\).

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: \(\int {\dfrac{{dx}}{{ax + b}}}  = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính giá trị biểu thức \(P\).

Lời giải chi tiết:

Gọi đường thẳng đi qua \(M\) cắt và vuông góc với \(d\) là \(\Delta \).

Gọi\(N = \Delta  \cap d \Rightarrow N\left( {4 + 3t;\,\,2 + t;\,\, - 1 + t} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {MN}  = \left( {4 + 3t;\,\,t;\,\, - 1 + t} \right)\).

Đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 2 + t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;1;1} \right)\).

Vì \(d \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {MN}  = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\left( {4 + 3t} \right) + 1.t + 1\left( { - 1 + t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 12 + 9t + t - 1 + t = 0\\ \Leftrightarrow 11t + 11 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow N\left( {1;1; - 2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {MN}  = \left( {1; - 1; - 2} \right)\parallel \left( { - 1;1;2} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(\dfrac{x}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{2}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tham số hóa tọa độ điểm \(M \in d\) theo tham số \(t\).

- Tính độ dài \(OM = \sqrt {{{\left( {{x_M} - {x_O}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} - {y_O}} \right)}^2} + {{\left( {{z_M} - {z_O}} \right)}^2}} \).

- Tính khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) là: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

- Cho \(OM = d\left( {M;\left( P \right)} \right)\), giải phương trình tìm \(t\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(M \in d:\,\,\dfrac{x}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{1} \Rightarrow \) Gọi \(M\left( { - 2t;\,\,1 + t;\,\,t} \right)\).

Ta có: \(OM = \sqrt {{{\left( { - 2t} \right)}^2} + {{\left( {1 + t} \right)}^2} + {t^2}}  = \sqrt {6{t^2} + 2t + 1} \).

            \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2\left( { - 2t} \right) - \left( {1 + t} \right) + 2t - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{\left| { - 3t - 3} \right|}}{3} = \left| {t + 1} \right|\).

Theo bài ra ta có: M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow \sqrt {6{t^2} + 2t + 1}  = \left| {t + 1} \right|\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6{t^2} + 2t + 1 = {t^2} + 2t + 1\\ \Leftrightarrow 5{t^2} = 0 \Leftrightarrow t = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow M\left( {0;1;0} \right)\)

Vậy có 1 điểm \(M\)  thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(M\left( {0;1;0} \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Xác định \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của đường thăngr \(d\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \left( {a; - 1;c} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\), theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \supset d\\\left( P \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}}  = 0\end{array} \right.\), giải hệ phương trình tìm \(a,\,\,c\).

- Lấy điểm \(M\) bất kì thuộc đường thẳng \(d\), \(d \subset \left( P \right) \Rightarrow M \in \left( P \right)\). Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) tìm \(d\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{y}{2} = z - 1\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;2;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \left( {a; - 1;c} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\), theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \supset d\\\left( P \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}}  = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 2 + c = 0\\2a + 1 + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\c =  - 7\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(3x - y - 7z + d = 0\).

Lấy \(M\left( {2;0;1} \right) \in d\), vì \(d \subset \left( P \right) \Rightarrow M \in \left( P \right)\).

\( \Rightarrow 3.2 - 0 - 7.1 + d = 0 \Leftrightarrow d - 1 = 0 \Leftrightarrow d = 1\).

Vậy \(a + c + d = 3 + \left( { - 7} \right) + 1 =  - 3\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Gọi \(M = d \cap {\Delta _1} \Rightarrow M\left( {1 + {t_1};\,\, - 2 + 4{t_1};\,\,2 + 3{t_1}} \right)\), \(N = d \cap {\Delta _2} \Rightarrow N\left( { - 4 + 5{t_2};\,\, - 7 + 9{t_2};\,\,{t_2}} \right)\).

- Vì

\(d \bot \left( P \right):\,\,4y - z + 3 = 0\) nên \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow n \) là 2 vectơ cùng phương với \(\overrightarrow n \) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\).

- Giải hệ phương trình \(\overrightarrow {MN}  = k\overrightarrow n \,\,\left( {k \ne 0} \right)\) tìm \({t_1},\,\,{t_2},\,\,k\), suy ra tọa độ các điểm \(M,\,\,N\).

- Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M = d \cap {\Delta _1} \Rightarrow M\left( {1 + {t_1};\,\, - 2 + 4{t_1};\,\,2 + 3{t_1}} \right)\), \(N = d \cap {\Delta _2} \Rightarrow N\left( { - 4 + 5{t_2};\,\, - 7 + 9{t_2};\,\,{t_2}} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {5{t_2} - {t_1} - 5;\,\,9{t_2} - 4{t_1} - 5;\,\,{t_2} - 3{t_1} - 2} \right)\).

Vì \(d \bot \left( P \right):\,\,4y - z + 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {0;4; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow n \) là 2 vectơ cùng phương.

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = k\overrightarrow n \,\,\left( {k \ne 0} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{t_2} - {t_1} - 5 = 0\\9{t_2} - 4{t_1} - 5 = 4k\\{t_2} - 3{t_1} - 2 =  - k\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\9{t_2} - 4{t_1} - 5 = 4k\\4{t_2} - 12{t_1} - 8 =  - 4k\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\13{t_2} - 16{t_1} - 13 = 0\\{t_2} - 3{t_1} - 2 =  - k\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\13{t_2} - 16\left( {5{t_2} - 5} \right) - 13 = 0\\{t_2} - 3{t_1} - 2 =  - k\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\ - 67{t_2} + 67 = 0\\{t_2} - 3{t_1} - 2 =  - k\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_2} = 1\\{t_1} = 0\\k = 1\end{array} \right.\) .

\( \Rightarrow M\left( {1;\,\, - 2;\,\,2} \right),\,\,N\left( {1;\,\,2;\,\,1} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {0;4; - 1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {MN} \left( {0;4; - 1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Xác định VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} \) của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và VTCP \(\overrightarrow {{u_{Oz}}} \) của trục \(Oz\).

- Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}d\parallel \left( P \right)\\d \bot Oz\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow u .\overrightarrow k  = 0\end{array} \right.\) tìm \(a,\,\,b\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,x + y - z - 1 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Trục \(Oz\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}d\parallel \left( P \right)\\d \bot Oz\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow u .\overrightarrow k  = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 - b = 0\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\end{array} \right.\).

Vậy \(a - b =  - 1 - 0 =  - 1.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Vì \(\left( \alpha  \right) \bot \Delta \) nên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow u \) với \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), từ đó suy ra dạng của phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Áp dụng định lí Pytago: \({R^2} = {r^2} + {d^2}\), với \(R\) là bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\), \(r\) là bán kính đường tròn \(\left( C \right)\), \(d = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)\) với \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\).

- Để \(r\) đạt GTLN thì \(d\) phải đạt GTNN. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) và tìm GTNN.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{y}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 2; - 1} \right)\).

Vì \(\left( \alpha  \right) \bot \Delta \) nên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow u  = \left( {3; - 2; - 1} \right)\). Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có dạng \(3x - 2y - z + d = 0\).

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 2z - 3 = 0\) có tâm \(I\left( {4; - 1; - 1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {16 + 1 + 1 + 3}  = \sqrt {22} \).

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn \(\left( C \right)\), \(d = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \({R^2} = {r^2} + {d^2}\), do đó để \(r\) đạt GTLN thì \(d\) phải đạt GTNN (vì \(R = \sqrt {22} \) không đổi).

Ta có: \(d = \dfrac{{\left| {3.4 - 2.\left( { - 1} \right) - 1.\left( { - 1} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {15 + d} \right|}}{{\sqrt {14} }} \ge 0\), suy ra \({d_{\min }} = 0 \Leftrightarrow d =  - 15\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cần tìm là: \(3x - 2y - z - 15 = 0\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) dựa vào công thức tính tích có hướng của hai vecto: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\), với \(B\) là điểm bất kì thuộc \(d\).

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {a;b;c} \right)\):

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

 - Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và chọn điểm thuộc mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{{ - 2}}\) có 1 vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 2} \right)\) và đi qua \(B\left( { - 1;1;0} \right)\).

Ta có: \(A\left( {3;1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;0;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;6;4} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) là 1 vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {{u_d}} \\AB \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {AB} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;6;4} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\left( {3;1; - 1} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;6;4} \right)\) có phương trình là:

\(1.\left( {x - 3} \right) + 6.\left( {y - 1} \right) + 4.\left( {z + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 6y + 4z - 5 = 0\).

Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) ta có: \(1 + 6.0 + 4.1 - 5 = 0 \Rightarrow M \in \left( \alpha  \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Nhận xét đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.

- Do đó khoảng cách lớn nhất chính là khoảng cách từ A đến điểm cố định đó.

Lời giải chi tiết:

Cho \(t = 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2m + 2m = 1\\y =  - 2 + 2m + \left( {1 - m} \right).2 = 0\\z = 1 + 2 = 3\end{array} \right.\)

Do đó (d) luôn đi qua điểm \(M\left( {1;0;3} \right)\) cố định.

Gọi H là hình chiếu của A lên (d) thì \(d\left( {A,\left( d \right)} \right) = AH \le AM\) với mọi vị trí của H.

Do đó để \(d\left( {A,\left( d \right)} \right)\) đạt GTLN hay \(A{H_{\max }}\) thì \(H \equiv M\) hay \(AM \bot d\)

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {m;1 - m;1} \right)\)

\(\begin{array}{l}AM \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.m - 1.\left( {1 - m} \right) - 1.1 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{4}{3}.\end{array}\)

Chọn B.