Lời giải chi tiết:

Phương pháp: Tìm GTLN, GTNN của hàm số dạng \(y = f(g(x))\)

+ Đặt ẩn phụ \(t = g(x)\), tìm tập giá trị \(T\) của \(g(x)\)

+ Xét hàm số \(y = f(t)\) trên \(T\)

+ Từ đó suy ra GTLN , GTNN của hàm số đã cho.

Cách giải

Đặt \(t = \cos x\), ta có \(t \in [–1;1]\)

Xét \(f\left( t \right) = 1-2t-{t^2}\)

\(f'\left( t \right) = -2-2t < 0,\forall t \in \left( {-1;1} \right)\)

\( \Rightarrow f\left( t \right) \leqslant f\left( {-1} \right) = 2,\forall t \in \left[ {-1;1} \right]\)

Vậy GTLN của hàm số đã cho là \(2\)

Chọn A

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm \(y'\) và tìm nghiệm của phương trình \(y' = 0\) thuộc \(\left[ { - 1;34} \right]\).

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và tại điểm là nghiệm của phương trình \(y' = 0\) thuộc \(\left[ { - 1;34} \right]\).

- So sánh các giá trị này và kết luận GTNN, GTLN.

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(D = \left[ { - 2; + \infty } \right)\).

Ta có : \(y' = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 2} }} = \dfrac{{\sqrt {x + 2}  - 1}}{{2\sqrt {x + 2} }}\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 2}  - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 2}  = 1 \Leftrightarrow x =  - 1 \in \left[ { - 1;34} \right]\).

Lại có : \(y\left( { - 1} \right) =  - \dfrac{3}{2},y\left( {34} \right) = 11\) nên \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;34} \right]} y = y\left( { - 1} \right) =  - \dfrac{3}{2};\,\,M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;34} \right]} y = y\left( {34} \right) = 11\).

Vậy \(3m + M = 3.\left( { - \dfrac{3}{2}} \right) + 11 = \dfrac{{13}}{2}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Để tìm GTNN, GTLN của hàm số \(f\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), ta làm như sau:

- Tìm các điểm \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số \(f\) có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

- Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);\,\,f\left( a \right);\,f\left( b \right)\)

- So sánh các giá trị vừa tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của \(f\) trên \(\left[ {a;b} \right]\); số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của \(f\) trên \(\left[ {a;b} \right]\).

Lời giải chi tiết:

\(y = \dfrac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}}\), \(x \in \left[ {0;3} \right]\)

Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 4x - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;3} \right]\\x =  - 5 \notin \left[ {0;3} \right]\end{array} \right.\)

Hàm số đã cho liên tục trên \(\left[ {0;3} \right]\), có: \(y\left( 0 \right) = \dfrac{1}{2},y\left( 1 \right) = 0,\,y\left( 3 \right) = \dfrac{4}{5}\,\,.\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = \dfrac{4}{5}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) và xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]\).

- Tính \(f\left( {\dfrac{1}{2}} \right),\,\,f\left( 2 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).

- Kết luận: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( {\dfrac{1}{2}} \right);\,\,f\left( 2 \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( {\dfrac{1}{2}} \right);\,\,f\left( 2 \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định trên \(\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]\).

Ta có \(y' = 2x - \dfrac{2}{{{x^2}}} = \dfrac{{2\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{{x^2}}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]\).

Ta có \(y\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{{17}}{4};\,\,y\left( 2 \right) = 5,\,\,y\left( 1 \right) = 3\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} y = y\left( 2 \right) = 5,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} y = y\left( 1 \right) = 3\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} y.\mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} y = 5.3 = 15\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cách 1:

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\)  Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\) 

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - 2{x^4} + 4{x^2} + 10\) trên \(\left[ {0;\,\,2} \right]\) ta có:

\(f'\left( x \right) =  - 8{x^3} + 8x\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) =  - 8{x^3} + 8x = 0\) \( \Leftrightarrow 8x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\, \in \left[ {0;\,\,2} \right]\\x = 1\,\, \in \left[ {0;\,\,2} \right]\\x =  - 1\,\, \notin \left[ {0;\,\,2} \right]\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 10\\f\left( 1 \right) = 12\\f\left( 2 \right) =  - 6\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,\,2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 12.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right).\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;\,\,3} \right]\) ta có:

\(y' = \dfrac{{1 + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;\,\,3} \right]\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left[ {0;\,\,3} \right].\)

\( \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} = y\left( 0 \right) =  - 1.\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} y =  - 1.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dựa vào khái niệm GTLN, GTNN của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Có hai khẳng định đúng là:

     ii. Nếu giá trị nhỏ nhất của hàm đa thức bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) bằng \(m\) thì có số thực \({x_1}\) thỏa mãn \(f\left( {{x_1}} \right) = m,\,\,f\left( x \right) \ge m\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ {{x_1}} \right\}\).

     iv. Nếu giá trị lớn nhất của hàm đa thức bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) bằng \(M\) thì có số thực \({x_2}\) thỏa mãn \(f\left( {{x_2}} \right) = M,\,\,f\left( x \right) \le M\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ {{x_2}} \right\}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cách 1:

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\)  Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\) 

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(y = \dfrac{{{x^2} + x + 3}}{{x - 2}}\)  trên \(\left[ { - 2;\,\,1} \right]\) ta có:

\(y' = \dfrac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) - {x^2} - x - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{2{x^2} - 3x - 2 - {x^2} - x - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{{x^2} - 4x - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \in \left[ { - 2;\,\,1} \right]\\x = 5\,\, \notin \left[ { - 2;\,\,1} \right]\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y\left( { - 2} \right) =  - \dfrac{5}{4}\\y\left( { - 1} \right) =  - 1\\y\left( 1 \right) =  - 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \mathop {Min}\limits_{\left[ { - 2;\,\,1} \right]} y =  - 5\\M = \mathop {Max}\limits_{\left[ { - 2;\,\,1} \right]} y =  - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M + m =  - 1 - 5 =  - 6.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cách 1:

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\)  Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\) 

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(f\left( x \right) = x + \sqrt {8 - {x^2}} \) ta có: TXĐ: \(D = \left[ { - 2\sqrt 2 ;\,\,2\sqrt 2 } \right]\)

\(f'\left( x \right) = 1 - \dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 1 - \dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}}  - x = 0 \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}}  = x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\8 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2{x^2} = 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ { - 2\sqrt 2 ;\,\,2\sqrt 2 } \right]\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2\sqrt 2 } \right) =  - 2\sqrt 2 \\f\left( 2 \right) = 4\\f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ { - 2\sqrt 2 ;\,\,\,2\sqrt 2 } \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 4.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ của hàm số.

- Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\), tìm các nghiệm \({x_i} \in \left[ {1;5} \right]\).

- Tính các giá trị \(f\left( 1 \right),\,\,f\left( 5 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).

- Kết luận: \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( 1 \right);f\left( 5 \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\5 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 5\end{array} \right. \Rightarrow D = \left[ {1;5} \right]\).

Ta có \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {5 - x} }} = \dfrac{{\sqrt {5 - x}  - \sqrt {x - 1} }}{{2\sqrt {x - 1} .\sqrt {5 - x} }}\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {5 - x}  = \sqrt {x - 1} \) \( \Leftrightarrow 5 - x = x - 1\) \( \Leftrightarrow 2x = 6\) \( \Leftrightarrow x = 3 \in \left[ {1;5} \right]\).

Mặt khác \(f\left( 1 \right) = 2,\,\,f\left( 3 \right) = 2\sqrt 2 ,\,\,f\left( 5 \right) = 2\).

Vậy \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 2\sqrt 2 \).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ của hàm số.

- Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\), tìm các nghiệm \({x_i} \in \left[ {0;4} \right]\).

- Tính các giá trị \(f\left( 0 \right),\,\,f\left( 4 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).

- Kết luận: \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( 0 \right),\,\,f\left( 4 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\,\,\mathop {min}\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( 0 \right),\,\,f\left( 4 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định trên \(\left[ {0;4} \right]\).

Ta có: \(f\left( x \right) = \left| {x - 3} \right|\sqrt {x + 1}  = \sqrt {\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 3} \right)}^2}} \).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){\left( {x - 3} \right)^2}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = {\left( {x - 3} \right)^2} + \left( {x + 1} \right).2\left( {x - 3} \right)\\g'\left( x \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 3 + 2x + 2} \right)\\g'\left( x \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {3x - 1} \right)\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \in \left[ {0;4} \right]\\x = \dfrac{1}{3} \in \left[ {0;4} \right]\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \(g\left( 0 \right) = 9,\,\,g\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{256}}{{27}},\,\,g\left( 3 \right) = 0,\,\,f\left( 4 \right) = 5\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \sqrt {g\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}  = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{9}\\N = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \sqrt {g\left( 0 \right)}  = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M + 2N = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{9}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tìm đạo hàm của hàm số và tìm nghiệm \(y' = 0\).

- Lập bảng biến thiên của hàm số trong khoảng yêu cầu.

- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận GTLN, GTNN của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 3\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { - 4;0} \right]\):

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên đoạn \(\left[ { - 4;0} \right]\); hàm số có:

Giá trị lớn nhất \(M =  - 4\); giá trị nhỏ nhất \(m =  - \dfrac{{16}}{3}\).

Vậy \(M + m =  - 4 - \dfrac{{16}}{3} =  - \dfrac{{28}}{3}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số, sử dụng công thức \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

- Giải phương trình

\(y' = 0\), xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ {0;2} \right]\).

- Tính các giá trị \(y\left( 0 \right),\,\,y\left( 2 \right),\,\,y\left( {{x_i}} \right)\).

- Kết luận: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \min \left\{ {y\left( 0 \right),\,\,y\left( 2 \right),\,\,y\left( {{x_i}} \right)} \right\}\), \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \max \left\{ {y\left( 0 \right),\,\,y\left( 2 \right),\,\,y\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 1\), do đó hàm số xác định trên \(\left[ {0;2} \right]\).

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;2} \right]\\x =  - 3 \notin \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \(y\left( 0 \right) = 3,\,\,y\left( 2 \right) = \dfrac{7}{3},\,\,y\left( 1 \right) = 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow m = \mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = 2\\\,\,\,\,\,M = \mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 0 \right) = 3\end{array}\)

Vậy \(m + M = 2 + 3 = 5\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 2\) trên \(\left[ {0;\,\,2} \right]\) ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + {m^2} + 1 > 0\,\,\,\forall m\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đống biến trên \(\mathbb{R}\)   \( \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\,\,2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 7\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 2\) trên \(\left[ {0;\,\,2} \right]\) ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + {m^2} + 1 > 0\,\,\,\forall m\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đống biến trên \(\mathbb{R}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\,\,2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 7\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2 = 7\\ \Leftrightarrow {m^2} = 9\\ \Leftrightarrow m =  \pm 3.\end{array}\)  

Chọn D. 

Phương pháp giải:

Dựa vào BBT để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right).\)

Lời giải chi tiết:

Dựa vào BBT ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 3;\,\,3} \right]} f\left( x \right) = 4\,\,\,khi\,\,\,x = 3\\\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 3;\,\,3} \right]} f\left( x \right) =  - 3\,\,\,khi\,\,\,x =  - 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 4\\m =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow M - 2m = 4 - 2.\left( { - 3} \right) = 10.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Khảo sát hàm số trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và lập BBT của hàm số.

- Dựa vào BBT xác định GTNN của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \dfrac{1}{{x + 1}} + x\)xác định trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Ta có :  \(y' =  - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + 1 = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge 0,\,\,\forall x \in \)\(\left[ {0; + \infty } \right)\)

BBT:

Dựa vào BBT ta có: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} y = y\left( 0 \right) = 1\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số trên một đoạn.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(S'\left( t \right) = 3{t^2} - 144t + 405\), \(S'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 45\end{array} \right.\)

BBT:

Như vậy, ngày thứ 3 có số lượng xuất khẩu gạo cao nhất.

Chọn: C

Phương pháp giải:

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  - \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  =  - \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  - \infty \) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) không có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định.

Lời giải chi tiết:

Các hàm số đã cho đều có TXĐ:\(D = \mathbb{R}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} - 3x + 2} \right) =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} - 1} \right) =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {{x^4} - 2{x^2} - 1} \right) =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( { - {x^4} + 4{x^2}} \right) =  - \infty \end{array}\)

Do đó, hàm số có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định là \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \({\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\).

- Đặt ẩn phụ \(t = \cos x\), điều kiện \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

- Đưa hàm số về hàm số ẩn \(t\), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\).

- Giải phương trình \(y' = 0\), xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ { - 1;1} \right]\).

- Tính các giá trị \(y\left( { - 1} \right),\,\,y\left( 1 \right),\,\,y\left( {{x_i}} \right)\).

- Kết luận: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = \min \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( {{x_i}} \right)} \right\}\), \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = \max \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,y = 2{\sin ^2}x - \cos x + 1\\ \Rightarrow y = 2\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) - \cos x + 1\\ \Rightarrow y =  - 2{\cos ^2}x - \cos x + 3\end{array}\)

Đặt \(\cos x = t\,\,\,\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\), hàm số trở thành: \(y =  - 2{t^2} - t + 3.\)

Ta có: \(y' =  - 4t - 1 = 0 \Rightarrow t =  - \dfrac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta suy ra \(M = \dfrac{{25}}{8},\,\,m = 0\).

Vậy \(M + m = \dfrac{{25}}{8}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lập BBT của hàm số từ đồ thị hàm số đã cho

Từ BBT, tìm các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn.

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị của hàm số đã cho ta có bảng biến thiên của hàm số như sau :

Từ BBT ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Suy ra  \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right);\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 5 \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên \(\left[ {2;3} \right]\) để tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Thay giá trị lớn nhất của hàm số để tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Suy ra hàm số đã cho xác định là liên tục trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\).

Ta có :

\(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = \dfrac{{x + {m^2}}}{{x - 1}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{1\left( {x - 1} \right) - 1.\left( {x + {m^2}} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - \left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\end{array}\)

Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định hay hàm số nghịch biến trên đoạn  \(\left[ {2;3} \right]\).

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 11 = \dfrac{{2 + {m^2}}}{{2 - 1}} \Leftrightarrow {m^2} = 9 \Leftrightarrow m =  \pm 3\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Dựa vào BBT để xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết:

Từ BBT ta thấy GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 1;3} \right]\) là \( - 2 \Leftrightarrow x = 2.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Khái niệm cực trị của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( {a;\,\,b} \right)\) và điểm \({x_0} \in \left( {a;\,\,b} \right).\)

+) Nếu tồn tại  số \(h > 0\) sao cho \(f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right)\) với mọi \(x \in \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0} + h} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì ta nói hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \({x_0}.\)

+) Nếu tồn tại  số \(h > 0\) sao cho \(f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right)\) với mọi \(x \in \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0} + h} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì ta nói hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \({x_0}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) < f\left( 0 \right)\,\,\forall x \in \left( { - 2;\,\,2} \right)\backslash \left\{ 0 \right\} \Rightarrow x = 0\) là điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right).\) 

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cách 1:

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\)  Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\) 

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right).\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) trên \(\left[ { - 1;\,\,1} \right].\)

Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \dfrac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \left[ { - 1;\,\,1} \right]\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y\left( { - 1} \right) = \sqrt 3 \\y\left( 0 \right) = 4\\y\left( 1 \right) = \sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ { - 1;\,\,1} \right]} y = \sqrt 3 \,\,\,\,khi\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Hàm số y = f (x) đồng biến trên [a; b] thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right);\,\,\mathop {Max}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên R.

\( \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,\,10} \right]} f\left( x \right) = f\left( {10} \right).\)

Đáp án  A.

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - 3{x^2} - 2019 \le 0\,\,\,\forall x \Rightarrow \) hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên tập xác định.

\( \Rightarrow y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right] \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right).\) 

Chọn  C.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = \dfrac{{ - {m^2} - 1}}{{{{\left( {x - {m^2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - \left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {x - {m^2}} \right)}^2}}} < 0\,\,\,\forall x \ne {m^2}\).

Vì hàm số nghịch biến nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3; - 2} \right]} y = y\left( { - 2} \right) = \dfrac{1}{2}\).

\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2 + 1}}{{ - 2 - {m^2}}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow  - 2 - {m^2} =  - 2 \Leftrightarrow {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = 0\). 

Chọn B

Lời giải chi tiết:

+ Ta có \(S\left( t \right) =  - 2{t^3} + 18{t^2} + 2t + 1 \Rightarrow v\left( t \right) = S'\left( t \right) =  - 6{t^2} + 36t + 2\).

+ \(v\left( t \right)\,\,\max  \Leftrightarrow  - 6{t^2} + 36t + 2\,\,\,\max  \Leftrightarrow t =  - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{{36}}{{2.\left( { - 6} \right)}} = 3\,\,\left( s \right)\).

Chọn C

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 2\,\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\).

Ta có \(y\left( 1 \right) =  - \dfrac{{13}}{6};\,\,\,y\left( 0 \right) =  - 1;\,\,y\left( 2 \right) =  - \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow {y_{\min }} = y\left( 1 \right) =  - \dfrac{{13}}{6}\).

Chọn B

Phương pháp giải:

Cách 1:

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\)  Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\) 

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right..\)

Ta có: \(f\left( { - 3} \right) =  - 16;\,\,\,f\left( { - 1} \right) = 4;\,\,f\left( 1 \right) = 0;\,\,\,f\left( 3 \right) = 20.\)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;\,\,3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 20.\)

Chọn  B.