Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(9{{x}^{2}}+30x+a={{\left( 3x \right)}^{2}}+2.3x.5+a\)

Để \(9{{x}^{2}}+30x+a\) là bình phương của một tổng thì \(a={{5}^{2}}=25\)

Khi đó, ta có: \(9{{x}^{2}}+30x+25={{\left( 3x \right)}^{2}}+2.3x.5+{{5}^{2}}={{\left( 3x+5 \right)}^{2}}\)

Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(a)\dfrac{{{63}^{2}}-{{47}^{2}}}{{{215}^{2}}-{{105}^{2}}}=\dfrac{(63-47).\left( 63+47 \right)}{\left( 215-105 \right).\left( 215+105 \right)}=\dfrac{16.110}{110.320}=\dfrac{1}{20}\)

\(b)\dfrac{{{437}^{2}}-{{363}^{2}}}{{{537}^{2}}-{{463}^{2}}}=\dfrac{(437-363).\left( 437+363 \right)}{\left( 537-463 \right).\left( 537+463 \right)}=\dfrac{74.800}{74.1000}=\dfrac{4}{5}\)

\(c){{x}^{3}}-{{x}^{2}}y+\dfrac{1}{3}x{{y}^{2}}-\dfrac{1}{27}{{y}^{3}}={{x}^{3}}-3.{{x}^{2}}.\dfrac{1}{3}y+3.x.{{\left( \dfrac{1}{3}y \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{3}y \right)}^{3}}={{\left( x-\dfrac{1}{3}y \right)}^{3}}\)

Tại \(x=2,y=3\) ta có: \({{\left( x-\dfrac{1}{3}y \right)}^{3}}={{\left( 2-\dfrac{1}{3}.3 \right)}^{3}}={{1}^{3}}=1\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\;2x{\left( {2x - 1} \right)^2} - 3x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) - 4x{\left( {x + 1} \right)^2}\\ = 2x.\left( {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2.2x.1 + {1^2}} \right) - 3x\left( {{x^2} - {3^2}} \right) - 4x.\left( {{x^2} + 2.x.1 + {1^2}} \right)\\ = 2x.\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) - 3x\left( {{x^2} - 9} \right) - 4x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\\ = 2x.4{x^2} - 2x.4x + 2x.1 - 3x.{x^2} + 3x.9 - 4x.{x^2} - 4x.2x - 4x.1\\ = 8{x^3} - 8{x^2} + 2x - 3{x^3} + 27x - 4{x^3} - 8{x^2} - 4x\\ = {x^3} - 16{x^2} + 25x\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\;{\left( {a - b + c} \right)^2} - {\left( {b - c} \right)^2} + 2ab - 2ac\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ac - \left( {{b^2} - 2.b.c + {c^2}} \right) + 2ab - 2ac\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ac - {b^2} + 2bc - {c^2} + 2ab - 2ac\\ = {a^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c){\left( {3x + 1} \right)^2} - 2\left( {3x + 1} \right)\left( {3x + 5} \right) + {\left( {3x + 5} \right)^2}\\ = {\left( {\left( {3x + 1} \right) - \left( {3x + 5} \right)} \right)^2}\\ = {\left( {3x + 1 - 3x - 5} \right)^2}\\ = {( - 4)^2} = 16\end{array}\)

\(\begin{array}{l}d){\left( {a + b + c} \right)^2} + {\left( {a - b - c} \right)^2} + {\left( {b - c - a} \right)^2} + {\left( {c - a - b} \right)^2}\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc + {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2ac + 2bc\\ + {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ac + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab - 2ac - 2bc\\ = 4{a^2} + 4{b^2} + 4{c^2} \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(a)-{{x}^{2}}+4x-5=-{{x}^{2}}+2.x.2-{{2}^{2}}-1=-\left( {{x}^{2}}-2.x.2+{{2}^{2}} \right)-1=-{{\left( x-2 \right)}^{2}}-1\le -1\)

\(\Rightarrow -{{x}^{2}}+4x-5<0\) với mọi giá trị của \(x\).

\(b){{x}^{6}}+3{{x}^{3}}+3={{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}+2.{{x}^{3}}.\dfrac{3}{2}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}={{\left( {{x}^{3}}+\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}\ge \dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow {{x}^{6}}+3{{x}^{3}}+3>0\) với mọi giá trị của \(x\).

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(A={{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}-4x-4y+1=\left( {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}} \right)-\left( 4x+4y \right)+1={{\left( x+y \right)}^{2}}-4\left( x+y \right)+1\)

Tại \(x+y=3\) , ta có: \(A={{3}^{2}}-4.3+1=-2\)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\({{\left( x-y \right)}^{2}}={{x}^{2}}-2.x.y+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy\)

Tại \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25\) và \(xy=12\) ta có: \({{\left( x-y \right)}^{2}}=25-2.12=1\)

Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\;A = \left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {54 + {x^3}} \right)\\A = \left( {{x^2} - 3x + {3^2}} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {54 + {x^3}} \right)\\A = {x^3} + {3^3} - 54 - {x^3}\\A = 27 - 54 = - 27\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\;B = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + {\left( {x + 1} \right)^2} + 5\\B = {\left( {\left( {x - 1} \right) + \left( {x + 1} \right)} \right)^2} + 5\\B = {\left( {x - 1 + x + 1} \right)^2} + 5\\B = {\left( {2x} \right)^2} + 5 = 4{x^2} + 5\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\;C = 9{x^2} - 2xy + \dfrac{1}{9}{y^2} - 2\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right) + {\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)^2}\\C = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.\dfrac{1}{3}y + {\left( {\dfrac{1}{3}y} \right)^2} - 2\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right) + {\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)^2}\\C = {\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right)^2} - 2\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right) + {\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)^2}\\C = {\left( {\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right) - \left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)} \right)^2}\\C = {\left( {3x - \dfrac{1}{3}y - 3x - \dfrac{1}{3}y} \right)^2}\\C = {\left( { - \dfrac{2}{3}y} \right)^2} = \dfrac{4}{9}{y^2}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(\begin{array}{l}VT = {\left( {a + b + c} \right)^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2}\\VT = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac + {a^2} + {b^2} + {c^2}\\VT = \left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} + 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} + 2ac + {c^2}} \right)\\VT = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2} + {\left( {a + c} \right)^2}\\ \Rightarrow VT = VP\end{array}\)

\(\Rightarrow \) Đpcm

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(a)\ A={{y}^{2}}+4y+4={{y}^{2}}+2.2.y+{{2}^{2}}={{\left( y+2 \right)}^{2}}\)

Tại \(y=98\) ta có: \(A={{\left( 98+2 \right)}^{2}}={{100}^{2}}=10000\)

\(b)\ B={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x-1={{x}^{3}}-3.{{x}^{2}}.1+3.x{{.1}^{2}}-{{1}^{3}}+5x={{\left( x-1 \right)}^{3}}+5x\)

Tại \(x=1\) ta có: \(B={{(1-1)}^{2}}+5.1=5\).

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^3} - {\left( {x - 1} \right)^3} - 6{\left( {x - 1} \right)^2} = - 10\\{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - \left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1} \right) - 6\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = - 10\\{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1 - 6{x^2} + 12x - 6 = - 10\\12x - 4 = - 10\\12x = - 10 + 4\\12x = - 6\\x = -\dfrac{{ 1}}{2}\end{array}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức với đa thức\(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) để khai triển vế trái.

Sau đó, rút gọn giải phương trình tìm \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 2x + x - 2} \right) = 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - x - 2} \right) = 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - {x^2} + x + 2 = 6\\ \Leftrightarrow 5x = 0\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\)

Vậy \(x = 0.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)  và \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) để khai triển và rút gọn biểu thức. Từ đó, nhận ra hệ số của \(xy\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 3y} \right)^2} + {\left( {xy - 3} \right)^2}\\ = {x^2} + 2.x.3y + {\left( {3y} \right)^2} + {\left( {xy} \right)^2} - 2.xy.3 + {3^2}\\ = {x^2} + 6xy + 9{y^2} + {x^2}{y^2} - 6xy + 9\\ = {x^2} + 9{y^2} + {x^2}{y^2} + 9\end{array}\)

Vậy hệ số của \(xy\) trong biểu thức bằng 0.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\); \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\); \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) để tách \(41 = 40 + 1;\,\,\)\(19 = 20 - 1;\,\)\(28.32 = \left( {30 - 2} \right)\left( {30 + 2} \right).\)

Lời giải chi tiết:

\({41^2} = {\left( {40 + 1} \right)^2} = {40^2} + 2.40.1 + {1^2}\)\( = 1600 + 80 + 1 = 1681\)

\({19^2} = {\left( {20 - 1} \right)^2} = {20^2} - 2.20 + 1\)\( = 400 - 40 + 1 = 361\)

\(28.32 = \left( {30 - 2} \right)\left( {30 + 2} \right)\)\( = {30^2} - {2^2} = 900 - 4 = 896\)

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\); \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) để rút gọn \(A\) sau đó thay \(x = 4;y = 1\) vào \(A\) để tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \left( {{x^2} - 8x + 16} \right) - \left( {{x^2}{y^2} + 2xy + 1} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {{x^2} - 2.4x + {4^2}} \right) - \left( {{x^2}{y^2} + 2xy + 1} \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( {x - 4} \right)^2} - {\left( {xy + 1} \right)^2}\end{array}\)

Thay \(x = 4;\,y = 1\) vào \(A\)\( \Rightarrow A = {\left( {4 - 4} \right)^2} - {\left( {4.1 + 1} \right)^2}\)\( =  - {5^2} =  - 25\)

Vậy \(A =  - 25\) khi \(x = 4,\,\,y = 1.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) và phép nhân đa thức \(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) để khai triển vế trái.

Sau đó, rút gọn giải ra \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^3} - \left( {{x^2} + x} \right)\left( {x + 5} \right) = 8\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} + {2^3} - \left( {{x^2}.x + 5{x^2} + {x^2} + 5x} \right) = 8\\ \Leftrightarrow {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 - {x^3} - 6{x^2} - 5x = 8\\ \Leftrightarrow 7x = 0\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\)

Vậy \(x = 0.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) chuyển biểu thức thành lập phương một tổng rồi thay \(x = 8;\,\,\,y = 6\) để tính toán thuận tiện.

Lời giải chi tiết:

\(A = {x^3} + 6{x^2}y + 12x{y^2} + 8{y^3}\)\( = {x^3} + 3.{x^2}.2y + 3x{.2^2}{y^2} + {\left( {2y} \right)^3}\)\( = {\left( {x + 2y} \right)^3}\)

Với \(x = 8;\,\,\,y = 6\)\( \Rightarrow A = {\left( {8 + 2.6} \right)^3} = {20^3} = 8000\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đặt \(a = 3m + 2\,\,\,\left( {m \in \mathbb{N}} \right),\) khai triển \({a^3}\) qua hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) và xét các hạng tử chia 3 dư mấy.

Lời giải chi tiết:

Vì số tự nhiên \(a\) chia 3 dư 2  nên ta đặt \(a = 3m + 2\,\,\,\left( {m \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Rightarrow {a^3} = {\left( {3m + 2} \right)^3}\)\( = {\left( {3m} \right)^3} + 3.{\left( {3m} \right)^2}.2 + 3.\left( {3m} \right){.2^2} + {2^3}\)\( = 27{m^3} + 54{m^2} + 36m + 8\)

Vì \(27{m^3} \vdots 3;\,\,54{m^2} \vdots 3;\,\,36m \vdots 3;\,\,8 = 2.3 + 2\) nên \({a^3}\) chia 3 dư 2.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức \(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) để khai triển vế trái.

Sau đó, rút gọn giải ra \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 3} \right)^2} - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.3x + {3^2} - \left( {{x^2} + 5x + 2x + 10} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 - {x^2} - 7x - 10 =  - 1\\ \Leftrightarrow  - x - 1 =  - 1\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\)

Vậy \(x = 0.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) chuyển biểu thức thành \(A = {\left( {a - b} \right)^2} + m \ge m\,\,\,\forall x\) (\(m\) là hằng số). Khi đó, \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(m\), dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a - b = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(A = 4{x^2} - 4x + 2021\)\( = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x + 1 + 2020\)\( = {\left( {2x - 1} \right)^2} + 2020\)

Vì \({\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\forall x\)\( \Rightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} + 2020 \ge 2020\,\,\forall x\)\( \Leftrightarrow A \ge 2020\,\,\,\forall x\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

Vậy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2020\) khi \(x = \frac{1}{2}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) để biến đổi vế trái thành vế phải.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(VT = {\left( {a + b + c} \right)^2} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^2}\)\( = {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right)c + {c^2}\)

                 \( = {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2}\) \( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc = VP\) (đpcm)

Phương pháp giải:

Chuyển biểu thức \(A\) về ẩn \(x + y\) và \(xy\) bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức:

\(\begin{array}{l}{A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right);\\{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2} \Rightarrow {A^2} + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2} - 2AB\end{array}\)

Sau đó thay \(x + y = 3\) vào \(A\) và rút gọn \(A\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = {x^3} - 2{y^2} + {y^3} - 2{x^2} + 3xy\left( {x + y} \right) - 4xy + 6\\\,\,\,\,\, = {x^3} + {y^3} - 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3xy\left( {x + y} \right) - 4xy + 6\\\,\,\,\,\, = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right] + xy\left[ {3\left( {x + y} \right) - 4} \right] + 6\\\,\,\,\,\, = \left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right] - 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right] + xy\left[ {3\left( {x + y} \right) - 4} \right] + 6\end{array}\)

Thay \(x + y = 3\) vào \(A\) được:

\(\begin{array}{l}A = 3\left[ {{3^2} - 3xy} \right] - 2\left[ {{3^2} - 2xy} \right] + xy\left[ {3.3 - 4} \right] + 6\\\,\,\,\,\, = 3\left( {9 - 3xy} \right) - 2\left( {9 - 2xy} \right) + 5xy + 6\\\,\,\,\,\, = 27 - 9xy - 18 + 4xy + 5xy + 6\\\,\,\,\,\, = 15\end{array}\)

Vậy \(A = 15\) với \(x + y = 3\).

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(\begin{array}{l}A = {x^2} - x + 1 = {x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}\\ = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow \;Min\;A = \dfrac{3}{4}\;\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \({{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=0\) hay \(x=\dfrac{1}{2}\).

Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(B=-9{{x}^{2}}+2x-\dfrac{2}{9}=-{{\left( 3x \right)}^{2}}+2.3x.\dfrac{1}{3}-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{9} \\ =-\left( {{\left( 3x \right)}^{2}}-2.3x.\dfrac{1}{3}+{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}} \right)-\dfrac{1}{9}\\ =-{{\left( 3x-\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{9}\le -\dfrac{1}{9}\)

\(\Rightarrow \ Max\ B=-\dfrac{1}{9}\).

Dấu “=” xảy ra khi \({{\left( 3x-\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}=0\) hay \(x=\dfrac{1}{9}\).

Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(B=25{{x}^{2}}-2x+1={{\left( 5x \right)}^{2}}-2.5x.\dfrac{1}{5}+{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{24}{25}={{\left( 5x-\dfrac{1}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{24}{25} \)

Vì \({{\left( 5x-\dfrac{1}{5} \right)}^{2}}\ge 0\) với mọi \(x\) nên \(B\ge \dfrac{24}{25}\) với mọi \(x\).

\(B=\dfrac{24}{25}\) khi \(x=\dfrac{1}{25}\)

Kết luận: \(B\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{24}{25}\) khi \(x=\dfrac{1}{25}\)

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Diện tích tấm bìa hình vuông ban đầu của bạn Nam là:

\({{S}_{1}}=(2x+5).\left( 2x+5 \right)={{\left( 2x+5 \right)}^{2}}\ c{{m}^{2}}\)

Diện tích hình vuông lúc sau của bạn Nam là:

\({{S}_{2}}=(x+5).\left( x+5 \right)={{\left( x+5 \right)}^{2}}\ c{{m}^{2}}\)

Diện tích phần giấy bìa bạn Nam đã cắt bỏ từ tấm bìa hình vuông ban đầu là:

\({{S}_{1}}-{{S}_{2}}={{\left( 2x+5 \right)}^{2}}-{{\left( x+5 \right)}^{2}}=\left( 2x+5-\left( x+5 \right) \right).\left( 2x+5+x+5 \right)=x.\left( 3x+10 \right)\ c{{m}^{2}}\)

 Nếu thay \(x=2cm\) thì diện tích phần giấy bìa bỏ đi là:

\({{S}_{1}}-{{S}_{2}}=2.\left( 3.2+10 \right)=32\ c{{m}^{2}}\).

Vậy diện tích phần bìa bỏ đi là \(32c{{m}^{2}}\).

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(a)\ A=4-{{x}^{2}}+2x=-\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)+5=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+5\)

Vì \({{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0\) với mọi \(x\)  nên \(A=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+5\le 5\) với mọi \(x\).

\(A=5\) khi \(x=1\).

Kết luận: \(A\) đạt giá trị lớn nhất là \(5\) khi \(x=1\).

\(b)\ B=4x-{{x}^{2}}=-\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)+4=-\left( {{x}^{2}}-2.2.x+{{2}^{2}} \right)+4=-{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\)

Vì \({{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0\) với mọi \(x\) nên \(B=-{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\le 4\) với mọi \(x\).

\(B=4\) khi \(x=2\).

Kết luận: \(B\) đạt giá trị lớn nhất là \(4\) khi \(x=2\).

\(c)\ C={{x}^{2}}-3x+{{y}^{2}}+y+4=\left[ {{x}^{2}}-2.x.\dfrac{3}{2}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}} \right]+\left[ {{y}^{2}}+2.x.\dfrac{1}{2}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}} \right]+\dfrac{3}{2}={{\left( x-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{2}\)

Vì \({{\left( x-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\) và \({{\left( y+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0,\forall y\)  nên \(C={{\left( x-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{2}\ge \dfrac{3}{2},\forall x,y\).

\(C=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=\dfrac{3}{2};y=-\dfrac{1}{2}\).

Kết luận: \(C\)  đạt giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{3}{2}\) khi \(x=\dfrac{3}{2};y=-\dfrac{1}{2}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\); \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)  để biến đổi biểu thức \(A\) thành tổng các bình phương.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = {\left( {2x + y} \right)^2} - 4xy + 4x - 6y + 10\\\,\,\,\,\, = 4{x^2} + 2.2x.y + {y^2} - 4xy + 4x - 6y + 10\\\,\,\,\, = 4{x^2} + 4x + 1 + {y^2} - 6y + 9 + 4xy - 4xy\\\,\,\,\, = {\left( {2x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2}\end{array}\)

Vì \({\left( {2x + 1} \right)^2} \ge {\rm{0}}\,\,\,\forall x;\,\,\,{\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\,\forall y\)

\( \Rightarrow A \ge 0\,\,\,\forall x,y\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = 0\\y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{2}\\y = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{2}\\y = 3\end{array} \right.\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện \(a + b + c = 0\) ta có \( - a - b = c\)

Ta thay \(c =  - a - b\) và \({a^3} + {b^3} + {c^3}\) và áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) khai triển, rút gọn được \(3abc\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(a + b + c = 0 \Leftrightarrow c =  - a - b\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = {a^3} + {b^3} + {\left( { - a - b} \right)^3}\\ = {a^3} + {b^3} - {\left( {a + b} \right)^3}\\ = {a^3} + {b^3} - \left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)\\ = {a^3} + {b^3} - {a^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} - {b^3}\\ =  - 3ab\left( {a + b} \right)\\ = 3ab\left( { - a - b} \right) = 3abc\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Vậy với \(a + b + c = 0\) ta có \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\).

Phương pháp giải:

Bước 1: Chứng minh rằng \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \Rightarrow \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}} = \frac{3}{{xyz}}\) bằng cách đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b;\,\,\frac{1}{z} = c\) và sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) khai triển \({a^3} + {b^3} + {c^3}\) dựa vào \(a + b + c = 0 \Leftrightarrow c =  - a - b\), rút gọn được \(3abc\).

Bước 2: Biến đổi \(\frac{{xy}}{{{z^2}}} + \frac{{yz}}{{{x^2}}} + \frac{{zx}}{{{y^2}}}\) bằng cách nhân cả tử và mẫu của mỗi hạng tử lần lượt với \(z,\,x,\,y\) thu gọn bằng cách áp dụng kết quả của bước 1: \(\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}} = \frac{3}{{xyz}}\)để chứng minh \(VT = 3.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b;\,\,\frac{1}{z} = c\,\,\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \ne 0} \right).\)

\( \Rightarrow a + b + c = 0 \Leftrightarrow c =  - a - b\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = {a^3} + {b^3} + {\left( { - a - b} \right)^3}\\ = {a^3} + {b^3} - {\left( {a + b} \right)^3}\\ = {a^3} + {b^3} - \left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)\\ = {a^3} + {b^3} - {a^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} - {b^3}\\ =  - 3ab\left( {a + b} \right) = 3ab\left( { - a - b} \right) = 3abc.\end{array}\)

Vậy với \(a + b + c = 0\) ta có \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\).

Từ đó ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \Rightarrow \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}} = \frac{3}{{xyz}}\)

\( \Rightarrow \frac{{xy}}{{{z^2}}} + \frac{{yz}}{{{x^2}}} + \frac{{zx}}{{{y^2}}} = \frac{{xyz}}{{{z^3}}} + \frac{{xyz}}{{{x^3}}} + \frac{{xyz}}{{{y^3}}}\) \( = xyz\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}}} \right) = xyz.\frac{3}{{xyz}} = 3\)(đpcm)