40 bài tập phương trình đường thẳng trong không gian mức độ nhận biết

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), tìm điểm \(M\) trên trục tọa độ \(Ox\) cách đều hai điểm \(A(1;2; - 1)\) và \(B(2;1;2)\).

  • A \(M(1;0;0)\)
  • B \(M(2;0;0)\)
  • C \(M\left( {\dfrac{1}{2};0;0} \right)\)
  • D \(M\left( {\dfrac{3}{2};0;0} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương pháp: 

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:

Cho hai điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(B({b_1};{b_2};{b_3})\) ta có: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({b_1} - {a_1})}^2} + {{({b_2} - {a_2})}^2} + {{({b_3} - {a_3})}^2}} \) 

Lời giải chi tiết:

 \(M\) nằm trên trục \(Ox\), giả sử \(M(m;0;0)\).

Vì \(M\) cách đều hai điểm \(A\) và \(B\) nên ta có \(MA = MB\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(0 - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(m - 1)}^2} + 4 + 1} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 1 + 4} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(m - 1)}^2} + 5} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 5} \\ \Leftrightarrow {(m - 1)^2} = {(m - 2)^2}\\ \Leftrightarrow m - 1 = 2 - m\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Vậy \(M\left( {\dfrac{3}{2};0;0} \right)\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 2}}{{3/2}} = \frac{{z - 6}}{2}\) và \({d_2}:\frac{{x - 5}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{4} = \frac{{z - 2}}{8}\) là:

  • A \(A(3;7;18)\)
  • B \(B( - 3;7;18)\)
  • C \(C( 3;7;1)\)
  • D \(D( 3;7; - 1)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2. Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}M \in {d_1}\\M \in {d_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {{x_1}(t);{y_1}(t);{z_1}(t)} \right)\\M\left( {{x_2}(t');{y_2}(t');{z_2}(t')} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}(t) = {x_2}(t')\\{y_1}(t) = {y_2}(t')\\{z_1}(t) = {z_2}(t')\end{array} \right.(*)\)

Từ hệ (*) ta tìm được t, t’. Từ đó tìm được M. 

Lời giải chi tiết:

Phương trình tham số của d1 và d2 là:

\(\begin{array}{l}{d_1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 2}}{{3/2}} = \frac{{z - 6}}{2} \Rightarrow {d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + t\\y =  - 2 + \frac{3}{2}t\\z = 6 + 2t\end{array} \right.\\{d_2}:\frac{{x - 5}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{4} = \frac{{z - 2}}{8} \Rightarrow {d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t'\\y =  - 1 + 4t'\\z = 2 + 8t'\end{array} \right.\end{array}\)

 Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2. Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}M \in {d_1}\\M \in {d_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( { - 3 + t; - 2 + \frac{3}{2}t;6 + 2t} \right)\\M\left( {5 - t'; - 1 + 4t';2 + 8t'} \right)\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 + t = 5 - t'\\ - 2 + \frac{3}{2}t =  - 1 + 4t'\\6 + 2t = 2 + 8t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + t' = 8\\\frac{3}{2}t - 4t' = 1\\2t - 8t' =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 6\\t' = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(M(3;7;18)\)

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( 1;2;3 \right)\) và song song với trục Oy có phương trình tổng quát là :

  • A  \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3\end{array} \right.\)                  
  • B  \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.\)                  
  • C  \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3 + t\end{array} \right.\)                  

     

  • D \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đường thẳng d đi qua M và nhận \(\overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right)\) là 1 VTCP.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua \(M\left( 1;2;3 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right)\) là 1 VTCP nên có phương trình tham số \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

 Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x-4}{2}=\frac{y-1}{-\,1}=\frac{z}{1}.\) Đường thẳng \(\left( {{d}_{1}} \right)\) đi qua điểm \(A\left( 0;1;2 \right),\) \(\left( {{d}_{1}} \right)\) cắt và vuông góc với \(\left( d \right).\) \(\left( {{d}_{1}} \right)\) có phương trình là

  • A  \(\left( {{d}_{1}} \right):\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-\,3}.\)                    
  • B \(\left( {{d}_{1}} \right):\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-\,1}.\)      
  • C \(\left( {{d}_{1}} \right):\frac{x}{5}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-2}{-\,6}.\)                       
  • D   \(\left( {{d}_{1}} \right):\frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-2}{1}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Gọi \(B=d\cap {{d}_{1}}\Rightarrow \) Tham số hóa tọa độ điểm B.

+) \(\Rightarrow \overrightarrow{AB}\) là 1 VTCP của đường thẳng d1.

+) \({{d}_{1}}\bot d\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}.{{\overrightarrow{u}}_{d}}=0\Rightarrow \overrightarrow{AB}.{{\overrightarrow{u}}_{d}}=0\)

Lời giải chi tiết:

\({{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 2;-1;1 \right)\)

Gọi \(B=\left( d \right)\cap \left( {{d}_{1}} \right)\Rightarrow B\left( 2t+4;1-t;t \right)\) suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left( 2t+4;-\,t;t-2 \right).\)

Vì \(\left( {{d}_{1}} \right)\bot \left( d \right)\) suy ra \(\overrightarrow{AB}.{{\vec{u}}_{d}}=0\)\(\Leftrightarrow 2\left( 2t+4 \right)+t+t-2=0\Leftrightarrow t=-\,1.\)

Suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;1;-\,3 \right).\) Vậy phương trình đường thẳng \(\left( {{d}_{1}} \right)\) là \(\left( {{d}_{1}} \right):\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-\,3}.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(\left( d \right):\left\{ \begin{align}  & x=1+t \\ & y=2-t \\ & z=2+3t \\\end{align} \right..\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(\left( d \right).\) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là

  • A  \({{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=\left( -\,2;2;-\,6 \right).\) 
  • B \({{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;2;-\,6 \right).\)           
  • C \({{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 1;-\,1;-\,3 \right).\)  
  • D \({{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=\left( -\,1;1;3 \right).\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\left( P \right)\bot \left( d \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=k{{\overrightarrow{u}}_{\left( d \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left( P \right)\bot \left( d \right)\,\,\Rightarrow \,\,{{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=k\,{{\vec{u}}_{\left( d \right)}}=k\left( 1;-\,1;3 \right)=\left( -\,2;2;-\,6 \right).\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr   y =  - 1 + 3t \hfill \cr   z = 1 - 2t \hfill \cr}  \right.\) và\({d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t'\\y = - 2 + 2t'\\z = - 1 + 2t'\end{array} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng ?

  • A d1 và d2 chéo nhau.     
  • B d1 và d2 cắt nhau
  • C d1 và d2 trùng nhau
  • D d1 và d2 song song với nhau.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xác định 1 VTCP của d1 và d2, kiểm tra d1, d2 có không cùng phương.

Lấy \(A \in {d_1};B \in {d_2},\) xét tích \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} \) và so sánh với 0.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;3; - 2} \right);\,\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {3;2;2} \right)\) lần lượt là 1 VTCP của d1 và d. Dễ thấy \(\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương, do đó lại C và D.

Lấy \(A\left( {1; - 1;1} \right) \in {d_1};\,\,B\left( {1; - 2; - 1} \right) \in {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 1; - 2} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {10; - 10; - 5} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB}  = 10.0 - 10.\left( { - 1} \right) - 5\left( { - 2} \right) = 20 \ne 0 \Rightarrow {d_1}\) và d2 chéo nhau.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm vị trí tương đối của \({d_1}:\,\,\left\{ \matrix{  x = 1 + t \hfill \cr   y = 2 - t \hfill \cr   z = 3 - t \hfill \cr}  \right.\) và \({d_2}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2t'\\y = - 1 - 2t'\\z = 5 - 2t'\end{array} \right.\)

 

  • A trùng nhau
  • B cắt nhau           
  • C Chéo nhau

    chéo nhau        

  • D song song nhau

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Xác định 1 VTCP của d1 và d2, kiểm tra d1, d2 có không cùng phương.

Lấy điểm A bất kì thuộc d1, kiểm tra A có thuộc d2 hay không và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2; - 2; - 2} \right) = 2\left( {1; - 1; - 1} \right) = 2\overrightarrow {{u_1}}  \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương \( \Rightarrow \) loại B và C.

Lấy \(A\left( {1;2;3} \right) \in {d_1}\) ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 2t'\\2 = - 1 - 2t'\\3 = 5 - 2t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = \frac{1}{2}\\t' = \frac{{ - 3}}{2}\\t' = 1\end{array} \right. \Rightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm \( \Rightarrow A \notin {d_2}\).

 

Vậy d1 // d­2.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\,\,{{x - 1} \over {{m^2}}} = {{y - 2} \over { - n}} = {z \over 4}\) và dường thẳng \(\Delta :\,\,{{x - 1} \over 1} = {y \over { - 2}} = {{z - 1} \over 1}\), với \(m,n \ne 0\). Tìm m, n để hai đường thẳng đã cho song song với nhau.

  • A m = 2, n = 8
  • B \(m =  - 2,n = 8\)         
  • C \(m =  - 2,n =  - 8\)
  • D \(\left[ \matrix{  m =  - 2,n = 8 \hfill \cr   m = 2,n = 8 \hfill \cr}  \right.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Để \(d//\Delta  \Rightarrow {\overrightarrow u _d}\) và \({\overrightarrow u _\Delta }\) cùng phương với nhau.

Lời giải chi tiết:

\({\overrightarrow u _d} = \left( {{m^2}; - n;4} \right)\) và \({\overrightarrow u _\Delta } = \left( {1; - 2;1} \right)\) lần lượt là VTCP của d và \(\Delta \).

Để \(d//\Delta  \Rightarrow {\overrightarrow u _d}\) và \({\overrightarrow u _\Delta }\) cùng phương với nhau \( \Rightarrow {{{m^2}} \over 1} = {{ - n} \over { - 2}} = {4 \over 1} \Rightarrow \left\{ \matrix{  {m^2} = 4 \hfill \cr   n = 8 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left[ \matrix{  m = 2;n = 8 \hfill \cr   m =  - 2;n = 8 \hfill \cr}  \right.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), trục \(Ox\) có phương trình tham số là

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\).
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\).
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = t\end{array} \right.\).
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.\).

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 4}}.\) Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng \(d?\)

  • A \(Q\left( { - 2; - 4;7} \right)\)
  • B \(N\left( {4;0; - 1} \right)\)
  • C \(M\left( {1; - 2;3} \right)\)       
  • D \(P\left( {7;2;1} \right)\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;2} \right),B\left( {3;{\rm{ - }}2;0} \right).\) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là

  • A \(\overrightarrow u \left( { - 1;2;1} \right)\)                                      
  • B \(\overrightarrow u \left( {1;2; - 1} \right)\)                            
  • C \(\overrightarrow u \left( {2; - 4;2} \right)\)  
  • D \(\overrightarrow u \left( {2;4; - 2} \right)\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 5}}{3}\). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của \(d\) ?

  • A \({\vec u_1} = (3; - 1;5)\).
  • B \({\vec u_3} = (2;6; - 4)\)
  • C \({\vec u_4} = ( - 2; - 4;6)\).
  • D \({\vec u_2} = (1; - 2;3)\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 5}}{3}\)có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2;3} \right)\).

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\) và vuông góc với đường thẳng \(\left( {d'} \right):\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{{ - 1}}\). Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng \(\left( d \right)\).

  • A \(\left( {2;1;1} \right)\)
  • B \(\left( {4; - 2;2} \right)\)
  • C \(\left( { - 4;2; - 2} \right)\)
  • D \(\left( { - 2;1;1} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n  \bot \overrightarrow a \\\overrightarrow n  \bot \overrightarrow b \end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow u \) là vecto chỉ phương của đường thẳng \(\left( d \right)\).

Gọi \(\overrightarrow n \left( {1;1;1} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\overrightarrow {u'} \left( {1;3; - 1} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\left( {d'} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( P \right)\\d \bot d'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  \bot \overrightarrow n \\\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {u'} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow n ;\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 4;2;2} \right)\).

Vì \(\left( { - 4;2;2} \right)\) và \(\left( { - 2;1;1} \right)\) là 2 vectơ cùng phương nên \(\left( { - 2;1;1} \right)\) cũng là 1 VTCP của đường thẳng \(d\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Trong không gian Oxyz; cho đường thẳng d : \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\).  Phương trình chính tắc của d là :

  • A \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\).
  • B \(\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}\).
  • C \(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\).
  • D \(\dfrac{{x + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{2}\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right),\,\,\left( {a,b,c \ne 0} \right)\) là:

\(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d : \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;1;2} \right)\)và có 1 VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 1} \right)\), có phương trình chính tắc là:

\(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y =  - 2 + 3t\\z = 3 + t\end{array} \right.\). Tọa độ một vecto chỉ phương của \(d\) là:

  • A \(\left( {1; - 2;3} \right).\)
  • B \(\left( { - 1; - 2;3} \right).\)
  • C \(\left( { - 1;3;1} \right).\)
  • D \(\left( { - 1;3;0} \right).\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \) đều là VTCP của đường thẳng \(d\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y =  - 2 + 3t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) có vectơ chỉ phương là \(\left( { - 1;3;1} \right)\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {0; - 1;4} \right)\) và nhận vecto \(\overrightarrow u \left( {3; - 1;5} \right)\) làm vecto chỉ phương. Hệ phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(d\) ?

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 - t\\z = 4 + 5t\end{array} \right..\)
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 1 - t\\z = 5 + 4t\end{array} \right..\)
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y =  - 1 - t\\z = 4 + 5t\end{array} \right..\)
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 - t\\z =  - 4 + 5t\end{array} \right..\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {0; - 1;4} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 1;5} \right)\) có phương trình tham số là\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y =  - 1 - t\\z = 5 + 4t\end{array} \right..\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Trong không gian Oxyz , đường thẳng nào sau đây nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2;3; - 4} \right)\) làm véc tơ chỉ phương?
(với \(t \in \mathbb{R}\)).

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\)
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 3t\\z =  - 4 + t\end{array} \right.\)
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 5t\\z =  - 4 - 3t\end{array} \right.\)
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow u \) đều là VTCP của đường thẳng trên.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( {2;3; - 4} \right)\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 4t\\z = 3 - 5t\end{array} \right.,\,\,t \in \mathbb{R}\). Hỏi d đi qua điểm nào dưới
đây?

  • A \(\left( {3;6;8} \right)\)   
  • B \(\left( {1; - 4; - 5} \right)\)
  • C \(\left( { - 1;2;3} \right)\)
  • D \(\left( {0;6;8} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng. Hệ phương trình có nghiệm chứng tỏ được đó thuộc đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ điểm \(\left( {0;6;8} \right)\) vào phương trình đường thẳng ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\6 = 2 - 4t\\8 = 3 - 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow t =  - 1\). Vậy điểm \(\left( {0;6;8} \right)\) thuộc đường thẳng d.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 2} \right).\)

  • A \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}\)
  • B \(\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{3}.\)
  • C \(\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z + 2}}{3}.\)
  • D \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 2}}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 2} \right)\) có dạng: \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Trong không gian Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {0;1;0} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z = 0\) là

  • A \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{1}\)
  • B \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{1}\)
  • C \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{z}{1}\)
  • D \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{z}{1}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng: \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}} \).

- Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi đường thẳng d là đường thẳng đi qua \(M\left( {0;1;0} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z = 0\)

Suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng d chính là vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z = 0\)

Nên \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\)

Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0;1;0} \right)\) và có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\) có phương trình là \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{1}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) đi qua điểm nào dưới đây?

  • A \(M\left( {1;4; - 5} \right)\)
  • B \(Q\left( { - 1;2;1} \right)\)
  • C \(N\left( { - 3; - 4;5} \right)\)   
  • D \(P\left( {1;2; - 2} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Thử tọa độ các điểm ở đáp án vào phương trình đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\) đi qua điểm \(N\left( { - 3; - 4;5} \right)\) khi \(t =  - 2\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z =  - 2 + 2t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) và điểm \(M\left( {1;2;m} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của tham số m dể điểm M thuộc đường thẳng \(d\).

  • A \(m = 2\)
  • B \(m = 1\)
  • C \(m =  - 2\)
  • D \(m = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d. Giải hệ phương trình tìm tm.

Lời giải chi tiết:

Điểm \(M\left( {1;2;m} \right)\) thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2t = 1\\2 - t = 2\\ - 2 + 2t = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\m =  - 2\end{array} \right.\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm \(M\left( {2; - 1;4} \right),\) \(N\left( {1; - 3;2} \right)\) có phương trình là

  • A \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{4}\)
  • B \(\dfrac{{x + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 4}}{{ - 2}}\)
  • C \(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{2}\)
  • D \(\dfrac{{x - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 2}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Đường thẳng đi qua M, N nhận \(\overrightarrow {MN} \) là 1 VTCP.

- Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua \(M\left( {2; - 1;4} \right);N\left( {1; - 3;2} \right)\) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1; - 2; - 2} \right)\)

Nên phương trình đường thẳng d  là \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng qua điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;3} \right)\) là

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)\)    
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 + 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)\)
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 - 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)\)  
  • D

    \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y =  - 2 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + bt\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua \(A\left( {2; - 1;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;3} \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 - 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 3t\\z = 2 + t\end{array} \right.\) là

  • A \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{2}\)
  • B \(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z - 2}}{2}\)
  • C \(\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z - 2}}{1}\)
  • D \(\dfrac{{x + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{1}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Từ phương trình tham số, rút ẩn t để suy ra phương trình chính tắc.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 3t\\z = 2 + t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{{x - 1}}{{ - 2}}\\t = \dfrac{y}{3}\\t = \dfrac{{z - 2}}{1}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z - 2}}{1}\)  là phương trình tham số của đường thẳng d.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Trong không gian \(Oxyz,\) một vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 2t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\) là:

  • A \(\overrightarrow u  = \left( {0;\,\,2;\,\,3} \right)\)
  • B \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,\,2;\, - 3} \right)\)
  • C \(\overrightarrow u  = \left( {0;\,\,2;\, - 3} \right)\)
  • D \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,\,2;\,\,1} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \) thì vecto \(k\overrightarrow u \) cũng là 1 VTCP của \(\Delta .\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 2t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\) có VTCP là: \(\overrightarrow u  = \left( {0;\,\,2; - 3} \right).\)  

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + t\\y = 1 - 2t\\z =  - 2 + t\end{array} \right..\) Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng \(d?\)

  • A \(P\left( { - 2; - 1; - 2} \right)\)
  • B \(N\left( {1; - 2;\,\,1} \right)\)
  • C \(Q\left( { - 3; - 1; - 2} \right)\)
  • D \(M\left( { - 3;\,\,1; - 2} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + t\\y = 1 - 2t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.\)  đi qua điểm \(M\left( { - 3;\,\,1;\,\,2} \right).\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Trong không gian tọa độ \(Oxyz,\) đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3; - 2;4} \right)\)và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;6} \right)\) có phương trình

  • A \(\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 4}}{6}\).
  • B \(\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 4}}{6}\).
  • C \(\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 4}}{6}\).
  • D \(\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 6}}{4}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Trong không gian tọa độ \(Oxyz,\) đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3; - 2;4} \right)\)và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;6} \right)\) có phương trình là: \(\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 4}}{6}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{2}\) đi qua điểm nào dưới đây ?

  • A \(M\left( {3;2;1} \right).\)
  • B \(M\left( {3; - 2; - 1} \right).\)
  • C \(M\left( { - 3;2;1} \right).\)
  • D \(B\left( {1; - 1;2} \right).\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng bằng cách thay trực tiếp tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\dfrac{{ - 3 + 3}}{1} = \dfrac{{2 - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{1 - 1}}{2} = 0\) nên \(M\left( { - 3;2;1} \right) \in d\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{2}\) đi qua điểm nào dưới đây?

  • A \(M\left( {3;2;1} \right)\)
  • B \(M\left( {3; - 2; - 1} \right)\)
  • C \(M\left( { - 3;2;1} \right)\)
  • D \(M\left( {1; - 1;2} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào phương trình đường thẳng, nếu có hệ thức đúng thì đó là điểm cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ điểm M(3;-2;-1) vào phương trình đường thẳng ta được:

\(\dfrac{{3 - 3}}{1} = \dfrac{{ - 2 + 2}}{{ - 1}}\)\( = \dfrac{{ - 1 + 1}}{2} = 0\) nên đường thẳng đã cho đi qua \(M\left( {3; - 2; - 1} \right)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{4},\) một vectơ chỉ phương của \(\left( d \right)\) là:

  • A \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 4} \right).\)
  • B \(\overrightarrow u  = \left( { - 2;1; - 4} \right).\)
  • C \(\overrightarrow u  = \left( { - 2; - 1;4} \right).\)
  • D \(\overrightarrow u  = \left( {2;1; - 4} \right).\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Đường thẳng \(\dfrac{{x - a}}{m} = \dfrac{{y - b}}{n} = \dfrac{{z - c}}{p}\) có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {m;n;p} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow u \) đều là 1 VTCP của đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\left( d \right):\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{4}\) có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;4} \right)\) nên \( - \overrightarrow u  = \left( { - 2;1; - 4} \right)\) cũng là 1 VTCP của đường thẳng \(d\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\). Cho đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(\left( d \right)\). Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là 

  • A \(\overrightarrow n  = \left( { - 1;1;3} \right).\)
  • B \(\overrightarrow n  = \left( {2;2; - 6} \right).\)
  • C \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;2; - 6} \right).\)
  • D \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1; - 3} \right).\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\).

- \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = k\overrightarrow {{u_d}} \,\,\left( {k \ne 0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 1;3} \right)\).

Vì \(d \bot \left( P \right)\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}}  =  - 2\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 2;2; - 6} \right)\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Trong không gian \(Oxyz,\) vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 4 - 3t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \(\left( {{d_2}} \right):\,\,\,\dfrac{{x - 5}}{3} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 3}}\) là:

  • A Cắt nhau
  • B Trùng nhau
  • C Chéo nhau
  • D Song song

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng: \({d_1}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} \) và đi qua điểm \({M_1};\) \({d_2}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} \) và đi qua điểm \({M_2}.\)

+) \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  \ne 0\end{array} \right..\)

+) \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 0\end{array} \right..\)

+) \({d_1}\) và \({d_2}\) song song \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\{M_1} \notin {d_2}\end{array} \right..\)

+) \({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\{M_1} \in {d_2}\end{array} \right..\)

+) \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\,\,\overrightarrow {{u_2}}  = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 4 - 3t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) có VTCP là: \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 3;\,\,2} \right)\) và đi qua \({M_1}\left( {1; - 4;\,\,3} \right)\)

\(\left( {{d_2}} \right):\,\,\,\dfrac{{x - 5}}{3} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 3}}\) có VTCP là: \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {3;\,\,2; - 3} \right)\) và đi qua \({M_2}\left( {5; - 1;\,\,2} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {5;\,\,12;\,\,13} \right) \ne \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow \) \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ta có: \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {4;\,\,3;\, - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 4.5 + 3.12 - 13 = 43 \ne 0\)

\( \Rightarrow {d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Trong không gian \(Oxyz,\) đường thẳng \(d\) qua \(M\left( { - 3;\,\,5;\,\,6} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - 3y + 4z - 2 = 0\) thì đường thẳng \(d\) có phương trình là:

  • A \(\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{3} = \dfrac{{z - 6}}{4}\)
  • B \(\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 6}}{4}\)
  • C \(\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 5}}{{ - 3}} = \dfrac{{z + 6}}{4}\)
  • D \(\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 6}}{{ - 4}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d \bot \left( P \right)\) \( \Rightarrow d\) nhận CTVPT của \(\left( P \right)\) làm VTCP.

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right)\) là: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( P \right):\,\,2x - 3y + 4z - 2 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 3;\,\,4} \right).\)

Đường thẳng \(d \bot \left( P \right)\) \( \Rightarrow d\) nhận CTVPT của \(\left( P \right)\) làm VTCP \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2; - 3;\,\,4} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d\)  qua \(M\left( { - 3;\,\,5;\,\,6} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\)  là:

\(\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 6}}{4}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}\). Điểm nào sau đây thuộc \(d\)?

  • A \(Q\left( {3;2;2} \right)\)
  • B \(M\left( {2;1;0} \right)\)
  • C \(P\left( {3;1;1} \right)\)
  • D \(N\left( {0; - 1; - 2} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào phương trình đường thẳng \(d\).

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ điểm \(P\left( {3;1;1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta có: \(\dfrac{{3 - 1}}{2} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2} = 1 \Rightarrow P \in d\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{y}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 1}}{1}.\) Vecto chỉ phương của đường thẳng \(d\) có tọa độ là:

  • A \(\left( {2; - 3;\,\,1} \right)\)
  • B \(\left( {2;\,\,3;\,\,1} \right)\)
  • C \(\left( { - 2; - 3;\,\,1} \right)\)
  • D \(\left( { - 3;\,\,0;\,\,1} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{y}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) có VTCP là: \(\left( {2; - 3;\,\,1} \right).\) 

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Trong không gian \(Oxyz,\) đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 2}}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\) có một vecto chỉ phương có tọa độ là:

  • A \(\left( { - 2;\,\,3;\,\,1} \right)\)
  • B \(\left( { - 1;\,\,2;\,\,1} \right)\)
  • C \(\left( {2; - 3;\,\,1} \right)\)
  • D \(\left( {1; - 2;\,\,1} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right).\) 

\( \Rightarrow \overrightarrow {u'}  = k\overrightarrow u \,\,\left( {k \ne 0} \right)\) cũng là VTCP của \(\Delta .\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 2}}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)  có VTCP là \(\left( { - 2;\,\,3;\, - 1} \right).\)

\( \Rightarrow \left( { 2;\,\,-3;\,\,1} \right)\) cũng là 1 VTCP của \(\Delta .\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Trong không gian \(Oxyz,\) hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)\) lên trục \(Oz\) là điểm có tọa độ:

  • A \({M_1}\left( {1;\,\,2;\,\,0} \right)\)
  • B \({M_2}\left( {0;\,\,2;\,\,3} \right)\)
  • C \({M_3}\left( {0;\,\,2;\,\,0} \right)\)
  • D \({M_4}\left( {0;\,\,0;\,\,3} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)\) trên trục \(Oz\) là điểm \(M'\left( {0;\,\,0;\,\,c} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)\) trên trục \(Oz\) là điểm \(M'\left( {0;\,\,0;\,\,3} \right).\) 

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {1;\,\,2; - 3} \right)\) nhận vecto \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;\,\,2;\,\,1} \right)\) làm vecto chỉ phương có phương trình là:

  • A \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 3}}{1}\)         
  • B \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 1}}\)    
  • C \(\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{1}\)         
  • D \(\dfrac{{x + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{1}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right)\) là: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}.\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {1;\,\,2; - 3} \right)\) nhận vecto \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;\,\,2;\,\,1} \right)\) làm vecto chỉ phương có phương trình là:

\(\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{1}.\)

Chọn C. 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 + t\\z = 3t\end{array} \right.\). Một vectơ chỉ phương của \(d\) là:

  • A \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;3} \right)\)
  • B \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;0} \right)\)          
  • C \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;3} \right)\)
  • D \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;3} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 + t\\z = 3t\end{array} \right.\) có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;3} \right).\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay

Gửi bài