40 bài tập phương trình đường thẳng trong không gian mức độ vận dụng

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+1}{3}\) và \({{d}_{2}}:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-3}{3}.\) Mặt cầu có một đường kính là đoạn vuông góc chung của \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) có phương trình :

  • A  \({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=3\) 
  • B \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12\) 
  • C \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3\) 
  • D \({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=12\)
  • E Không có đáp án.

Đáp án: E

Phương pháp giải:

+) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa \({{d}_{1}}\) và song song với \({{d}_{2}}\).

+) Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa \({{d}_{1}}\) và vuông góc với (P).

+) Gọi M là giao điểm của (Q) và \({{d}_{2}}\).

+) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P) thì \(\Delta \) là đường vuông góc chung của \({{d}_{1}};\ \ {{d}_{2}}\).

+) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với \({{d}_{1}};\ \ {{d}_{2}}\).

Khi đó AB chính là đoạn vuông góc chung của \({{d}_{1}};\ \ {{d}_{2}}\).

+) Mặt cầu cần tìm có tâm I là trung điểm của AB và bán kính là: \(\frac{AB}{2}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;1;3 \right);\,\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;2;3 \right)\) lần lượt là VTCP của d1 và d¬2.

Lấy \(M\left( -1;-1;-1 \right)\in {{d}_{1}},M'\left( 2;0;3 \right)\in {{d}_{2}}\Rightarrow \overrightarrow{MM'}=\left( 3;1;4 \right)\)

Ta có : \(\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -3;-3;3 \right)\) \(\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{MM'}=-3.3-3.1+3.4=0 \)

\(\Rightarrow\) Hai đường thẳng d1 và d2 đồng phẳng cắt nhau, do đó không có đường vuông góc chung.

Không có đáp án.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z =  - 5 + t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4 - 2t'\\z = 5 + 3t'\end{array} \right.\) . Phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2 là :

  • A \(\frac{{x - 4}}{2} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\)
  • B  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - t\\y = 3t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.\)    
  • C  \(\frac{{x + 4}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{2}\)                     
  • D  \(\frac{{x - 4}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Gọi d là đường vuông góc chung của d1 và d2.

Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}M = d \cap {d_1}\\N = d \cap {d_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .{\overrightarrow u _1} = 0\\\overrightarrow {MN} .{\overrightarrow u _2} = 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có : \({{\overrightarrow{u}}_{1}}=\left( 1;0;1 \right);{{\overrightarrow{u}}_{2}}\left( 0;-2;3 \right)\) lần lượt là 1 VTCP của d1 và d2.

Gọi d là đường vuông góc chung của d1 và d2.

Gọi \(M=d\cap {{d}_{1}}\Rightarrow M\in {{d}_{1}}\Rightarrow M\left( 1+t;0;-5+t \right);\,\,N=d\cap {{d}_{2}}\Rightarrow N\in {{d}_{2}}\Rightarrow N\left( 0;4-2t';5+3t' \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - t - 1; - 2t' + 4;3t' - t + 10} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .{\overrightarrow u _1} = 0\\\overrightarrow {MN} .{\overrightarrow u _2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - t - 1 + 3t' - t + 10 = 0\\4t' - 8 + 9t' - 3t + 30 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t' =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {4;0; - 2} \right)\\N\left( {0;6;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 4;6;4} \right) = 2\left( { - 2;3;2} \right)\end{array}\)

Vậy đường vuông góc chung của d1 và d2 đi qua \(M\left( 4;0;-2 \right)\) và nhận \(\left( -2;3;2 \right)\) là 1 VTCP nên có phương trình  \(\frac{x-4}{-2}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{2}\) .

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( 1,2,3 \right)\) và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng  \(\left( P \right):3x+y-3=0,\left( Q \right):2x+y+z-3=0\). 

  • A \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}&{}\\{y = 2 + 3t}&{}\\{z = 3 + t}&{}\end{array}} \right.\)                    
  • B  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}&{}\\{y = 2 - 3t}&{}\\{z = 3 - t}&{}\end{array}} \right.\)                     
  • C \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}&{}\\{y = 2 - 3t}&{}\\{z = 3 + t}&{}\end{array}} \right.\)                      
  • D \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}&{}\\{y = 2 - 3t}&{}\\{z = 3 + t}&{}\end{array}} \right.\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow{{{n}_{P}}}=(3,1,0)\)  và \(\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=(2,1,1)\).

Gọi \(\left( d \right)\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) ta có  

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm  \(M\left( 1,2,3 \right)\) và song song với  là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}&{}\\{y = 2 - 3t}&{}\\{z = 3 + t}&{}\end{array}} \right.\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(\Delta \) song song với đường thẳng \(d:\frac{x+4}{3}=\frac{y-5}{-\,4}=\frac{z+2}{1}\) và cắt hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{2};\) \({{d}_{2}}:\frac{x+2}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z}{1}\) lần lượt tại hai điểm \(M,\,\,N.\) Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn \(MN\) là

  • A

     \(I\left( \frac{7}{2};-\frac{5}{3};\frac{5}{6} \right).\)       

  • B

     \(I\left( 21;10;5 \right).\)                    

  • C

    \(I\left( \frac{7}{2};\frac{5}{3};\frac{5}{6} \right).\)                

  • D \(I\left( -\frac{7}{2};-\frac{5}{3};-\frac{5}{6} \right).\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ hai điểm M, N bằng cách xây dựng vectơ chỉ phương , sau đó tìm tọa độ trung điểm I

Lời giải chi tiết:

Ta có : 

\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3a\\y =  - 1 + a\\z = 2 + 2a\end{array} \right.;{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2b\\y = 3 + 4b\\z = b\end{array} \right..\)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \({{\vec{u}}_{\Delta }}=\left( 3;-\,4;1 \right).\)

Điểm \(M\in {{d}_{1}}\)\(\Rightarrow M\left( 3a+1;a-1;2a+2 \right)\) và \(N\in {{d}_{2}}\)\(\Rightarrow N\left( 2b-2;4b+3;b \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow{MN}=\left( 2b-3a-3;4b-a+4;b-2a-2 \right)\) mà \(M,\,\,N\in \Delta \)\(\Rightarrow \)\(\overrightarrow{MN}\)//\({{\vec{u}}_{\Delta }}\)

Do đó \(\frac{{2b - 3a - 3}}{3} = \frac{{4b - a + 4}}{{ - 4}} = \frac{{b - 2a - 2}}{1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{4}{3}\\b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( { - 3; - \frac{7}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\\N\left( { - 4; - 1; - 1} \right)\end{array} \right..\)

Vậy tọa độ trung điểm của \(MN\) là \(I\left( -\frac{7}{2};-\frac{5}{3};-\frac{5}{6} \right).\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\,{x \over 1} = {{y + 1} \over 2} = {{z + m} \over 1};\,\,{\Delta _2}:\,\,\left\{ \matrix{  x = 1 + \left( {m + 1} \right)t \hfill \cr   y = 1 + \left( {2 - m} \right)t \hfill \cr   z = 1 + \left( {2m + 1} \right)t \hfill \cr}  \right.\). Tìm m để hai đường thẳng trùng nhau.

  • A m = 3, m = 1
  • B m = 0
  • C m = 0, m = -1
  • D m = 0, m = 2

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Lấy M bất kì thuộc \({\Delta _2}\). Vì \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Rightarrow M \in {\Delta _1}\), thay tọa độ điểm M vào \({\Delta _1}\) để tìm m.

Lời giải chi tiết:

Lấy \(M\left( {1;1;1} \right) \in {\Delta _2}\), vì \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Rightarrow M \in {\Delta _1} \Rightarrow {1 \over 1} = {{1 + 1} \over 2} = {{1 + m} \over 1} \Rightarrow m = 0\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \((\alpha ):2x+y-2z-2=0,\) đường thẳng \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{2}\) và điểm \(A\left( \frac{1}{2};\,\,1;\,\,1 \right).\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng nằm trong mặt phẳng \((\alpha ),\) song song với \(d\) đồng thời cách \(d\) một khoảng bằng \(3.\) Đường thẳng \(\Delta \) cắt mặt phẳng \((Oxy)\) tại điểm \(B.\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng

  • A \(\frac{7}{3}.\)                 
  • B   \(\frac{7}{2}.\)                
  • C  \(\frac{\sqrt{21}}{2}.\)                                             
  • D \(\frac{3}{2}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Kiểm tra \(d\subset \left( \alpha  \right)\)

+) Gọi \(B=\Delta \cap \left( Oxy \right)\Rightarrow B\left( a;b;0 \right)\Rightarrow B\in \left( \alpha  \right),\) thay tọa độ điểm B vào phương trình \(\left( \alpha  \right)\Rightarrow \) 1 phương trình 2 ẩn a, b.

+) \(d//\Delta \Rightarrow d\left( \left( d \right);\left( \Delta  \right) \right)=d\left( B;\left( d \right) \right)=3.\) Sử dụng công thức tính khoảng cách \(d\left( B;\left( d \right) \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{BM};{{{\vec{u}}}_{d}} \right] \right|}{\left| {{{\vec{u}}}_{d}} \right|}\) , lập được 1 phương trình 2 ẩn chứa a, b.

+) Giải hệ phương trình tìm a, b \(\Rightarrow \) Tọa độ điểm B \(\Rightarrow \) Độ dài AB.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy \(d//\left( \alpha  \right)\) và \(\left( -\,1;-\,2;-\,3 \right)\in \left( \alpha  \right)\)\(\Rightarrow \,\,d\subset \left( \alpha  \right).\)

Ta có \(B=\Delta \cap \left( Oxy \right)\Rightarrow B\left( a;b;0 \right)\) mà \(B\in \Delta \subset \left( \alpha  \right)\)\(\Rightarrow \,\,2a+b-2=0\Rightarrow b=2-2a\)

Lại có \(d\)//\(\Delta \)\(\Rightarrow \,\,d\left( \left( d \right);\left( \Delta  \right) \right)=d\left( B;\left( d \right) \right)=3.\) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( 0;0;-\,1 \right),\) có \({{\vec{u}}_{d}}=\left( 1;2;2 \right).\)

\(\overrightarrow{BM}=\left( -a;-b;-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BM};\overrightarrow{u} \right]=\left( -2b+2;-1+2a;-2a+b \right)\)

Do đó

\(\begin{array}{l}
d\left( {B;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BM} ;{{\vec u}_d}} \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_d}} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {2b - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2a} \right)}^2} + {{\left( {2a - b} \right)}^2}} }}{3} = 3\\
\Leftrightarrow {\left( {2b - 2} \right)^2} + {\left( {1 - 2a} \right)^2} + {\left( {2a - b} \right)^2} = 81 \Leftrightarrow {\left( {2 - 4a} \right)^2} + {\left( {1 - 2a} \right)^2} + {\left( {4a - 2} \right)^2} = 81\\
\Leftrightarrow {\left( {1 - 2a} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - 2a = 3\\
1 - 2a = - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = - 1\\
a = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = - 1\\
b = 4
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 1;4;0} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = - 2
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2; - 2;0} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(AB=\frac{7}{2}.\)

Chọn B.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( 3;-\,2;3 \right),\,\,B\left( 1;0;5 \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-\,2}=\frac{z-3}{2}.\) Tìm tọa độ điểm \(M\) trên đường thẳng \(\left( d \right)\) để \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

  • A

     \(M\left( 2;0;5 \right).\)              

  • B

     \(M\left( 1;2;3 \right).\)              

  • C

     \(M\left( 3;-\,2;7 \right).\)        

  • D  \(M\left( 3;0;4 \right).\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Vì điểm M thuộc d nên tham số hóa tọa độ điểm M, tính tổng \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\) đưa về khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất

Lời giải chi tiết:

Vì \(M\in \left( d \right)\Rightarrow \,\,M\left( t+1;2-2t;2t+3 \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{align}  \overrightarrow{AM}=\left( t-2;4-2t;2t \right) \\  \overrightarrow{BM}=\left( t;2-2t;2t-2 \right) \\ \end{align} \right..\)

Khi đó \(T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}={{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4-2t \right)}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( 2-2t \right)}^{2}}+{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}=18{{t}^{2}}-36t+28.\)

Dễ thấy \(18{{t}^{2}}-36t+28=18\left( {{t}^{2}}-2t+1 \right)+10=18{{\left( t-1 \right)}^{2}}+10\ge 10\)\(\Rightarrow \,\,M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\ge 10.\)

Vậy \({{T}_{\min }}=10.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(t=1\Rightarrow M\left( 2;0;5 \right).\)

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 2 + t\\z =  - 3 - t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(A\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\) có bán kính là:

  • A \(5\sqrt 2 \)             
  • B \(10\sqrt 2 \)             
  • C \(2\sqrt 5 \)                       
  • D \(4\sqrt 5 \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Vì \(\left( S \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(d\) nên bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \(R = d\left( {A;d} \right)\).

- Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: \(d\left( {A;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\) trong đó \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của \(d\), \(M\) là điểm bất kì thuộc \(d\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 2 + t\\z =  - 3 - t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 1} \right)\) và đi qua \(M\left( { - 1;2; - 3} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 2;4; - 6} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {2; - 14; - 10} \right)\\ \Rightarrow d\left( {A;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 14} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 5\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = 5\sqrt 2 \).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Trong không gian \(Oxyz\), phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}\) và cắt hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}};\)\({d_2}:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{3}\) là

  • A \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\).
  • B \(\dfrac{{x + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{1}\).
  • C \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 1}}\).
  • D

    \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{1}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Gọi \(A = \Delta  \cap {d_1},\,\,B = \Delta  \cap {d_2}\). Tham số hóa tọa độ hai điểm \(A,\,\,B\).

- \(\Delta \parallel d \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow u \) (với \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP của đường thẳng \(d\)).

- Giải hệ phương trình tìm tham số, từ đó tìm tọa độ \(A,\,\,B\).

- Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) hoặc \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}A = \Delta  \cap {d_1} \Rightarrow A\left( { - 1 + 2{t_1}; - 1 + {t_1};2 - {t_1}} \right)\\B = \Delta  \cap {d_2} \Rightarrow B\left( {1 - {t_2};2 + {t_2};3 + 3{t_2}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - {t_2} - 2{t_1} + 2;{t_2} - {t_1} + 3;3{t_2} + {t_1} + 1} \right).\)

Vì \(\Delta \) song song \(d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}\) nên \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow u \) (trong đó : \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 1} \right)\) là 1 VTCP của \(d\)).

\( \Leftrightarrow \)\(\dfrac{{ - {t_2} - 2{t_1} + 2}}{1} = \dfrac{{{t_2} - {t_1} + 3}}{1} = \dfrac{{3{t_2} + {t_1} + 1}}{{ - 1}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - {t_2} - 2{t_1} + 2}}{1} = \dfrac{{{t_2} - {t_1} + 3}}{1}\\\dfrac{{{t_2} - {t_1} + 3}}{1} = \dfrac{{3{t_2} + {t_1} + 1}}{{ - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2{t_2} - {t_1} = 1\\4{t_2} + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\{t_2} =  - 1\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow A\left( {1;0;1} \right),\,\,\,B\left( {2;1;0} \right).\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;0;1} \right)\) và có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {1;1; - 1} \right)\) là : \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {2; - 1;1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 3z + 1 = 0\) là:

  • A \(\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{3}.\)
  • B \(\dfrac{{x + 2}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{3}.\)
  • C \(\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{1}.\)
  • D \(\dfrac{{x + 2}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 3}}{1}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}} .\)

- Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right)\) có phương trình chính tắc là:

\(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;3} \right).\)

Vì \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}  \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2; - 1;3} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là: \(\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{3}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - y + 2z + 3 = 0\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\). Tính \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\).

  • A \(S = 42\).

     

  • B \(S = 19\).
  • C \(S = 13\).
  • D \(S = 9\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tham số hóa tọa độ điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\) theo biến \(t\).

- Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) tìm \(t\).

- Suy ra các giá trị \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {1 + 2t; - 1 + t;2t} \right) \in d.\)

Vì \(M \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow 1 + 2t - \left( { - 1 + t} \right) + 2.2t + 3 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5t + 5 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\\ \Rightarrow M\left( { - 1; - 2; - 2} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 2\\c =  - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 9.\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - z - 8 = 0\),\(\left( Q \right):3x + 4y - z - 11 = 0\). Gọi \(\left( d \right)\) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\), phương trình của đường thẳng \(\left( d \right)\) là:

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 - t\\z =  - 5 + 5t\end{array} \right.\)
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 3t\\y = t\\z =  - 2 - 5t\end{array} \right.\)
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = t\\z =  - 2 + 5t\end{array} \right.\)
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 + t\\z =  - 7 + 5t\end{array} \right.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Cho \(x = 0\) và \(y = 0\), tìm hai điểm \(A,\,\,B\) cùng thuộc hai mặt phẳng.

- Viết phương trình đường thẳng giao tuyến là đường thẳng đi qua 2 điểm \(A,\,\,B\).

Lời giải chi tiết:

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - z - 8 = 0\\3x + 4y - z - 11 = 0\end{array} \right.\) là tập hợp các điểm cùng thuộc hai mặt phẳng.

Cho \(x = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z - 8 = 0\\4y - z - 11 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z =  - 7\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;1; - 7} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right).\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - z - 8 = 0\\3x - z - 11 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\z =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {3;0; - 2} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right).\)

Khi đó đường thẳng \(d\) là giao tuyến của \(\left( P \right);\left( Q \right)\) là đường thẳng đi qua \(A,\,\,B\), nhận  \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 1;5} \right)\) là 1 VTCP. Do đó chỉ có đáp án A thỏa mãn.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2; - 1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z + 2 = 0\). Gọi \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Phương trình của mặt cầu tâm \(I\) và đi qua \(A\) là:

  • A \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.\)
  • B \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.\)
  • C \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.\)
  • D \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Viết phương trình đường thẳng \(IA\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

- Tìm tọa độ điểm \(I = IA \cap \left( P \right)\).

- Mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A\) có bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}} \).

- Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right) \Rightarrow IA \bot \left( P \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{IA}}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(IA\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(IA\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 - 2t\\z = t\end{array} \right.\).

Gọi \(I\left( {2 + t; - 1 - 2t;t} \right) \in \left( {IA} \right)\). Mà \(I\) \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right) \Rightarrow I \in \left( P \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2 + t - 2.\left( { - 1 - 2t} \right) + t + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\\ \Rightarrow I\left( {1;1; - 1} \right)\end{array}\)

Khi đó bán kính mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A\) là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt 6 .\)

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1;1; - 1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 6 \) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + m = 0\) với m là tham số; và đường thằng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = 3 + t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\). Biết đường thẳng \(\Delta \) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt A ,B sao cho \(AB = 8\). Giá trị của m

  • A \(m = 12.\)
  • B \(m =  - 12.\)
  • C \(m =  - 10.\)
  • D \(m = 5.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Tìm bán kính của mặt cầu: Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

- Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) dựa vào định lí Pytago.

- Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \(I\) đến \(\Delta \) là: \(d\left( {I;\left( \Delta  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) với \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), \(M\) là điểm bất kì trên đường thẳng \(\Delta \).

- Giải phương trình tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + m = 0\) có tâm \(I\left( { - 2;3;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {4 + 9 - m}  = \sqrt {13 - m} \) với \(m \le 13\).

Gọi \(O\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow IO \bot AB\) và \(OA = OB = \dfrac{1}{2}AB = 4\).

Đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) có 1 vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;2} \right)\) và \(M\left( {4;3;3} \right) \in \left( \Delta  \right)\) bất kì.

Ta có: \(\overrightarrow {IM}  = \left( {6;0;3} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right] = \left( { - 3; - 6;6} \right).\)

\( \Rightarrow d\left( {I;\left( \Delta  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow n } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {9 + 36 + 36} }}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 3 = IO.\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAI\) ta có:

\(\begin{array}{l}I{A^2} = I{O^2} + O{A^2}\\ \Leftrightarrow 13 - m = 9 + 16\\ \Leftrightarrow m =  - 12\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Trong không gian Oxyz, biết mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z + 9 = 0\) tại điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\). Giá trị tổng \(a + b + c\) bằng

  • A \( 2.\)
  • B \( - 1.\)
  • C \( 1.\)
  • D \( - 2.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z + 9 = 0\) tại điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\) nên \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(\left( P \right)\).

- Viết phương trình đường thẳng \(OH\) đi qua \(O\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

- Tìm \(H = OH \cap \left( P \right)\).

- Xác định \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính tổng.

Lời giải chi tiết:

Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z + 9 = 0\) tại điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\) nên \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(\left( P \right)\).

\( \Rightarrow OH \bot \left( P \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(OH\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2t\\z = 2t\end{array} \right.\).

Vì \(H \in OH \Rightarrow H\left( {t; - 2t;2t} \right)\).

Lại có \(H \in \left( P \right) \Rightarrow t - 2.\left( { - 2t} \right) + 2.2t + 9 = 0\) \( \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\).

\( \Rightarrow H\left( { - 1;2; - 2} \right) \Rightarrow a =  - 1,\,\,b = 2,\,\,c =  - 2\).

Vậy \(a + b + c =  - 1 + 2 + \left( { - 2} \right) =  - 1.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 3}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 3}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z - 6 = 0\). Đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là

  • A \(\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{7} = \dfrac{{z - 5}}{3}.\)
  • B \(\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 4}}{7} = \dfrac{{z + 1}}{3}.\)
  • C \(\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y + 4}}{7} = \dfrac{{z - 1}}{3}.\)           
  • D

    \(\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{7} = \dfrac{{z + 5}}{3}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Gọi \(H = d \cap \left( P \right)\), khi đó \(H = d \cap d'\). Xác định tọa độ điểm \(H\).

- \(\left\{ \begin{array}{l}d' \subset \left( P \right)\\d \bot d'\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right]\).

- Viết phương trình đường thẳng đi qua \(H\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H = d \cap \left( P \right)\).

Vì \(H \in d \Rightarrow H\left( {2t;3 + t;2 - 3t} \right).\)

Mà \(H \in \left( P \right) \Rightarrow 2t - \left( {3 + t} \right) + 2\left( {2 - 3t} \right) - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 5t - 5 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Rightarrow H\left( { - 2;2;5} \right)\)

Gọi đường thẳng cần tìm là \(d'\). Vì \(d' \subset \left( P \right)\) và \(d'\) cắt \(d\) nên \(H \in d'\) .

Gọi \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 3} \right)\) là 1 VTCP của \(d\), \(\overrightarrow n \left( {1; - 1;2} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\).

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}d' \subset \left( P \right)\\d \bot d'\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 1; - 7; - 3} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(d'\).

\( \Rightarrow \left( {1;7;3} \right)\) cũng là 1 VTCP của đường thẳng \(d'\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d'\) cần tìm là: \(\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{7} = \dfrac{{z - 5}}{3}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 45\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z - 13 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thì giá trị của \(a + b + c\) bằng:

  • A \(5.\)
  • B \(2.\)
  • C \( - 11.\)
  • D \(1.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có tâm \(I\) thì \(I\)chính là hình chiếu của tâm mặt cầu \(\left( S \right)\)lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Xác định tâm \(A\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).

- Viết phương trình đường thẳng \(AI\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(mp\left( P \right)\).

- Tìm \(I\) là giao điểm của \(AI\) và \(\left( P \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 45\) có tâm là \(A\left( {1;2; - 1} \right).\)

Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có tâm \(I\) thì \(I\)chính là hình chiếu của tâm mặt cầu \(\left( S \right)\)lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Do đó \(AI\) là đường thẳng đi qua \(A\). và vuông góc với \(mp\left( P \right)\).

Ta có \({\overrightarrow u _{IA}} = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\). Suy ra phương trinh đường thẳng \(AI:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z =  - 1 - t\end{array} \right.\).

Vì \(I \in AI\) nên gọi \(I\left( {1 + t;2 + t; - 1 - t} \right).\)

Mặt khác \(I \in \left( P \right)\), nên ta có: \(1 + t + 2 + t + 1 + t - 13 = 0 \Leftrightarrow 3t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3.\)

\( \Rightarrow I\left( {4;5; - 4} \right) \Rightarrow a = 4,\,\,b = 5,\,\,c =  - 4.\)

Vậy \(a + b + c = 4 + 5 + \left( { - 4} \right) = 5.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm \(A\left( {3; - 1;2} \right)\) và đường thẳng  \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là:

  • A \(3x - 5y - z + 8 = 0\)
  • B

    \(2x + y - 2z - 6 = 0\)

  • C \(x + y + z - 4 = 0.\)           
  • D \(x - 2y + z - 7 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Lấy điểm \(B\) bất kì thuộc đường thẳng \(d\).

- \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( P \right)\\d \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\) với \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(d\), \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(B\left( {0;1;3} \right) \in d\). Mà \(d \subset \left( P \right)\)\( \Rightarrow B\left( {0;1;3} \right) \in \left( P \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;2;1} \right)\)

Đường thẳng d có 1 vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 2} \right)\)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 5; - 5; - 5} \right)\parallel \left( {1;1;1} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( P \right)\\d \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} \) cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\). Do đó \(\left( P \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;1} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(x - 3 + y + 1 + z - 2 = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A\left( {1;4;4} \right)\) và \(B\left( { - 1;0;2} \right).\)

  • A \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{1}\)
  • B \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 2}}\)
  • C \(\dfrac{{x + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{{ - 4}} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 2}}\)
  • D \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 4}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{2}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận \(\overrightarrow {AB} \) là 1 VTCP.

- Đường thẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 4; - 2} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \) , suy ra \(\overrightarrow u \left( {1;2;1} \right)\) cũng là 1 VTCP của \(\Delta \).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;4;4} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {1;2;1} \right)\) là: \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 4}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{1}\).

Ta thấy \(M\left( {0;2;3} \right) \in \Delta \) , do đó phương trình \(\Delta \) cũng có dạng \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{1}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 4}}{1} = \dfrac{z}{{ - 2}}\) và \(\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\). Gọi M là trung điểm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng trên. Tính độ dài đoạn thẳng OM.

  • A \(OM = \sqrt {35} \)
  • B \(OM = 2\sqrt {35} \)
  • C \(OM = \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\)
  • D \(OM = \sqrt 5 \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Gọi giao điểm của đoạn vuông góc chung với hai đường thẳng đã cho.

- Áp dụng tính chất vuông góc để tìm hai giao điểm đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A \in {d_1}:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 4}}{1} = \dfrac{z}{{ - 2}} \Rightarrow A\left( {a + 2;a + 4; - 2a} \right)\)

       \(B \in {d_2}:\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}} \Rightarrow B\left( {2b + 3; - b - 1; - b - 2} \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2b - a + 1; - b - a - 5; - b + 2a - 2} \right)\)

Mà \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;1; - 2} \right);\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b - a + 1 - b - a - 5 - 2\left( { - b + 2a - 2} \right) = 0\\2\left( {2b - a + 1} \right) + b + a + 5 + b - 2a + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a + 3b = 0\\ - 3a + 6b + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;3;2} \right)\\B\left( { - 1;1;0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy trung điểm M của AB là \(M\left( {0;2;1} \right) \Rightarrow OM = \sqrt 5 .\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M\left( {2;3; - 2} \right),\) \(N\left( { - 1;1;0} \right),\) \(P\left( {1; - 1;1} \right)\), góc giữa hai đường thẳng MNNP bằng

  • A \(60^\circ \)
  • B

    \(45^\circ \)

  • C \(90^\circ \)
  • D \(30^\circ \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tìm \(\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {NP} \)

- Áp dụng công thức tính góc giữa hai vecto: \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {NP} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NP} }}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {NP} } \right|}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(M\left( {2;3; - 2} \right),N\left( { - 1;1;0} \right),P\left( {1; - 1;1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 3; - 2;2} \right);\overrightarrow {NP}  = \left( {2; - 2;1} \right)\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {NP} } \right) = \dfrac{{ - 3.2 + 4 + 2}}{{\sqrt {9 + 4 + 4} .\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 0\)

Nên góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {NP} \) bằng \(90^\circ \).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z + 1 = 0\) và đường thẳng \(d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Hình chiếu vuông góc của d trên \(\left( P \right)\) có phương trình là

  • A \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)
  • B \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\)
  • C \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)
  • D \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tìm phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa d và vuông góc với \(\left( P \right)\).

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( Q \right)\) và \(\left( P \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  \bot \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1; - 1;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_d}} ;\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( {0; - 2; - 2} \right)\)

Mà \(I\left( {0;0; - 1} \right) \in d \Rightarrow I\left( {0;0; - 1} \right) \in \left( Q \right)\)

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(y + z + 1 = 0\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y + z + 1 = 0\\x - y + z + 1 = 0\end{array} \right.\)

+) Cho \(x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + z =  - 1\\ - y + z =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0; - 1} \right)\)

+) Cho \(z = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x - y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 2; - 1;0} \right)\)

Phương trình hình chiếu của d trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {0;0; - 1} \right);B\left( { - 2; - 1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BA}  = \left( {2;1; - 1} \right)\)

Có phương trình là \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng (P) đi qua điểm \(A\left( {2; - 3;3} \right)\) và chứa \(d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{3}\) có phương trình là:

  • A \(4x - y - z + 10 = 0\)
  • B \(5x + y - z - 10 = 0\)
  • C \(5x + y + z + 10 = 0\)
  • D \(5x - y - z - 10 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Xác định điểm \(B \in d\) và \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của d.

- Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của (P). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( P \right)\\AB \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {AB} } \right]\).

- Mặt phẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) có phương trình

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua \(B\left( {2;1; - 1} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;2;3} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;4; - 4} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 20;4;4} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của (P).  Vì \(\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( P \right)\\AB \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 20;4;4} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow n \left( {5; - 1; - 1} \right)\) cũng là 1 VTPT của (P).

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \(5\left( {x - 2} \right) - \left( {y + 3} \right) - \left( {z - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 5x - y - z - 10 = 0\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(I\left( {1;0;2} \right)\) và đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d. Bán kính của \(\left( S \right)\) bằng

  • A \(\dfrac{5}{3}\)
  • B \(\dfrac{{\sqrt {30} }}{3}\)
  • C \(\dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}\)
  • D \(\dfrac{{2\sqrt 5 }}{3}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d:  \(d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IA} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) với A là điểm bất kì thuộc đường thẳng d, \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP của đường thẳng d.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}\) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;1} \right)\) và đi qua \(A\left( {1;0;0} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = \left( {0;0; - 2} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IA} ;\overrightarrow n } \right] = \left( { - 2; - 4;0} \right).\)

Vậy \(d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IA} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {4 + 16} }}{{\sqrt {4 + 1 + 1} }} = \dfrac{{\sqrt {30} }}{3}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + 2y - z + m = 0\). Tất cả các giá trị của m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng \(6\pi \) là

  • A \(m = 17,\,\,m =  - 7\)
  • B \(m =  - 17,\,\,m = 15\)
  • C \(m = 15\)
  • D \(m = 7\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Áp dụng công thức tính chu vi hình tròn.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\) có tâm là \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và bán kính \(R = 5\).

Gọi r là bán kính của đường tròn có chu vi bằng \(6\pi  \Rightarrow 2\pi r = 6\pi  \Leftrightarrow r = 3\)

Ta có \({R^2} = {r^2} + d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}^2 \Rightarrow {d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}} = 4\)

Mà \({d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}} = \dfrac{{\left| {m - 5} \right|}}{3} \Rightarrow \dfrac{{\left| {m - 5} \right|}}{3} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 17\\m =  - 7\end{array} \right.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 3 + 4t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) và\(\left( {{d_2}} \right):\,\,\dfrac{{x - 3}}{4} = \dfrac{{y - 5}}{6} = \dfrac{{z - 7}}{8}\). Khẳng định nào đúng?

  • A \(\left( {{d_1}} \right)\parallel \left( {{d_2}} \right)\)
  • B \(\left( {{d_1}} \right) \equiv \left( {{d_2}} \right)\)
  • C \(\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right)\)
  • D \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\)chéo nhau.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Xác định vecto chỉ phương của hai đường thẳng: Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + bt\end{array} \right.\), \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\).

- Kiểm tra mối quan hệ của 2 VTCP:

   + Nếu \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương thì \(\left( {{d_1}} \right)\parallel \left( {{d_2}} \right)\) hoặc \(\left( {{d_1}} \right) \equiv \left( {{d_2}} \right)\).

   + Nếu \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\) thì \(\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 3 + 4t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {2;3;4} \right)\).

Đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):\dfrac{{x - 3}}{4} = \dfrac{{y - 5}}{6} = \dfrac{{z - 7}}{8}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {4;6;8} \right)\).

Dễ thấy \(\overrightarrow {{u_2}}  = 2\overrightarrow {{u_1}} \), do đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.

Lấy \(A\left( {1;2;3} \right) \in \left( {{d_1}} \right)\), thay vào phương trình đường thẳng \({d_2}\) ta có: \(\dfrac{{1 - 3}}{4} = \dfrac{{2 - 5}}{6} = \dfrac{{3 - 7}}{8} =  - \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow A \in {d_2}\).

Vậy \(\left( {{d_1}} \right) \equiv \left( {{d_2}} \right)\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{{z + 4}}{{ - 5}}\) và \(d':\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y - 4}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 1}}.\)

  • A \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 1}}\)
  • B \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\)
  • C \(\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{4}\)
  • D \(\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{2}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm.

- Gọi \(M = \Delta  \cap d,\,\,\,N = \Delta  \cap d'\), tham số hóa tọa độ điểm M và N.

- Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0\end{array} \right.\), với \(\overrightarrow {{u_d}} ,\,\,\overrightarrow {{u_{d'}}} \) lần lượt là 1 VTCP của đường thẳng d và d’.

- Tìm tọa độ điểm M, N, từ đó viết phương trình đường thẳng đi qua M, N.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm.

Gọi \(M\left( {2a + 2;3a + 3; - 5a - 4} \right) = \Delta  \cap d,\) \(N\left( {3b - 1; - 2b + 4; - b + 4} \right) = \Delta  \cap d'\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( {3b - 2a - 3; - 2b - 3a + 1; - b + 5a + 8} \right)\).

Đường thẳng d có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;3; - 5} \right)\), đường thẳng d’ có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {3; - 2; - 1} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot d\\MN \bot d'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {3b - 2a - 3} \right) + 3\left( { - 2b - 3a + 1} \right) - 5\left( { - b + 5a + 8} \right) = 0\\3\left( {3b - 2a - 3} \right) - 2\left( { - 2b - 3a + 1} \right) - 1\left( { - b + 5a + 8} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5b - 38a - 43 = 0\\14b - 5a - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {0;0;1} \right)\\N\left( {2;2;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {2;2;2} \right)\parallel \left( {1;1;1} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(\Delta :\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2},\)\({d_2}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{z}{1}\). Đường thẳng d đi qua \(A\left( {5; - 3;5} \right)\) lần lượt cắt \({d_1},\,\,{d_2}\) tại BC. Độ dài BC là:

  • A \(19\)
  • B \(3\sqrt 2 \)
  • C \(2\sqrt 5 \)
  • D \(\sqrt {19} \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tham số hóa tọa độ.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{d_1}:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2} = a \Rightarrow B\left( {a + 1; - a - 1;2a} \right)\\{d_2}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{z}{1} = b \Rightarrow C\left( {b;2b + 1;b} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {b - 5;2b + 4;b - 5} \right)\\\overrightarrow {AB}  = \left( {a - 4; - a + 2;2a - 5} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - 5 = k\left( {a - 4} \right)\\2b + 4 = k\left( { - a + 2} \right)\\b - 5 = k\left( {2a - 5} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\k = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow B\left( {2; - 2;2} \right),C\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\\ \Rightarrow BC = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {19} \end{array}\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 3}}\). Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (Oyz) là một đường thẳng có vectơ chỉ phương là

  • A \(\overrightarrow u  = \left( {0;1; - 3} \right)\)
  • B \(\overrightarrow u  = \left( {0;1;3} \right)\)
  • C \(\overrightarrow u  = \left( {2;1; - 3} \right)\)
  • D \(\overrightarrow u  = \left( {2;0;0} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Lấy điểm bất kỳ

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {Oyz} \right):x = 0\\A\left( { - 3;1;1} \right),B\left( {0;\dfrac{5}{2};\dfrac{{ - 7}}{2}} \right) \in d\end{array}\)

Hình chiếu của A,B lên (Oyz) lần lượt là \(A'\left( {0;1;1} \right),B'\left( {0;\dfrac{5}{2};\dfrac{{ - 7}}{2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {A'B'}  = \left( {0;\dfrac{3}{2};\dfrac{{ - 9}}{2}} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {0;1; - 3} \right)\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm A(1;-1;0) và song song với đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 3}}{5}\) có phương trình là:

  • A \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{5}\)
  • B \(\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 5}}{5}\)
  • C \(\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{5}\)
  • D \(\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 5}}{5}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right)\) là: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}.\)

Đường thẳng \(d//d' \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = k\overrightarrow {{u_{d'}}} \,\,\left( {k \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\Delta :\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 3}}{5}\) có VTCP là: \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2; - 1;\,\,5} \right).\)

\(d//\Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2; - 1;\,\,5} \right).\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d:\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{5}.\)  

Ta có: \(\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{5} = t\)

Với \(t = 1\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 1 = 3\\y =  - 1 - 1 =  - 2\\z = 5\end{array} \right. \Rightarrow d\) đi qua điểm \(M\left( {3; - 2;\,\,5} \right)\)

\( \Rightarrow d:\,\,\,\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 5}}{5}.\) 

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Trong mặt phẳng Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z - 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,x - y = 0\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

  • A \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{2}\)
  • B \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{2}\)
  • C \(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}\)
  • D \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

- Tọa độ các giao điểm của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 1 = 0\\x - y = 0\end{array} \right.\).

- Cho lần lượt \(x = 0,\,\,x = 1\) tìm tọa độ 2 điểm \(A,\,\,B \in \Delta \).

- Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm A, B.

- Dựa vào các đáp án chọn điểm đi qua phù hợp và viết phương trình đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Tọa độ các giao điểm của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 1 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x\\z = 1 - x - y\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x\\z = 1 - 2x\end{array} \right.\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0;1} \right) \in \Delta \).

Cho \(x = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z =  - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( {1;1; - 1} \right) \in \Delta \).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1; - 2} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\),

Chọn \(t =  - 1\) ta có điểm \(C\left( { - 1; - 1;3} \right) \in \Delta \).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(C\left( { - 1; - 1;3} \right)\) và có 1 VTCP \(\left( {1;1; - 2} \right)\) là: \(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {0; - 1;2} \right)\) và song song với hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\dfrac{{x + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{z}{2}\), \({d_2}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}\) có phương trình là:

  • A \(4x + 4y - z + 6 = 0\)
  • B \( - 2x - z - 2 = 0\)
  • C \(2x + 4y + z + 3 = 0\)
  • D \(2x + z - 2 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cần tìm và \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}\parallel \left( P \right)\\{d_2}\parallel \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_2}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]\).

- Phương trình mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cần tìm và \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Đường thẳng \({d_1}:\,\,\dfrac{{x + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{z}{2}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;2;2} \right)\), đường thẳng \({d_2}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 1; - 2} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}\parallel \left( P \right)\\{d_2}\parallel \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_2}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2;0; - 1} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\( - 2\left( {x - 0} \right) - 1.\left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x - z + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + z - 2 = 0\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(M\left( {0;\;2;\;0} \right)\) và đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 2 + t\\z =  - 1 + t.\end{array} \right.\)  Đường thẳng đi qua \(M\) cắt và vuông góc với \(d\)có phương trình là

  • A \(\dfrac{x}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{2}.\)
  • B \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{z}{{ - 2}}.\)
  • C \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{2}\)
  • D \(\dfrac{x}{{ - 1}} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{2}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Biến đổi \(\dfrac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \dfrac{{x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} = \dfrac{A}{{x - 1}} + \dfrac{B}{{2x - 1}}\).

- Quy đồng, đồng nhất hệ số tìm \(A,\,\,B\).

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: \(\int {\dfrac{{dx}}{{ax + b}}}  = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính giá trị biểu thức \(P\).

Lời giải chi tiết:

Gọi đường thẳng đi qua \(M\) cắt và vuông góc với \(d\) là \(\Delta \).

Gọi\(N = \Delta  \cap d \Rightarrow N\left( {4 + 3t;\,\,2 + t;\,\, - 1 + t} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {MN}  = \left( {4 + 3t;\,\,t;\,\, - 1 + t} \right)\).

Đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 2 + t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;1;1} \right)\).

Vì \(d \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {MN}  = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\left( {4 + 3t} \right) + 1.t + 1\left( { - 1 + t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 12 + 9t + t - 1 + t = 0\\ \Leftrightarrow 11t + 11 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow N\left( {1;1; - 2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {MN}  = \left( {1; - 1; - 2} \right)\parallel \left( { - 1;1;2} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(\dfrac{x}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{2}.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng  \(d:\dfrac{x}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 2 = 0.\) Có bao nhiêu điểm \(M\) thuộc d  sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng \(\left( P \right)\)?

  • A \(4.\)
  • B \(0.\)
  • C \(2.\)
  • D \(1.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tham số hóa tọa độ điểm \(M \in d\) theo tham số \(t\).

- Tính độ dài \(OM = \sqrt {{{\left( {{x_M} - {x_O}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} - {y_O}} \right)}^2} + {{\left( {{z_M} - {z_O}} \right)}^2}} \).

- Tính khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) là: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

- Cho \(OM = d\left( {M;\left( P \right)} \right)\), giải phương trình tìm \(t\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(M \in d:\,\,\dfrac{x}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{1} \Rightarrow \) Gọi \(M\left( { - 2t;\,\,1 + t;\,\,t} \right)\).

Ta có: \(OM = \sqrt {{{\left( { - 2t} \right)}^2} + {{\left( {1 + t} \right)}^2} + {t^2}}  = \sqrt {6{t^2} + 2t + 1} \).

            \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2\left( { - 2t} \right) - \left( {1 + t} \right) + 2t - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{\left| { - 3t - 3} \right|}}{3} = \left| {t + 1} \right|\).

Theo bài ra ta có: M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow \sqrt {6{t^2} + 2t + 1}  = \left| {t + 1} \right|\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6{t^2} + 2t + 1 = {t^2} + 2t + 1\\ \Leftrightarrow 5{t^2} = 0 \Leftrightarrow t = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow M\left( {0;1;0} \right)\)

Vậy có 1 điểm \(M\)  thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(M\left( {0;1;0} \right)\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{y}{2} = z - 1\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0\). Biết \(\left( P \right)\) có phương trình dạng \(ax - y + cz + d = 0\). Hãy tính tổng \(a + c + d\).

  • A \(a + c + d =  - 3\)
  • B \(a + c + d =  - 4\)
  • C \(a + c + d = 4\)
  • D \(a + c + d = 3\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Xác định \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của đường thăngr \(d\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \left( {a; - 1;c} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\), theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \supset d\\\left( P \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}}  = 0\end{array} \right.\), giải hệ phương trình tìm \(a,\,\,c\).

- Lấy điểm \(M\) bất kì thuộc đường thẳng \(d\), \(d \subset \left( P \right) \Rightarrow M \in \left( P \right)\). Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) tìm \(d\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{y}{2} = z - 1\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;2;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \left( {a; - 1;c} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\), theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \supset d\\\left( P \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}}  = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 2 + c = 0\\2a + 1 + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\c =  - 7\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(3x - y - 7z + d = 0\).

Lấy \(M\left( {2;0;1} \right) \in d\), vì \(d \subset \left( P \right) \Rightarrow M \in \left( P \right)\).

\( \Rightarrow 3.2 - 0 - 7.1 + d = 0 \Leftrightarrow d - 1 = 0 \Leftrightarrow d = 1\).

Vậy \(a + c + d = 3 + \left( { - 7} \right) + 1 =  - 3\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,4y - z + 3 = 0\) và hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{4} = \dfrac{{z - 2}}{3}\), \({\Delta _2}:\,\,\dfrac{{x + 4}}{5} = \dfrac{{y + 7}}{9} = \dfrac{z}{1}\). Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt cả hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) có phương trình là

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2 + 4t\\z = 5 - t\end{array} \right.\)
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 11 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y =  - 7 + 4t\\z =  - t\end{array} \right.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Gọi \(M = d \cap {\Delta _1} \Rightarrow M\left( {1 + {t_1};\,\, - 2 + 4{t_1};\,\,2 + 3{t_1}} \right)\), \(N = d \cap {\Delta _2} \Rightarrow N\left( { - 4 + 5{t_2};\,\, - 7 + 9{t_2};\,\,{t_2}} \right)\).

- Vì

\(d \bot \left( P \right):\,\,4y - z + 3 = 0\) nên \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow n \) là 2 vectơ cùng phương với \(\overrightarrow n \) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\).

- Giải hệ phương trình \(\overrightarrow {MN}  = k\overrightarrow n \,\,\left( {k \ne 0} \right)\) tìm \({t_1},\,\,{t_2},\,\,k\), suy ra tọa độ các điểm \(M,\,\,N\).

- Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M = d \cap {\Delta _1} \Rightarrow M\left( {1 + {t_1};\,\, - 2 + 4{t_1};\,\,2 + 3{t_1}} \right)\), \(N = d \cap {\Delta _2} \Rightarrow N\left( { - 4 + 5{t_2};\,\, - 7 + 9{t_2};\,\,{t_2}} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {5{t_2} - {t_1} - 5;\,\,9{t_2} - 4{t_1} - 5;\,\,{t_2} - 3{t_1} - 2} \right)\).

Vì \(d \bot \left( P \right):\,\,4y - z + 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {0;4; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow n \) là 2 vectơ cùng phương.

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = k\overrightarrow n \,\,\left( {k \ne 0} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{t_2} - {t_1} - 5 = 0\\9{t_2} - 4{t_1} - 5 = 4k\\{t_2} - 3{t_1} - 2 =  - k\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\9{t_2} - 4{t_1} - 5 = 4k\\4{t_2} - 12{t_1} - 8 =  - 4k\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\13{t_2} - 16{t_1} - 13 = 0\\{t_2} - 3{t_1} - 2 =  - k\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\13{t_2} - 16\left( {5{t_2} - 5} \right) - 13 = 0\\{t_2} - 3{t_1} - 2 =  - k\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\ - 67{t_2} + 67 = 0\\{t_2} - 3{t_1} - 2 =  - k\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_2} = 1\\{t_1} = 0\\k = 1\end{array} \right.\) .

\( \Rightarrow M\left( {1;\,\, - 2;\,\,2} \right),\,\,N\left( {1;\,\,2;\,\,1} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {0;4; - 1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {MN} \left( {0;4; - 1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,x + y - z - 1 = 0.\) Đường thẳng \(d\) đi qua \(O,\) song song với \(\left( P \right)\) đồng thời vuông góc với \(Oz\) có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,\,1;\,\,b} \right).\)Tính \(a - b.\)

  • A \(0\)
  • B \(1\)
  • C \(-1\)
  • D \(2\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Xác định VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} \) của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và VTCP \(\overrightarrow {{u_{Oz}}} \) của trục \(Oz\).

- Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}d\parallel \left( P \right)\\d \bot Oz\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow u .\overrightarrow k  = 0\end{array} \right.\) tìm \(a,\,\,b\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,x + y - z - 1 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Trục \(Oz\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}d\parallel \left( P \right)\\d \bot Oz\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow u .\overrightarrow k  = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 - b = 0\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\end{array} \right.\).

Vậy \(a - b =  - 1 - 0 =  - 1.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 2z - 3 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{y}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với \(\Delta \) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính lớn nhất. Phương trình \(\left( \alpha  \right)\) là:

  • A \(3x - 2y - z - 5 = 0\)  
  • B \(3x - 2y - z + 5 = 0\)
  • C \(3x - 2y - z + 15 = 0\)
  • D \(3x - 2y - z - 15 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Vì \(\left( \alpha  \right) \bot \Delta \) nên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow u \) với \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), từ đó suy ra dạng của phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Áp dụng định lí Pytago: \({R^2} = {r^2} + {d^2}\), với \(R\) là bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\), \(r\) là bán kính đường tròn \(\left( C \right)\), \(d = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)\) với \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\).

- Để \(r\) đạt GTLN thì \(d\) phải đạt GTNN. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) và tìm GTNN.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{y}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 2; - 1} \right)\).

Vì \(\left( \alpha  \right) \bot \Delta \) nên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow u  = \left( {3; - 2; - 1} \right)\). Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có dạng \(3x - 2y - z + d = 0\).

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 2z - 3 = 0\) có tâm \(I\left( {4; - 1; - 1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {16 + 1 + 1 + 3}  = \sqrt {22} \).

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn \(\left( C \right)\), \(d = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \({R^2} = {r^2} + {d^2}\), do đó để \(r\) đạt GTLN thì \(d\) phải đạt GTNN (vì \(R = \sqrt {22} \) không đổi).

Ta có: \(d = \dfrac{{\left| {3.4 - 2.\left( { - 1} \right) - 1.\left( { - 1} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {15 + d} \right|}}{{\sqrt {14} }} \ge 0\), suy ra \({d_{\min }} = 0 \Leftrightarrow d =  - 15\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cần tìm là: \(3x - 2y - z - 15 = 0\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng d: \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{{ - 2}}\) và điểm \(A\left( {3;1; - 1} \right)\). Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và chứa đường thẳng \(d\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( \alpha  \right)\)?

  • A \(Q\left( {0;2;1} \right)\)
  • B \(P\left( {1;0; - 1} \right)\)
  • C \(M\left( {1;0;1} \right)\)
  • D \(N\left( {0;3;0} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tìm vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) dựa vào công thức tính tích có hướng của hai vecto: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\), với \(B\) là điểm bất kì thuộc \(d\).

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {a;b;c} \right)\):

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

 - Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và chọn điểm thuộc mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{{ - 2}}\) có 1 vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 2} \right)\) và đi qua \(B\left( { - 1;1;0} \right)\).

Ta có: \(A\left( {3;1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;0;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;6;4} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) là 1 vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {{u_d}} \\AB \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {AB} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;6;4} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\left( {3;1; - 1} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;6;4} \right)\) có phương trình là:

\(1.\left( {x - 3} \right) + 6.\left( {y - 1} \right) + 4.\left( {z + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 6y + 4z - 5 = 0\).

Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) ta có: \(1 + 6.0 + 4.1 - 5 = 0 \Rightarrow M \in \left( \alpha  \right)\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Tìm \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\left( {\dfrac{1}{2};1;4} \right)\) đến đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2m + mt\\y =  - 2 + 2m + \left( {1 - m} \right)t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) đạt giá trị lớn nhất.

  • A \(m = \dfrac{2}{3}\)
  • B \(m = \dfrac{4}{3}\)
  • C \(m = \dfrac{1}{3}\)
  • D \(m = 1\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Nhận xét đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.

- Do đó khoảng cách lớn nhất chính là khoảng cách từ A đến điểm cố định đó.

Lời giải chi tiết:

Cho \(t = 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2m + 2m = 1\\y =  - 2 + 2m + \left( {1 - m} \right).2 = 0\\z = 1 + 2 = 3\end{array} \right.\)

Do đó (d) luôn đi qua điểm \(M\left( {1;0;3} \right)\) cố định.

Gọi H là hình chiếu của A lên (d) thì \(d\left( {A,\left( d \right)} \right) = AH \le AM\) với mọi vị trí của H.

Do đó để \(d\left( {A,\left( d \right)} \right)\) đạt GTLN hay \(A{H_{\max }}\) thì \(H \equiv M\) hay \(AM \bot d\)

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {m;1 - m;1} \right)\)

\(\begin{array}{l}AM \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.m - 1.\left( {1 - m} \right) - 1.1 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{4}{3}.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.



Hỏi bài