35 bài tập vận dụng Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Để biểu thức \(9{x^2} + 30x + a\) là bình phương của một tổng thì giá trị của \(a\) phải là:

  • A \(9\)
  • B \(25\)
  • C \(36\)
  • D Một kết quả khác.

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(9{{x}^{2}}+30x+a={{\left( 3x \right)}^{2}}+2.3x.5+a\)

Để \(9{{x}^{2}}+30x+a\) là bình phương của một tổng thì \(a={{5}^{2}}=25\)

Khi đó, ta có: \(9{{x}^{2}}+30x+25={{\left( 3x \right)}^{2}}+2.3x.5+{{5}^{2}}={{\left( 3x+5 \right)}^{2}}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Tính giá trị của các biểu thức:

\(a)\dfrac{{{{63}^2} - {{47}^2}}}{{{{215}^2} - {{105}^2}}}\)

\(b)\dfrac{{{{437}^2} - {{363}^2}}}{{{{537}^2} - {{463}^2}}}\)

\(c)\;{x^3} - {x^2}y + \dfrac{1}{3}x{y^2} - \dfrac{1}{{27}}{y^3}\) tại \(x = 2\) và \(y = 3\)

  • A \(a) \dfrac{1}{20}\)

    \(b) -\dfrac{4}{5}\)

    \(c) 1 \)

  • B \(a) \dfrac{1}{20}\)

    \(b) \dfrac{4}{5}\)

    \(c) 1 \)

  • C \(a) \dfrac{1}{20}\)

    \(b) \dfrac{8}{5}\)

    \(c) \dfrac{3}{2} \)

  • D \(a) \dfrac{1}{2}\)

    \(b) \dfrac{4}{5}\)

    \(c) -1 \)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(a)\dfrac{{{63}^{2}}-{{47}^{2}}}{{{215}^{2}}-{{105}^{2}}}=\dfrac{(63-47).\left( 63+47 \right)}{\left( 215-105 \right).\left( 215+105 \right)}=\dfrac{16.110}{110.320}=\dfrac{1}{20}\)

\(b)\dfrac{{{437}^{2}}-{{363}^{2}}}{{{537}^{2}}-{{463}^{2}}}=\dfrac{(437-363).\left( 437+363 \right)}{\left( 537-463 \right).\left( 537+463 \right)}=\dfrac{74.800}{74.1000}=\dfrac{4}{5}\)

\(c){{x}^{3}}-{{x}^{2}}y+\dfrac{1}{3}x{{y}^{2}}-\dfrac{1}{27}{{y}^{3}}={{x}^{3}}-3.{{x}^{2}}.\dfrac{1}{3}y+3.x.{{\left( \dfrac{1}{3}y \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{3}y \right)}^{3}}={{\left( x-\dfrac{1}{3}y \right)}^{3}}\)

Tại \(x=2,y=3\) ta có: \({{\left( x-\dfrac{1}{3}y \right)}^{3}}={{\left( 2-\dfrac{1}{3}.3 \right)}^{3}}={{1}^{3}}=1\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Rút gọn các biểu thức sau:

\(a)\;2x{\left( {2x - 1} \right)^2} - 3x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) - 4x{\left( {x + 1} \right)^2}\)

\(b)\;{\left( {a - b + c} \right)^2} - {\left( {b - c} \right)^2} + 2ab - 2ac\)

\(c)\;{(3x + 1)^2} - 2\left( {3x + 1} \right)\left( {3x + 5} \right) + {\left( {3x + 5} \right)^2}\)

\(d)\;{\left( {a + b + c} \right)^2} + {\left( {a - b - c} \right)^2} + {(b - c - a)^2} + {\left( {c - a - b} \right)^2}\)

  • A \( a) {x^3} - 16{x^2} + 25x \)

    \( b) {a^2} \)

    \( c) 16 \)

    \( d) 4{a^2} + 4{b^2} + 4{c^2} \)

  • B \( a) {x^3} - 8{x^2} + 25x \)

    \( b) {a^2}+4 \)

    \( c) 16 \)

    \( d) 4{a^2} + 4{b^2} + 4{c^2}  \)

  • C \( a) {x^3} - 16{x^2} \)

    \( b) {a^2} \)

    \( c) 16 \)

    \( d) {a^2} + {b^2} + {c^2}  \)

  • D \( a) {x^3} - 16{x^2} + 25x \)

    \( b) {a^2} \)

    \( c) 16 \)

    \( d) 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\;2x{\left( {2x - 1} \right)^2} - 3x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) - 4x{\left( {x + 1} \right)^2}\\ = 2x.\left( {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2.2x.1 + {1^2}} \right) - 3x\left( {{x^2} - {3^2}} \right) - 4x.\left( {{x^2} + 2.x.1 + {1^2}} \right)\\ = 2x.\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) - 3x\left( {{x^2} - 9} \right) - 4x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\\ = 2x.4{x^2} - 2x.4x + 2x.1 - 3x.{x^2} + 3x.9 - 4x.{x^2} - 4x.2x - 4x.1\\ = 8{x^3} - 8{x^2} + 2x - 3{x^3} + 27x - 4{x^3} - 8{x^2} - 4x\\ = {x^3} - 16{x^2} + 25x\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\;{\left( {a - b + c} \right)^2} - {\left( {b - c} \right)^2} + 2ab - 2ac\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ac - \left( {{b^2} - 2.b.c + {c^2}} \right) + 2ab - 2ac\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ac - {b^2} + 2bc - {c^2} + 2ab - 2ac\\ = {a^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c){\left( {3x + 1} \right)^2} - 2\left( {3x + 1} \right)\left( {3x + 5} \right) + {\left( {3x + 5} \right)^2}\\ = {\left( {\left( {3x + 1} \right) - \left( {3x + 5} \right)} \right)^2}\\ = {\left( {3x + 1 - 3x - 5} \right)^2}\\ = {( - 4)^2} = 16\end{array}\)

\(\begin{array}{l}d){\left( {a + b + c} \right)^2} + {\left( {a - b - c} \right)^2} + {\left( {b - c - a} \right)^2} + {\left( {c - a - b} \right)^2}\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc + {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2ac + 2bc\\ + {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ac + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab - 2ac - 2bc\\ = 4{a^2} + 4{b^2} + 4{c^2} \end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(x\) ta luôn có:

\(a) - {x^2} + 4x - 5 < 0\)

\(b)\;{x^6} + 3{x^3} + 3 > 0\)

  • A \( a) - {x^2} + 4x - 5 < -2, \forall x\)

    \( b)  {{x}^{6}}+3{{x}^{3}}+3>1, \forall x\)

  • B \( a) - {x^2} + 4x - 5 \le -1, \forall x\)

    \( b)  {{x}^{6}}+3{{x}^{3}}+3\ge \dfrac{3}{4}, \forall x\)

  • C \( a) - {x^2} + 4x - 5 < 0, \forall x\)

    \( b)  {{x}^{6}}+3{{x}^{3}}+3>3, \forall x\)

  • D \( a) - {x^2} + 4x - 5 < -1, \forall x\)

    \( b)  {{x}^{6}}+3{{x}^{3}}+3>1, \forall x\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(a)-{{x}^{2}}+4x-5=-{{x}^{2}}+2.x.2-{{2}^{2}}-1=-\left( {{x}^{2}}-2.x.2+{{2}^{2}} \right)-1=-{{\left( x-2 \right)}^{2}}-1\le -1\)

\(\Rightarrow -{{x}^{2}}+4x-5<0\) với mọi giá trị của \(x\).

\(b){{x}^{6}}+3{{x}^{3}}+3={{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}+2.{{x}^{3}}.\dfrac{3}{2}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}={{\left( {{x}^{3}}+\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}\ge \dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow {{x}^{6}}+3{{x}^{3}}+3>0\) với mọi giá trị của \(x\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho \(x + y = 3\). Tính giá trị của biểu thức:

\(A = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4x - 4y + 1\).

  • A \(-2\)
  • B \(-4\)
  • C \(1\)
  • D \(0\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(A={{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}-4x-4y+1=\left( {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}} \right)-\left( 4x+4y \right)+1={{\left( x+y \right)}^{2}}-4\left( x+y \right)+1\)

Tại \(x+y=3\) , ta có: \(A={{3}^{2}}-4.3+1=-2\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho \({x^2} + {y^2} = 25\) và \(xy = 12\), giá trị của \({\left( {x - y} \right)^2}\)là:

  • A \(0\)
  • B \(1\)
  • C \(2\)
  • D \( - 1\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\({{\left( x-y \right)}^{2}}={{x}^{2}}-2.x.y+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy\)

Tại \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25\) và \(xy=12\) ta có: \({{\left( x-y \right)}^{2}}=25-2.12=1\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Rút gọn biểu thức:

\(a)A = \left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {54 + {x^3}} \right)\)

\(b)B = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + {\left( {x + 1} \right)^2} + 5\)

\(c)C = 9{x^2} - 2xy + \dfrac{1}{9}{y^2} - 2\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right)\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right) + {\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)^2}\)

  • A \( a) 27\)

    \( b) 4{x^2} + 8\)

    \( c) \dfrac{4}{9}{y^2}\)

  • B \( a) -27\)

    \( b) 4{x^2} + 5\)

    \( c) \dfrac{4}{9}{y^2}\)

  • C \( a) 81\)

    \( b) 4{x^2} + 5\)

    \( c) -\dfrac{2}{3}{y^2}\)

  • D \( a) -27\)

    \( b) 4{x^2} + 5\)

    \( c) \dfrac{2}{3}{y^2}\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

 

\(\begin{array}{l}a)\;A = \left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {54 + {x^3}} \right)\\A = \left( {{x^2} - 3x + {3^2}} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {54 + {x^3}} \right)\\A = {x^3} + {3^3} - 54 - {x^3}\\A = 27 - 54 = - 27\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\;B = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + {\left( {x + 1} \right)^2} + 5\\B = {\left( {\left( {x - 1} \right) + \left( {x + 1} \right)} \right)^2} + 5\\B = {\left( {x - 1 + x + 1} \right)^2} + 5\\B = {\left( {2x} \right)^2} + 5 = 4{x^2} + 5\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\;C = 9{x^2} - 2xy + \dfrac{1}{9}{y^2} - 2\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right) + {\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)^2}\\C = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.\dfrac{1}{3}y + {\left( {\dfrac{1}{3}y} \right)^2} - 2\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right) + {\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)^2}\\C = {\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right)^2} - 2\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right) + {\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)^2}\\C = {\left( {\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right) - \left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)} \right)^2}\\C = {\left( {3x - \dfrac{1}{3}y - 3x - \dfrac{1}{3}y} \right)^2}\\C = {\left( { - \dfrac{2}{3}y} \right)^2} = \dfrac{4}{9}{y^2}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Chứng minh đẳng thức:                     

\({\left( {a + b + c} \right)^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2} + {\left( {c + a} \right)^2}\)

  • A \({\left( {a + b + c} \right)^2}= {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2} + {\left( {a + c} \right)^2}\)
  • B \({\left( {a + b + c} \right)^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2}= {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2} + {\left( {a + c} \right)^2}\)
  • C \({\left( {a + b + c} \right)^2}= {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2} + {\left( {a + c} \right)^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
  • D \({\left( {a + b + c} \right)^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2}= 2{\left( {a + b} \right)^2} + 2{\left( {b + c} \right)^2} + 2{\left( {a + c} \right)^2}\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

 

\(\begin{array}{l}VT = {\left( {a + b + c} \right)^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2}\\VT = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac + {a^2} + {b^2} + {c^2}\\VT = \left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} + 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} + 2ac + {c^2}} \right)\\VT = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2} + {\left( {a + c} \right)^2}\\ \Rightarrow VT = VP\end{array}\)

\(\Rightarrow \) Đpcm

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Tính giá trị biểu thức:

\(a)\;A = {y^2} + 4y + 4\) tại \(y = 98\);

\(b)B = {x^3} - 3{x^2} + 8x - 1\) tại \(x = 1\).

  • A \( a) 100 \)

    \( b) 1 \)

  • B \( a) 100 \)

    \( b) 5 \)

  • C \( a) 10000 \)

    \( b) 1 \)

  • D \( a) 10000 \)

    \( b) 5 \)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(a)\ A={{y}^{2}}+4y+4={{y}^{2}}+2.2.y+{{2}^{2}}={{\left( y+2 \right)}^{2}}\)

Tại \(y=98\) ta có: \(A={{\left( 98+2 \right)}^{2}}={{100}^{2}}=10000\)

\(b)\ B={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x-1={{x}^{3}}-3.{{x}^{2}}.1+3.x{{.1}^{2}}-{{1}^{3}}+5x={{\left( x-1 \right)}^{3}}+5x\)

Tại \(x=1\) ta có: \(B={{(1-1)}^{2}}+5.1=5\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Tìm \(x\) biết: \({\left( {x + 1} \right)^3} - {\left( {x - 1} \right)^3} - 6{\left( {x - 1} \right)^2} =  - 10\)

  • A \( -\dfrac{{ 1}}{2}\)
  • B \( \dfrac{{ 1}}{2}\)
  • C \( -2\)
  • D \( 2\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

 

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^3} - {\left( {x - 1} \right)^3} - 6{\left( {x - 1} \right)^2} = - 10\\{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - \left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1} \right) - 6\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = - 10\\{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1 - 6{x^2} + 12x - 6 = - 10\\12x - 4 = - 10\\12x = - 10 + 4\\12x = - 6\\x = -\dfrac{{ 1}}{2}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn \({\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 6\)

  • A \(1\)                     
  • B \(2\)                  
  • C \(0\)                
  • D \( - 1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức với đa thức\(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) để khai triển vế trái.

Sau đó, rút gọn giải phương trình tìm \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 2x + x - 2} \right) = 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - x - 2} \right) = 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - {x^2} + x + 2 = 6\\ \Leftrightarrow 5x = 0\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\)

Vậy \(x = 0.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Tìm hệ số của \(xy\) trong khai triển của \({\left( {x + 3y} \right)^2} + {\left( {xy - 3} \right)^2}\)

  • A \(9\)
  • B \(6\)
  • C \(0\)
  • D \(-6\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)  và \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) để khai triển và rút gọn biểu thức. Từ đó, nhận ra hệ số của \(xy\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 3y} \right)^2} + {\left( {xy - 3} \right)^2}\\ = {x^2} + 2.x.3y + {\left( {3y} \right)^2} + {\left( {xy} \right)^2} - 2.xy.3 + {3^2}\\ = {x^2} + 6xy + 9{y^2} + {x^2}{y^2} - 6xy + 9\\ = {x^2} + 9{y^2} + {x^2}{y^2} + 9\end{array}\)

Vậy hệ số của \(xy\) trong biểu thức bằng 0.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Viết biểu thức dưới dạng bình phương một tổng, hiệu:

Câu 1:

\({x^2} - 5x + \frac{{25}}{4}\).

  • A \(\left ( x - \frac{5}{2} \right )^{2}\)
  • B \(\left ( x + \frac{5}{2} \right )^{2}\)
  • C \(\left ( x - \frac{5}{4} \right )^{2}\)
  • D \(\left ( x + \frac{5}{4} \right )^{2}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)  và \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

Lời giải chi tiết:

\({x^2} - 5x + \frac{{25}}{4}\).

\(\begin{array}{l} = {x^2} - 2.\frac{5}{2}x + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2}\\ = {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2}\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({x^2}{y^2} + 8x{y^2} + 16{y^2}\).

  • A \(\left ( xy + 2y \right )^{2}\)
  • B \(\left ( xy - 4y \right )^{2}\)
  • C \(\left ( xy - 2y \right )^{2}\)
  • D \(\left ( xy + 4y \right )^{2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)  và \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

Lời giải chi tiết:

\({x^2}{y^2} + 8x{y^2} + 16{y^2}\).

\(\begin{array}{l} = {\left( {xy} \right)^2} + 2.\left( {xy} \right)\left( {4y} \right) + {\left( {4y} \right)^2}\\ = {\left( {xy + 4y} \right)^2}\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn:

Câu 1:

\({\left( {2x - 1} \right)^2} - 4x\left( {x + 3} \right) = 17\)

  • A \(x = 1\)
  • B \(x = 2\)
  • C \(x = -1\)
  • D \(x = -2\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và quy tắc nhân đơn thức với đa thức, phá ngoặc, thu gọn giải ra được \(x\) thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

\({\left( {2x - 1} \right)^2} - 4x\left( {x + 3} \right) = 17\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.1 + {1^2} - 4.{x^2} - 4x.3 = 17\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 - 4{x^2} - 12x = 17\\ \Leftrightarrow  - 16x = 16\\ \Leftrightarrow x =  - 1\end{array}\)

Vậy \(x =  - 1.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\(\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) - {x^2} + 4 = 0\)

  • A \(x = -2\) hoặc \(x = 7\)
  • B \(x = 2\) hoặc \(x = 7\)
  • C \(x = -2\) hoặc \(x = -7\)
  • D \(x = 2\) hoặc \(x = -7\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\); \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\); \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) để rút ra nhân tử chung và giải.

Lời giải chi tiết:

\(\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) - {x^2} + 4 = 0\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2.2x + {2^2}} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {x - 2 + x - 3 - \left( {x + 2} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2x - 5 - x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 7\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = 2\) hoặc \(x = 7.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Sử dụng các hằng đẳng thức để tính: \({41^2};\,\,{19^2};\,\,28.32\)

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\); \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\); \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) để tách \(41 = 40 + 1;\,\,\)\(19 = 20 - 1;\,\)\(28.32 = \left( {30 - 2} \right)\left( {30 + 2} \right).\)

Lời giải chi tiết:

\({41^2} = {\left( {40 + 1} \right)^2} = {40^2} + 2.40.1 + {1^2}\)\( = 1600 + 80 + 1 = 1681\)

\({19^2} = {\left( {20 - 1} \right)^2} = {20^2} - 2.20 + 1\)\( = 400 - 40 + 1 = 361\)

\(28.32 = \left( {30 - 2} \right)\left( {30 + 2} \right)\)\( = {30^2} - {2^2} = 900 - 4 = 896\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Rút gọn biểu thức \(A = \left( {{x^2} - 8x + 16} \right) - \left( {{x^2}{y^2} + 2xy + 1} \right)\). Tính giá trị của \(A\) với \(x = 4;\,y = 1\)

  • A \(A = -25\)
  • B \(A = 25\)
  • C \(A = 5\)
  • D \(A = -5\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\); \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) để rút gọn \(A\) sau đó thay \(x = 4;y = 1\) vào \(A\) để tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \left( {{x^2} - 8x + 16} \right) - \left( {{x^2}{y^2} + 2xy + 1} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {{x^2} - 2.4x + {4^2}} \right) - \left( {{x^2}{y^2} + 2xy + 1} \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( {x - 4} \right)^2} - {\left( {xy + 1} \right)^2}\end{array}\)

Thay \(x = 4;\,y = 1\) vào \(A\)\( \Rightarrow A = {\left( {4 - 4} \right)^2} - {\left( {4.1 + 1} \right)^2}\)\( =  - {5^2} =  - 25\)

Vậy \(A =  - 25\) khi \(x = 4,\,\,y = 1.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn \({\left( {x + 2} \right)^3} - \left( {{x^2} + x} \right)\left( {x + 5} \right) = 8\)

  • A \(1\)                     
  • B \(2\)                  
  • C \(0\)                
  • D \( - 1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) và phép nhân đa thức \(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) để khai triển vế trái.

Sau đó, rút gọn giải ra \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^3} - \left( {{x^2} + x} \right)\left( {x + 5} \right) = 8\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} + {2^3} - \left( {{x^2}.x + 5{x^2} + {x^2} + 5x} \right) = 8\\ \Leftrightarrow {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 - {x^3} - 6{x^2} - 5x = 8\\ \Leftrightarrow 7x = 0\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\)

Vậy \(x = 0.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Giá trị của biểu thức \(A = {x^3} + 6{x^2}y + 12x{y^2} + 8{y^3}\) với \(x = 8;\,\,\,y = 6\)

  • A \(800\)      
  • B \(80\)                
  • C \(8000\)                   
  • D \(8\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) chuyển biểu thức thành lập phương một tổng rồi thay \(x = 8;\,\,\,y = 6\) để tính toán thuận tiện.

Lời giải chi tiết:

\(A = {x^3} + 6{x^2}y + 12x{y^2} + 8{y^3}\)\( = {x^3} + 3.{x^2}.2y + 3x{.2^2}{y^2} + {\left( {2y} \right)^3}\)\( = {\left( {x + 2y} \right)^3}\)

Với \(x = 8;\,\,\,y = 6\)\( \Rightarrow A = {\left( {8 + 2.6} \right)^3} = {20^3} = 8000\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn:

Câu 1:

\({\left( {2x - 1} \right)^3} - 8x\left( {{x^2} + \frac{3}{4}} \right) =  - 13\)

  • A \(x = 1\) hoặc \(x =  - 1.\)
  • B \(x = 2\) hoặc \(x = -2\)
  • C \(x = 3\) hoặc \(x = -3\)
  • D \(x = 4\) hoặc \(x = -4\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) và quy tắc nhân đơn thức với đa thức, phá ngoặc, thu gọn giải ra được \(x\) thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

\({\left( {2x - 1} \right)^3} - 8x\left( {{x^2} + \frac{3}{4}} \right) =  - 13\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2x} \right)^3} - 3.{\left( {2x} \right)^2} + 3.2x - 1 - 8x.{x^2} - 8x.\frac{3}{4} =  - 13\\ \Leftrightarrow 8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - 8{x^3} - 6x =  - 13\\ \Leftrightarrow  - 12{x^2} =  - 12\\ \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = 1\) hoặc \(x =  - 1.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({\left( {x + 1} \right)^3} - \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 4{x^2} = 0\)

  • A \(x = -1\)
  • B \(x = -2\)
  • C \(x = -3\)
  • D \(x = 1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) và phép nhân đa thức \(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) để khai triển vế trái.

Sau đó, rút gọn giải ra \(x\).

Lời giải chi tiết:

\({\left( {x + 1} \right)^3} - \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 4{x^2} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} + 3.{x^2} + 3.x + 1 - \left( {{x^2}.x - {x^2} + 2x - 2} \right) - 4{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - {x^3} + {x^2} - 2x + 2 - 4{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow x =  - 3\end{array}\)

Vậy \(x =  - 3\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Viết biểu thức dưới dạng lập phương một tổng, hiệu. Tính giá trị của các biểu thức với \(x = 2\).

Câu 1:

\(A = \frac{1}{8}{x^3} + \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + 1\)

  • A \(A = \left ( \frac{1}{2}x - 1 \right )^{3}\,\,;\,\,\,A = 0\)
  • B \(A = \left ( \frac{1}{2}x + 1 \right )^{3}\,\,;\,\,\,A = 8\)
  • C \(A = \left ( \frac{1}{4}x + 1 \right )^{3}\,\,;\,\,\,A = \frac{27}{8}\)
  • D \(A = \left ( \frac{1}{4}x - 1 \right )^{3}\,\,;\,\,\,A =  - \frac{1}{8}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) để rút gọn rồi thay \(x = 2\) vào tính \(A\).

Lời giải chi tiết:

\(A = \frac{1}{8}{x^3} + \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + 1\) với \(x = 2\)

\(A = \frac{1}{8}{x^3} + \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + 1\)\( = {\left( {\frac{1}{2}x} \right)^3} + 3.{\left( {\frac{1}{2}x} \right)^2} + 3.\left( {\frac{1}{2}x} \right) + 1\)\( = {\left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)^3}\)

Thay \(x = 2\) vào \(A\)\( \Rightarrow A = {\left( {\frac{1}{2}.2 + 1} \right)^3} = {2^3} = 8\)

Vậy với \(x = 2\) thì \(A = 8.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\(B = {x^3} - 12{x^2} + 48x\)

  • A \(B = \left ( x - 4 \right )^{3} + 48\,\,;\,\,\,B = 40\)
  • B \(B = \left ( x - 8 \right )^{3} + 64\,\,;\,\,\,B = -160\)
  • C \(B = \left ( x + 4 \right )^{3} + 48\,\,;\,\,\,B = 264\)
  • D \(B = \left ( x - 4 \right )^{3} + 64\,\,;\,\,\,B = 56\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) để rút gọn rồi thay \(x = 2\) vào tính \(B\).

Lời giải chi tiết:

\(B = {x^3} - 12{x^2} + 48x\) với \(x = 2\)

\(B = {x^3} - 12{x^2} + 48x\)\( = {x^3} - 3.{x^2}.4 + 3.x{.4^2} - {4^3} + {4^3}\)\( = {\left( {x - 4} \right)^3} + 64.\)

Thay \(x = 2\) vào \(A\)\( \Rightarrow A = {\left( {2 - 4} \right)^3} + 64 = {\left( { - 2} \right)^3} + 64\)\( =  - 8 + 64 = 56.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Biết rằng \(a \in \mathbb{N},\,\)\(a\) chia 3 thì dư 2. Tìm số dư trong phép chia \({a^3}\) chia cho 3 thì dư mấy?

  • A \(0\)
  • B \(1\)
  • C \(2\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đặt \(a = 3m + 2\,\,\,\left( {m \in \mathbb{N}} \right),\) khai triển \({a^3}\) qua hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) và xét các hạng tử chia 3 dư mấy.

Lời giải chi tiết:

Vì số tự nhiên \(a\) chia 3 dư 2  nên ta đặt \(a = 3m + 2\,\,\,\left( {m \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Rightarrow {a^3} = {\left( {3m + 2} \right)^3}\)\( = {\left( {3m} \right)^3} + 3.{\left( {3m} \right)^2}.2 + 3.\left( {3m} \right){.2^2} + {2^3}\)\( = 27{m^3} + 54{m^2} + 36m + 8\)

Vì \(27{m^3} \vdots 3;\,\,54{m^2} \vdots 3;\,\,36m \vdots 3;\,\,8 = 2.3 + 2\) nên \({a^3}\) chia 3 dư 2.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn \({\left( {x + 3} \right)^2} - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right) =  - 1\)

  • A \(1\)                     
  • B \(2\)      
  • C \(0\)                
  • D \( - 1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức \(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) để khai triển vế trái.

Sau đó, rút gọn giải ra \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 3} \right)^2} - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.3x + {3^2} - \left( {{x^2} + 5x + 2x + 10} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 - {x^2} - 7x - 10 =  - 1\\ \Leftrightarrow  - x - 1 =  - 1\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\)

Vậy \(x = 0.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 4{x^2} - 4x + 2021\) là

  • A \(2019\)      
  • B \(0\)                
  • C \(2021\)                   
  • D \(2020\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) chuyển biểu thức thành \(A = {\left( {a - b} \right)^2} + m \ge m\,\,\,\forall x\) (\(m\) là hằng số). Khi đó, \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(m\), dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a - b = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(A = 4{x^2} - 4x + 2021\)\( = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x + 1 + 2020\)\( = {\left( {2x - 1} \right)^2} + 2020\)

Vì \({\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\forall x\)\( \Rightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} + 2020 \ge 2020\,\,\forall x\)\( \Leftrightarrow A \ge 2020\,\,\,\forall x\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

Vậy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2020\) khi \(x = \frac{1}{2}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Chứng minh rằng \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) để biến đổi vế trái thành vế phải.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(VT = {\left( {a + b + c} \right)^2} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^2}\)\( = {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right)c + {c^2}\)

                 \( = {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2}\) \( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc = VP\) (đpcm)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Rút gọn các biểu thức

Câu 1:

\(A = \left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)\left( {{a^2} - 3a + 9} \right)\left( {{a^2} + 3a + 9} \right)\)

  • A \(A = a^5 - 729\)
  • B \(A = a^6 - 81\)
  • C \(A = a^6 - 729\)
  • D \(A = a^5 - 81\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right);{A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) để tạo \(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) và sau đó sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) để thu gọn.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)\left( {{a^2} - 3a + 9} \right)\left( {{a^2} + 3a + 9} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {a - 3} \right)\left( {{a^2} + 3a + 9} \right)\left( {a + 3} \right)\left( {{a^2} - 3a + 9} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {{a^3} - {3^3}} \right)\left( {{a^3} + {3^3}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {{a^3} - 27} \right)\left( {{a^3} + 27} \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( {{a^3}} \right)^2} - {27^2} = {a^6} - 729\end{array}\)

Chọn C.          

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\(B = \left( {x - 2y + 1} \right)\left( {x + 2y + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4{y^2} + 1} \right)\)

  • A \(B = \left ( x - 1 \right )^{4} - \left ( 2y \right )^{4}\)
  • B \(B = \left ( x + 1 \right )^{4} + \left ( 2y \right )^{4}\)
  • C \(B = \left ( x - 1 \right )^{4} + \left ( 2y \right )^{4}\)
  • D \(B = \left ( x + 1 \right )^{4} - \left ( 2y \right )^{4}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) và \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) để thu gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}B = \left( {x - 2y + 1} \right)\left( {x + 2y + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4{y^2} + 1} \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {\left( {x + 1} \right) - 2y} \right]\left[ {\left( {x + 1} \right) + 2y} \right]\left( {{x^2} + 2x + 1 + 4{y^2}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {x + 1 - 2y} \right)\left( {x + 1 + 2y} \right)\left[ {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 4{y^2}} \right]\\\,\,\,\,\, = \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {2y} \right)}^2}} \right].\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {2y} \right)}^2}} \right]\\\,\,\,\,\, = {\left( {x + 1} \right)^4} - {\left( {2y} \right)^4}\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn:

Câu 1:

\({\left( {x - 1} \right)^3} - \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right) + 3{x^2} = 23\)

  • A \(x = 1\)
  • B \(x = -1\)
  • C \(x = 2\)
  • D \(x = 3\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) và \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) để rút gọn và tìm \(x.\)

Lời giải chi tiết:

\({\left( {x - 1} \right)^3} - \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right) + 3{x^2} = 23\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 - \left( {{x^3} - {3^3}} \right) + 3{x^2} = 23\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3x - 1 - {x^3} + 27 = 23\\ \Leftrightarrow 3x =  - 3\\ \Leftrightarrow x =  - 1\end{array}\)

Vậy \(x =  - 1\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 3} \right)^2} - \left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right) =  - 10x\)

  • A \(x = 1\) hoặc \(x =  - 1\)
  • B \(x = 2\) hoặc \(x = -2\)
  • C \(x = \frac{1}{2}\) hoặc \(x = -\frac{1}{2}\)
  • D \(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = -\frac{1}{3}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2};\,\,\,{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2};\,\,\,{A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)để rút gọn và tìm \(x.\)

Lời giải chi tiết:

\({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 3} \right)^2} - \left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right) =  - 10x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) - \left( {4{x^2} - 9} \right) =  - 10x\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 - {x^2} - 6x - 9 - 4{x^2} + 9 =  - 10x\\ \Leftrightarrow  - {x^2} - 10x + 1 =  - 10x\\ \Leftrightarrow {x^2} = 1\\ \Rightarrow x =  \pm 1\end{array}\)

Vậy \(x = 1\) hoặc \(x = -1.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Biết \(x + y = 3\), tính giá trị của biểu thức \(A = {x^3} - 2{y^2} + {y^3} - 2{x^2} + 3xy\left( {x + y} \right) - 4xy + 6\)

  • A \(A = 10\)
  • B \(A = 12\)
  • C \(A = 15\)
  • D \(A = 18\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Chuyển biểu thức \(A\) về ẩn \(x + y\) và \(xy\) bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức:

\(\begin{array}{l}{A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right);\\{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2} \Rightarrow {A^2} + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2} - 2AB\end{array}\)

Sau đó thay \(x + y = 3\) vào \(A\) và rút gọn \(A\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = {x^3} - 2{y^2} + {y^3} - 2{x^2} + 3xy\left( {x + y} \right) - 4xy + 6\\\,\,\,\,\, = {x^3} + {y^3} - 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3xy\left( {x + y} \right) - 4xy + 6\\\,\,\,\,\, = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right] + xy\left[ {3\left( {x + y} \right) - 4} \right] + 6\\\,\,\,\,\, = \left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right] - 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right] + xy\left[ {3\left( {x + y} \right) - 4} \right] + 6\end{array}\)

Thay \(x + y = 3\) vào \(A\) được:

\(\begin{array}{l}A = 3\left[ {{3^2} - 3xy} \right] - 2\left[ {{3^2} - 2xy} \right] + xy\left[ {3.3 - 4} \right] + 6\\\,\,\,\,\, = 3\left( {9 - 3xy} \right) - 2\left( {9 - 2xy} \right) + 5xy + 6\\\,\,\,\,\, = 27 - 9xy - 18 + 4xy + 5xy + 6\\\,\,\,\,\, = 15\end{array}\)

Vậy \(A = 15\) với \(x + y = 3\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} - x + 1\) là:

  • A \(\dfrac{2}{4}\)
  • B \(\dfrac{3}{4}\)
  • C \(1\)
  • D \( - \dfrac{3}{4}\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(\begin{array}{l}A = {x^2} - x + 1 = {x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}\\ = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow \;Min\;A = \dfrac{3}{4}\;\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \({{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=0\) hay \(x=\dfrac{1}{2}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(B =  - 9{x^2} + 2x - \dfrac{2}{9}\) là:

  • A \(\dfrac{2}{9}\)
  • B \( - \dfrac{2}{9}\)
  • C \(\dfrac{1}{9}\)
  • D \( - \dfrac{1}{9}\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(B=-9{{x}^{2}}+2x-\dfrac{2}{9}=-{{\left( 3x \right)}^{2}}+2.3x.\dfrac{1}{3}-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{9} \\ =-\left( {{\left( 3x \right)}^{2}}-2.3x.\dfrac{1}{3}+{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}} \right)-\dfrac{1}{9}\\ =-{{\left( 3x-\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{9}\le -\dfrac{1}{9}\)

\(\Rightarrow \ Max\ B=-\dfrac{1}{9}\).

Dấu “=” xảy ra khi \({{\left( 3x-\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}=0\) hay \(x=\dfrac{1}{9}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B = 25{x^2} - 2x + 1\) là:

  • A \(\dfrac{{24}}{{25}}\)
  • B \( - \dfrac{1}{{25}}\)
  • C \( - \dfrac{{24}}{{25}}\)
  • D \(\dfrac{1}{{25}}\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(B=25{{x}^{2}}-2x+1={{\left( 5x \right)}^{2}}-2.5x.\dfrac{1}{5}+{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{24}{25}={{\left( 5x-\dfrac{1}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{24}{25} \)

Vì \({{\left( 5x-\dfrac{1}{5} \right)}^{2}}\ge 0\) với mọi \(x\) nên \(B\ge \dfrac{24}{25}\) với mọi \(x\).

\(B=\dfrac{24}{25}\) khi \(x=\dfrac{1}{25}\)

Kết luận: \(B\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{24}{25}\) khi \(x=\dfrac{1}{25}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Bạn Nam có 1 tấm bìa hình vuông có kích thước là \(\left( {2x + 5} \right)cm\), bạn cắt từ tấm bìa ra một hình vuông nhỏ hơn có kích thước là \(\left( {x + 5} \right)cm\). Hỏi diện tích phần giấy bìa bạn Nam đã cắt bỏ từ tấm bìa hình vuông ban đầu? Nếu thay \(x = 2cm\) thì diện tích phần giấy bìa bỏ đi là bao nhiêu?

  • A \(16c{{m}^{2}}\)
  • B \(20c{{m}^{2}}\)
  • C \(36c{{m}^{2}}\)
  • D \(32c{{m}^{2}}\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Diện tích tấm bìa hình vuông ban đầu của bạn Nam là:

\({{S}_{1}}=(2x+5).\left( 2x+5 \right)={{\left( 2x+5 \right)}^{2}}\ c{{m}^{2}}\)

Diện tích hình vuông lúc sau của bạn Nam là:

\({{S}_{2}}=(x+5).\left( x+5 \right)={{\left( x+5 \right)}^{2}}\ c{{m}^{2}}\)

Diện tích phần giấy bìa bạn Nam đã cắt bỏ từ tấm bìa hình vuông ban đầu là:

\({{S}_{1}}-{{S}_{2}}={{\left( 2x+5 \right)}^{2}}-{{\left( x+5 \right)}^{2}}=\left( 2x+5-\left( x+5 \right) \right).\left( 2x+5+x+5 \right)=x.\left( 3x+10 \right)\ c{{m}^{2}}\)

 Nếu thay \(x=2cm\) thì diện tích phần giấy bìa bỏ đi là:

\({{S}_{1}}-{{S}_{2}}=2.\left( 3.2+10 \right)=32\ c{{m}^{2}}\).

Vậy diện tích phần bìa bỏ đi là \(32c{{m}^{2}}\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(a)\;A = 4 - {x^2} + 2x\)

\(b)\;B = 4x - {x^2}\)

\(c)\;C = {x^2} - 3x + {y^2} + y + 4\)

  • A \( a) \max A=5 \)

    \( b) \max B=4 \)

    \( c) \min C=\dfrac{3}{2}\)

  • B \( a) \max A=1 \)

    \( b) \max B=2 \)

    \( c) \min C=\dfrac{3}{2}\)

  • C \( a) \min A=5 \)

    \( b) \max B=4 \)

    \( c) \max C=\dfrac{3}{2}\)

  • D \( a) \max A=5 \)

    \( b) \max B=0 \)

    \( c) \min C=-\dfrac{1}{2}\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(a)\ A=4-{{x}^{2}}+2x=-\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)+5=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+5\)

Vì \({{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0\) với mọi \(x\)  nên \(A=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+5\le 5\) với mọi \(x\).

\(A=5\) khi \(x=1\).

Kết luận: \(A\) đạt giá trị lớn nhất là \(5\) khi \(x=1\).

\(b)\ B=4x-{{x}^{2}}=-\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)+4=-\left( {{x}^{2}}-2.2.x+{{2}^{2}} \right)+4=-{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\)

Vì \({{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0\) với mọi \(x\) nên \(B=-{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\le 4\) với mọi \(x\).

\(B=4\) khi \(x=2\).

Kết luận: \(B\) đạt giá trị lớn nhất là \(4\) khi \(x=2\).

\(c)\ C={{x}^{2}}-3x+{{y}^{2}}+y+4=\left[ {{x}^{2}}-2.x.\dfrac{3}{2}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}} \right]+\left[ {{y}^{2}}+2.x.\dfrac{1}{2}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}} \right]+\dfrac{3}{2}={{\left( x-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{2}\)

Vì \({{\left( x-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\) và \({{\left( y+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0,\forall y\)  nên \(C={{\left( x-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{2}\ge \dfrac{3}{2},\forall x,y\).

\(C=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=\dfrac{3}{2};y=-\dfrac{1}{2}\).

Kết luận: \(C\)  đạt giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{3}{2}\) khi \(x=\dfrac{3}{2};y=-\dfrac{1}{2}\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {\left( {2x + y} \right)^2} - 4xy + 4x - 6y + 10\).  

  • A \( - 1\)
  • B \(0\)
  • C \(1\)
  • D \(2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\); \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)  để biến đổi biểu thức \(A\) thành tổng các bình phương.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = {\left( {2x + y} \right)^2} - 4xy + 4x - 6y + 10\\\,\,\,\,\, = 4{x^2} + 2.2x.y + {y^2} - 4xy + 4x - 6y + 10\\\,\,\,\, = 4{x^2} + 4x + 1 + {y^2} - 6y + 9 + 4xy - 4xy\\\,\,\,\, = {\left( {2x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2}\end{array}\)

Vì \({\left( {2x + 1} \right)^2} \ge {\rm{0}}\,\,\,\forall x;\,\,\,{\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\,\forall y\)

\( \Rightarrow A \ge 0\,\,\,\forall x,y\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = 0\\y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{2}\\y = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{2}\\y = 3\end{array} \right.\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Cho \(a + b + c = 0\). Chứng minh rằng \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\).  

Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện \(a + b + c = 0\) ta có \( - a - b = c\)

Ta thay \(c =  - a - b\) và \({a^3} + {b^3} + {c^3}\) và áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) khai triển, rút gọn được \(3abc\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(a + b + c = 0 \Leftrightarrow c =  - a - b\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = {a^3} + {b^3} + {\left( { - a - b} \right)^3}\\ = {a^3} + {b^3} - {\left( {a + b} \right)^3}\\ = {a^3} + {b^3} - \left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)\\ = {a^3} + {b^3} - {a^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} - {b^3}\\ =  - 3ab\left( {a + b} \right)\\ = 3ab\left( { - a - b} \right) = 3abc\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Vậy với \(a + b + c = 0\) ta có \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho các số thực \(x,\,\,y,\,\,z \ne 0\) thỏa mãn: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0.\) Chứng minh rằng \(\frac{{xy}}{{{z^2}}} + \frac{{yz}}{{{x^2}}} + \frac{{zx}}{{{y^2}}} = 3\).  

Phương pháp giải:

Bước 1: Chứng minh rằng \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \Rightarrow \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}} = \frac{3}{{xyz}}\) bằng cách đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b;\,\,\frac{1}{z} = c\) và sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) khai triển \({a^3} + {b^3} + {c^3}\) dựa vào \(a + b + c = 0 \Leftrightarrow c =  - a - b\), rút gọn được \(3abc\).

Bước 2: Biến đổi \(\frac{{xy}}{{{z^2}}} + \frac{{yz}}{{{x^2}}} + \frac{{zx}}{{{y^2}}}\) bằng cách nhân cả tử và mẫu của mỗi hạng tử lần lượt với \(z,\,x,\,y\) thu gọn bằng cách áp dụng kết quả của bước 1: \(\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}} = \frac{3}{{xyz}}\)để chứng minh \(VT = 3.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b;\,\,\frac{1}{z} = c\,\,\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \ne 0} \right).\)

\( \Rightarrow a + b + c = 0 \Leftrightarrow c =  - a - b\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = {a^3} + {b^3} + {\left( { - a - b} \right)^3}\\ = {a^3} + {b^3} - {\left( {a + b} \right)^3}\\ = {a^3} + {b^3} - \left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)\\ = {a^3} + {b^3} - {a^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} - {b^3}\\ =  - 3ab\left( {a + b} \right) = 3ab\left( { - a - b} \right) = 3abc.\end{array}\)

Vậy với \(a + b + c = 0\) ta có \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\).

Từ đó ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \Rightarrow \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}} = \frac{3}{{xyz}}\)

\( \Rightarrow \frac{{xy}}{{{z^2}}} + \frac{{yz}}{{{x^2}}} + \frac{{zx}}{{{y^2}}} = \frac{{xyz}}{{{z^3}}} + \frac{{xyz}}{{{x^3}}} + \frac{{xyz}}{{{y^3}}}\) \( = xyz\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}}} \right) = xyz.\frac{3}{{xyz}} = 3\)(đpcm)

Đáp án - Lời giải

Xem thêm