40 bài tập trắc nghiệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số mức độ vận dụng, vận dụng cao

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) sao cho \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right) = 3\). Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right) + 2m\), \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) =  - 7\).

  • A \(m = 7\)
  • B \(m =  - 2\)
  • C \(m = 2\)
  • D \(m =  - 5\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Nhận xét: Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right) + 2m\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

- Đặt ẩn phụ \(t = 3{x^3} + 2x - 1\). Tìm khoảng giá trị của \(t\).

- Dựa vào giả thiết tìm GTLN của \(f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right)\), từ đó suy ra GTLN của \(g\left( x \right) = f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right) + 2m\) theo \(m\).

- Giải phương trình GTLN của \(g\left( x \right) = f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right) + 2m\) = \( - 7\), tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right) + 2m\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi  \(f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Đặt \(t = 3{x^3} + 2x - 1\) ta có: \(t'\left( x \right) = 9{x^2} + 2 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

\( \Rightarrow \) Với \(x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;4} \right]\)\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( t \right) = 3\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = 3 + 2m =  - 7 \Leftrightarrow m =  - 5\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), hàm số \(y = f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ sau

Bất phương trình \(f\left( x \right) < x + m\) có nghiệm với mọi \(x \in \left( {0;2} \right]\) khi và chỉ khi 

  • A \(m \ge f\left( 2 \right) - 2\).
  • B \(m \le f\left( 0 \right)\).
  • C \(m > f\left( 2 \right) - 2\).
  • D \(m < f\left( 0 \right)\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Cô lập \(m\).

- Bất phương trình dạng \(g\left( x \right) < m\) có nghiệm  với mọi \(x \in \left( {0;2} \right]\)khi và chỉ khi \(m > \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right)\).

- Lập BBT hoặc sử dụng phương pháp hàm số xác định \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(f\left( x \right) < x + m \Leftrightarrow f\left( x \right) - x < m\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x\)với \(x \in \left( {0;2} \right]\)ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 1 < 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right].\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right]\)\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) - 2\)

Để bất phương trình \(f\left( x \right) < x + m\) có nghiệm với mọi \(x \in \left( {0;2} \right]\) thì \(m > f\left( 2 \right) - 2.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{7}{2}} \right]\)  có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\)đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{7}{2}} \right]\) tại điểm \({x_0}\) nào dưới đây?

 

  • A \({x_0} =  - 1\)
  • B \({x_0} = 0\)
  • C \({x_0} = 1\)
  • D \({x_0} = 3\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lập BBT của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{7}{2}} \right]\), từ đó đưa ra đánh giá điểm mà hàm số đạt GTNN.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) ta thấy: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Ta có BBT như sau:

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\)đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{7}{2}} \right]\)tại điểm \({x_0} = 3.\)

Chọn: D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 2x} \right) + m\). Giá trị của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) bằng \(9\) là:

  • A \(m = 10\)
  • B \(m = 6\)
  • C \(m = 12\)
  • D \(m = 8\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số \(y = g\left( x \right)\). Giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) để tìm giá trị của \(m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 2} \right).f'\left( {{x^3} + 2x} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} + 2 = 0\\f'\left( {{x^3} + 2x} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow f'\left( {{x^3} + 2x} \right) = 0\) (Do phương trình \(3{x^2} + 2 = 0\) vô nghiệm).

Từ đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) đã cho ta có : \(f'\left( {{x^3} + 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} + 2x = 0\\{x^3} + 2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {x_0} \approx 0,77\end{array} \right.\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) có : 

\(\begin{array}{l}g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) + m = m + 1\\g\left( {{x_0}} \right) = f\left( 2 \right) + m = m - 3\\g\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) + m = m + 1\end{array}\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = g\left( 1 \right) = m + 1\).

Theo giả thiết, giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;1} \right]\) bằng 9 nên \(m + 1 = 9 \Leftrightarrow m = 8\).

Vậy \(m = 8.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {x^2}\). Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) là:

  • A \(g\left( { - 2} \right)\).
  • B \(g\left( 2 \right)\).
  • C \(g\left( 4 \right)\).
  • D \(g\left( 0 \right)\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số \(g\left( x \right)\). Xác định các nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Xét dấu \(g'\left( x \right)\) thông qua \(f'\left( x \right)\).

- Lập bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) rồi kết luận giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ { - 2;4} \right]\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {x^2}\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2x\)

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x\,\,\,\left( 1 \right)\).

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right);\,\,y = x.\)

Vẽ đường thẳng \(y = x\) và đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ:

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hai hàm số \(y = f'\left( x \right);\,\,y = x\) cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ là \( - 2;2;4.\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 2\\x = 4\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\):

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) là \(g\left( 2 \right)\).

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m} \right|\). Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\). Tổng các giá trị của tham số thực \(m\) để \(M = \dfrac{{71}}{2}.\)

  • A \(4\)
  • B \(- 3\)
  • C \(9\)
  • D \(5\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Đặt \(h\left( x \right) = 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m\), khảo sát và lập BBT của hàm số \(h\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 1;3} \right]\).

- Chia các trường hợp, từ đó suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {h\left( x \right)} \right|\) và tìm GTLN của hàm số trên \(\left[ { - 1;3} \right]\).

- Tìm các giá trị của \(m\) thỏa mãn từng trường hợp.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(h\left( x \right) = 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m\) ta có:

\(h'\left( x \right) = 12{x^3} - 12{x^2} - 24x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Ta thấy \(m - 32 < m - 5 < m < m + 27\).

TH1: \(m - 32 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 32\).

\( \Rightarrow M = m + 27 = \dfrac{{71}}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{{17}}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH2: \(m - 32 < 0 \le m - 5 \Leftrightarrow 5 \le m < 32\).

\( \Rightarrow M \in \left\{ {32 - m;m + 27} \right\}\).

Nếu \(m + 27 \ge 32 - m \Leftrightarrow 2m \ge 5 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow 5 \le m < 32\), khi đó \(M = m + 27 = \dfrac{{71}}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{{17}}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Nếu \(m + 27 < 32 - m \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow m \in \emptyset \).

TH3: \(m - 5 < 0 \le m \Leftrightarrow 0 \le m < 5\).

 \( \Rightarrow M \in \left\{ {32 - m;m + 27} \right\}\).

Nếu \(m + 27 \ge 32 - m \Leftrightarrow 2m \ge 5 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow \dfrac{5}{2} \le m < 5\), khi đó \(M = m + 27 = \dfrac{{71}}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{{17}}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\).

Nếu \(m + 27 < 32 - m \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow 0 \le m < \dfrac{5}{2}\), khi đó \(M = 32 - m = \dfrac{{71}}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{7}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH4: \(m + 27 \le 0 \Leftrightarrow m \le  - 27\), khi đó \(M = 32 - m = \dfrac{{71}}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{7}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m \in \left\{ {\dfrac{{17}}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right\}\), tổng các giá trị của \(m\) là \(\dfrac{{17}}{2} + \left( { - \dfrac{7}{2}} \right) = \dfrac{{10}}{2} = 5\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Một sợi dây kim loại dài \(a\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) . Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài \(x\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông \(\left( {a > x > 0} \right).\) Tìm \(x\) để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.

  • A \(x = \dfrac{a}{{\pi  + 4}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
  • B \(x = \dfrac{{2a}}{{\pi  + 4}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
  • C \(x = \dfrac{{\pi a}}{{\pi  + 4}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
  • D \(x = \dfrac{{4a}}{{\pi  + 4}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tính độ dài bán kính hình tròn và cạnh của hình vuông.

- Tính diện tích hình tròn bán kính \(r\) là \(S = \pi {r^2}\) và diện tích hình vuông cạnh \(a\) là \(S = {a^2}\).

- Tính tổng diện tích, sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN.

Lời giải chi tiết:

Do \(x\) là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn \(\left( {0 < x < a} \right)\). Suy ra chiều dài đoạn còn lại là \(a - x\).

Gọi \(r\) là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: \(2\pi r = x\)\( \Rightarrow r = \dfrac{x}{{2\pi }}\).

Do đó diện tích hình tròn là: \({S_1} = \pi .{r^2}\)\( = \dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{4\pi }}\).

Chu vi hình vuông là \(a - x \Rightarrow \) Cạnh hình vuông là \(\dfrac{{a - x}}{4}\). Do đó diện tích hình vuông: \({S_2} = {\left( {\dfrac{{a - x}}{4}} \right)^2}\).

Tổng diện tích hai hình:

\(\begin{array}{l}S = \dfrac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {\dfrac{{a - x}}{4}} \right)^2}\\\,\,\,\, = \dfrac{{4{x^2} + \pi {{\left( {a - x} \right)}^2}}}{{16\pi }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 2a\pi x + \pi {a^2}}}{{16\pi }}\end{array}\)

Xét hàm số \(S\left( x \right) = \dfrac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 2a\pi x + \pi {a^2}}}{{16\pi }}\) ta có:\(S'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {4 + \pi } \right).x - 2a\pi }}{{16\pi }} = \dfrac{{\left( {4 + \pi } \right).x - a\pi }}{{8\pi }}\).

Cho\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {4 + \pi } \right)x - a\pi  = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\pi }}{{4 + \pi }}\). Ta có BBT như sau :

Suy ra hàm \(S\) chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại \(x = \dfrac{{a\pi }}{{4 + \pi }}\).

Do đó \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \dfrac{{a\pi }}{{4 + \pi }}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình \(\left| {f\left( x \right) + m} \right| < 2m\) đúng với mọi x thuộc đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\)?

  • A \(6\)
  • B \(5\)
  • C \(7\)
  • D \(8\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left| {f\left( x \right) + m} \right| < 2m \Leftrightarrow  - 2m < f\left( x \right) + m < 2m \Leftrightarrow  - 3m < f\left( x \right) < m\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3m < \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right)\\\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right) < m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3m <  - 2\\3 < m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{2}{3}\\m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left( {3;10} \right],\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9;10} \right\}\).

Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \dfrac{{16}}{{\sqrt x }}.\)

  • A \(8\)
  • B \(3\sqrt 8 \)
  • C \(16\)
  • D \(12\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Cách 1:

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\)  Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\) 

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = x + \dfrac{{16}}{{\sqrt x }}\) ta có:

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right).\)

\(\begin{array}{l}y' = 1 - \dfrac{{16.\dfrac{1}{{2\sqrt x }}}}{{\sqrt x }} = 1 - \dfrac{8}{{x\sqrt x }} = \dfrac{{x\sqrt x  - 8}}{{x\sqrt x }}\\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x\sqrt x  - 8 = 0 \Leftrightarrow x\sqrt x  = 8\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x } \right)^3} = {2^3} \Leftrightarrow \sqrt x  = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Ta có bảng xét dấu:

\( \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 12\) khi \(x = 4.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình dưới. Gọi \(a,\,\,A\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(f\left( {x + 1} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;\,\,0} \right].\) Giá trị \(a + A\) bằng:

  • A \(1\)
  • B \(2\)
  • C \(0\)
  • D \(3\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đặt \(x + 1 = t.\) Khi đó: \(x \in \left[ { - 1;\,\,0} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\,\,1} \right].\)

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, tìm các GTLN, GTNN của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên \(\left[ {0;\,\,1} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(x + 1 = t.\) Khi đó: \(x \in \left[ { - 1;\,\,0} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\,\,1} \right].\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\,1} \right]} f\left( t \right) = 0\,\,\,khi\,\,\,t = 0 \Rightarrow x =  - 1.\\A = \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\,1} \right]} f\left( t \right) = 3\,\,\,\,khi\,\,\,t = 1 \Rightarrow x = 1.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow a + A = 0 + 3 = 3.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết hàm số \(f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới đây. Trên đoạn \(\left[ { - 4;3} \right]\), hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) + {\left( {1 - x} \right)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

  • A \(x =  - 1\).
  • B \(x =  - 4\).
  • C \(x =  - 3\).
  • D \(x = 3\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm hàm số \(g\left( x \right)\), giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Lập BBT hàm số \(g\left( x \right)\), từ đó suy ra GTNN của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2\left( {1 - x} \right) = 2\left[ {f'\left( x \right) - \left( {1 - x} \right)} \right]\).

Xét \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 1 - x\), số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1 - x\).

Ta biểu diễn đường thẳng \(y = 1 - x\) trên hình vẽ:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( x \right) = 1 - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 4\\x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Từ đó, ta suy ra bảng xét dấu \(g'\left( x \right)\) như sau:

Vậy hàm số đạt GTNN tại \(x =  - 1\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Gọi \(k,\,\,K\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( { - 2x} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;\,\,\dfrac{1}{2}} \right].\)Giá trị của \(k + K\) bằng:

  • A \(4\)
  • B \(0\)
  • C \(\dfrac{{19}}{8}\)
  • D \( - 4\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( { - 2x} \right)\).

- Giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\), xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\).

- Tính các giá trị \(g\left( { - 1} \right),\,\,g\left( {\dfrac{1}{2}} \right),\,\,g\left( {{x_i}} \right)\) và kết luận GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( { - 2x} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) =  - 2f'\left( { - 2x} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị \(x =  - 1,\,\,x = 0,\,\,x = 2\).

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( { - 2x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x =  - 1\\ - 2x = 0\\ - 2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2} \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\\x = 0 \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\\x =  - 1 \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\end{array} \right.\).

Ta có \(g\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = f\left( { - 1} \right) \in \left( { - \dfrac{{13}}{8};0} \right)\), \(g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = 0\), \(g\left( { - 1} \right) = f\left( 2 \right) =  - 4\).

\( \Rightarrow k = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]} g\left( x \right) =  - 4,\,\,K = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]} g\left( x \right) = 0\).

Vậy \(k + K =  - 4 + 0 =  - 4.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Biết rằng \(f\left( 0 \right) + f\left( 3 \right) = f\left( 2 \right) + f\left( 5 \right)\). Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;5} \right]\) lần lượt là: 

  • A \(f\left( 0 \right);f\left( 5 \right)\)
  • B \(f\left( 2 \right);f\left( 0 \right)\)
  • C \(f\left( 2 \right);f\left( 5 \right)\)  
  • D \(f\left( 1 \right);f\left( 5 \right)\)  

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Từ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta lập được BBT của hàm số đã cho.

- Tìm GTLN, GTNN của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;5} \right]\) qua BBT và dữ kiện đề bài cho.

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta lập được BBT của đồ thị hàm số đã cho như sau:

Từ BBT ta thấy \(x = 0\) là điểm  cực đại và \(x = 2\) là điểm cực tiểu của  hàm số đã cho.

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)

Lại có  \(f\left( 2 \right) < f\left( 3 \right)\) mà \(f\left( 0 \right) + f\left( 3 \right) = f\left( 2 \right) + f\left( 5 \right)\) nên \(f\left( 0 \right) < f\left( 5 \right)\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 5 \right)\).

Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhấ của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;5} \right]\) lần lượt là \(f\left( 2 \right);f\left( 5 \right)\). 

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho hàm số\(y = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 2\) . Tìm số thực dương m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng 2.

  • A \(m = {\rm{ }}2.\)
  • B \(m = {\rm{ }}4.\)
  • C \(m = 1.\)
  • D \(m = {\rm{ }}0.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tính \(f'\left( x \right)\), từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm số.

- Sử dụng định nghĩa: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \(f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + {m^2} + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số cũng đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = {m^2} - 2\).

Theo bài ra ta có: \({m^2} - 2 = 2 \Leftrightarrow m =  \pm 2\).

Mà \(m\) là số thực dương. Vậy \(m = 2\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Một chất điểm chuyển động có phương trình \({\rm{S}}\left( t \right) =  - \dfrac{1}{3}{t^3} + 6{t^2}\) với thời gian t tính bằng giây (s) và quãng đường S tính bằng mét (m). Trong thời gian 5 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của chất điểm đạt được là

  • A \(35m/s\)  
  • B \(36m/s\)
  • C \(288m/s\)
  • D \(\dfrac{{325}}{3}m/s\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tìm hàm biểu diễn vận tốc, sử dụng công thức \(v\left( t \right) = S'\left( t \right)\).

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của hàm số trên một đoạn xác định.

Lời giải chi tiết:

Vận tốc của chất điểm được tính theo công thức: \(v\left( t \right) = S'\left( t \right) =  - {t^2} + 12t\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) =  - {t^2} + 12t\) với \(t \in \left[ {0;5} \right]\) ta có:

\(f'\left( t \right) =  - 2t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 6 \notin \left[ {0;5} \right]\).

Có \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f\left( 5 \right) = 35\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( t \right) = f\left( 5 \right) = 35\).

Vậy trong khoảng thời gian 5 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của chất điểm đạt được là \(35\,\,m/s\), tại thời điểm \(t = 5\) giây.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right).\) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ {0;2} \right]\) bằng ?

  • A \(c\)
  • B \(c - a\)
  • C \(c + 8a\)
  • D \(16a + 4b + c\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Từ giả thiết ta lập luận để có \(a > 0.\)

Từ đó tìm được các điểm cực trị của hàm số và suy ra được GTNN thông qua BBT.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\4a{x^2} + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} =  - \dfrac{b}{{2a}}\end{array} \right.\)

Tù giả thiết suy ra \(a > 0\).

TH1: Nếu \(b \ge 0\) thì hàm số có 1 cực trị \(x = 0.\) Suy ra hàm số đơn điệu trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) điều này mâu thuẫn với giả thiết \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\) nên ta loại TH này.

TH2: \(b < 0\) hàm số có ba cực trị \({x_1} = 0,{x_2} =  - \sqrt {\dfrac{{ - b}}{{2a}}} ,{x_3} = \sqrt {\dfrac{{ - b}}{{2a}}} \)

Vì \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1 \Rightarrow {x_2} =  - 1;{x_3} = 1\), khi đó \(a > 0.\)

Ta có BBT:

Từ BBT suy ra GTNN của hàm số trên \(\left[ {0;2} \right]\) là \(f\left( 1 \right) = a + b + c\)

Lại có \(x = 1\) là cực trị của hàm số nên \( - \dfrac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow b =  - 2a\)

Suy ra \(f\left( 1 \right) = a + \left( { - 2a} \right) + c = c - a\)

Vậy GTNN cần tìm là \(c - a.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Một doanh nghiệp sản xuất và  bán một loại sản phẩm với giá 45 (ngàn đồng) mỗi sản phẩm, tại giá bán này khách hàng sẽ mua 60 sản phẩm mỗi tháng. Doanh nghiệp dự định tăng giá bạn và họ ước tính rằng nếu tăng 2 (ngàn đồng) trong giá bán thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 6 sản phẩm. Biết rằng chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 27 (ngàn đồng). Hỏi doanh nghiệp nên bán sản phẩm với giá nào để lợi nhuận thu được lớn nhất?

  • A 47 ngàn đồng
  • B 46 ngàn đồng
  • C 48 ngàn đồng
  • D 49 ngàn đồng

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đưa lợi nhuận thu được trong bài toán về hàm số một ẩn rồi tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi số tiền tăng thêm của mỗi sản phẩm trong giá bán là \(2x\) (ngàn đồng)

Nếu tăng 2 ( ngàn đồng)  trong giá bán thì số sản phẩm giảm 6 nên nếu tăng thêm mỗi sản phẩm trong giá bán là \(2x\) đồng thì số sản phẩm  trong tháng giảm \(6x\) (sản phẩm). Số sản phẩm bán được trong tháng khi đó là \(60 - 6x\) (sản phẩm).

Giá bán mỗi sản phẩm khi đó là: \(45 + 2x\) (ngàn đồng).

Chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là \(27\) (ngàn đồng)  nên lợi nhuận thu được từ mỗi sản phẩm là \(45 + 2x - 27 = 18 + 2x\) (ngàn đồng)

Do đó, lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được là :

 \(\left( {60 - 6x} \right)\left( {18 + 2x} \right) = 1080 + 12x - 12{x^2}\)\( =  - 12\left( {{x^2} - x + \dfrac{1}{4}} \right) + 1077\)\( = 1077 - 12{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le 1077\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(x = \dfrac{1}{2}\) hay giá bán của mỗi sản phẩm là 46 (ngàn đồng)

Do đó để thu được lợi nhuận lớn nhất thì doanh nghiệp nên bán sản phẩm với giá 46 ngàn đồng.

 Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Một bác nông dân cần xây một hố ga không có nắp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích \(25600\left( {c{m^3}} \right)\), tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng \(2\). Tính diện tích của đáy hố ga để khi xây hố ga tiết kiệm nguyên vật liệu nhất.

  • A \(640\left( {c{m^2}} \right)\)  
  • B \(1600\left( {c{m^2}} \right)\)
  • C \(160\left( {c{m^2}} \right)\)  
  • D \(6400\left( {c{m^2}} \right)\)  

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đưa diện tích của hố ga về phương trình 2 ẩn

Áp dụng BĐT AM – GM  biết mối liên hệ của 2 ẩn qua thể tích.

Lời giải chi tiết:

Gọi chiều dài và chiều rộng của hố ga lần lượt là \(a\) và \(b\)\(\left( {a,b > 0} \right)\)

Tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2 nên chiều cao của hố ga bằng \(2b\)

Thể tích của hố ga bằng \(25600\left( {c{m^3}} \right)\) nên  \(2b.a.b = 25600 \Leftrightarrow a{b^2} = 12800\)

Diện tích toàn phần của hố ga không nắp là \({S_{tp}} = ab + 2.2b.a + 2.2b.b\)\( = ab + 4ab + 4{b^2} = 5ab + 4{b^2}\)

Áp dụng BĐT AM – GM ta có :

\({S_{tp}} = 5ab + 4{b^2}\)\( = \dfrac{5}{2}ab + \dfrac{5}{2}ab + 4{b^2} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{5}{2}.\dfrac{5}{2}.4.{a^2}{b^4}}}\)\( = 3\sqrt[3]{{{{25.12800}^2}}} = 4800\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{5}{2}ab = 4{b^2} \Leftrightarrow a = \dfrac{8}{5}b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 32\\b = 20\end{array} \right.\)

Diện tích đáy của hố ga để xây hố ga tiêt kiệm nguyên liệu nhất là \(S = ab = 20.32 = 640\left( {c{m^2}} \right)\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 10cm, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn.

  • A 80\(c{m^2}\).
  • B 100\(c{m^2}\).
  • C 160\(c{m^2}\).
  • D 200\(c{m^2}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật.

Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của diện tích.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(OD = OC = x.\)(x>0)

\( \Rightarrow AD = \sqrt {O{A^2} - O{D^2}}  = \sqrt {100 - {x^2}} \)

Ta có diện tích hình chữ nhật ABCD là \(S = AD.DC = 2x\sqrt {100 - {x^2}} \).

        \(\begin{array}{l}S' = 2\sqrt {100 - {x^2}}  + 2x.\frac{{ - 2x}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\S' = 0 \Leftrightarrow 100 - {x^2} = {x^2} \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 .\end{array}\)

Khi đó giá trị lớn nhất của S là \(S = 2.2\sqrt 5 .\sqrt {100 - {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}}  = 80c{m^2}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hàm số \(y = \sqrt {4 + x}  + \sqrt {4 - x} .\) Khằng định nào sau đây là đúng ?

  • A Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(4.\)
  • B Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 0\).
  • C Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 4\).       
  • D Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(4.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định.

- Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số chứa căn: \(\left( {\sqrt {f\left( x \right)} } \right)' = \frac{{f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }}\)

- Lập bảng biến thiên rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \sqrt {4 + x}  + \sqrt {4 - x} \) xác định khi \( - 4 \le x \le 4\).

Ta có \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {4 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {4 - x} }}\)

        \(\begin{array}{l}y' = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt {4 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {4 - x} }} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {4 + x}  = \sqrt {4 - x} \\ \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 4.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) là

  • A \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = 3.\)
  • B \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y =  - 1.\)
  • C \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = 5.\)
  • D \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = \frac{{ - 7}}{3}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng đạo hàm rồi lập bảng biến thiên.

Lời giải chi tiết:

Hàm số  \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - ({x^2} - x + 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

\(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) bằng 3.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \(ABCD\) nội tiếp trong nửa đường tròn (tham khảo hình vẽ) có bán kính bằng \(10\,\,cm\) là:

  • A \(100 \,\,c{m^2}.\)
  • B \(160 \,\,c{m^2}.\)
  • C \(80 \,\,c{m^2}.\)
  • D \(200 \,\,c{m^2}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Đặt \(OA = x\), tính \(AD\) theo \(x\) và tính diện tích hình chữ nhật \(ABCD\).

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(OA = x\,\,\left( {0 < x < 10} \right) \Rightarrow AB = 2x.\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAD\) ta có: \(AD = \sqrt {100 - {x^2}} \).

Khi đó \({S_{ABCD}} = AB.AD = 2x\sqrt {100 - {x^2}} \).

Ta có: \(S' = 2\sqrt {100 - {x^2}}  + \dfrac{{ - 4{x^2}}}{{2\sqrt {100 - {x^2}} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow 4\left( {100 - {x^2}} \right) - 4{x^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 50\)\( \Leftrightarrow x = 5\sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \({S_{\max }} = S\left( {5\sqrt 2 } \right) = 100\,\,c{m^2}.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm. Giả sử phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = a + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{4}\).

  • A \(7\)
  • B \(\dfrac{7}{2}\)
  • C \(8\)
  • D \(10\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Do \(a,\,\,b,\,\,c\) không âm nên nếu giả sử phương trình \(f\left( x \right)\) có nghiệm \(x \ge 0\) \( \Rightarrow {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1 \ge 1 > 0\). Do đó 4 nghiệm của phương trình đều âm.

Áp dụng định lý Vi-et ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} =  - a\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_4} + {x_1}{x_3} + {x_1}{x_4} + {x_2}{x_4} = b\\{x_1}{x_2}{x_3} + {x_2}{x_3}{x_4} + {x_3}{x_4}{x_1} + {x_1}{x_2}{x_4} =  - c\\{x_1}{x_2}{x_3}{x_4} = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{4} =  - \left( {\sum {{x_1}} } \right) + \dfrac{{\sum {{x_1}{x_2}} }}{2} - \dfrac{1}{4}\left( {\sum {\dfrac{1}{{{x_1}}}} } \right)\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\sum {{x_1}{x_2}}  \ge \dfrac{1}{2}.6.\sqrt[6]{{{{\left( {{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}} \right)}^3}}} = \dfrac{6}{2} = 3\\\sum {\left( { - {x_1}} \right)}  + \dfrac{1}{4}\sum {\dfrac{{ - 1}}{{{x_1}}} \ge 4\sqrt[4]{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}} + \dfrac{1}{4}.4\sqrt[4]{{\dfrac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}}}} = 5} \\ \Rightarrow P \ge 8.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 8.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Bố và hai con trai đi từ nhà ra công viên cách nhà 16,8km. Bố có một xe máy, nhưng chỉ chở thêm được một người nữa. Biết rằng vận tốc xe máy là 24km/h, vận tốc đi bộ là 6km/h. Hỏi thời gian ngắn nhất để cả 3 bố con đến được công viên là bao nhiêu lâu, biết rằng họ khởi hành từ nhà cùng một lúc.

  • A 1 giờ 10 phút.
  • B 1 giờ 24 phút.
  • C 1 giờ 12 phút.
  • D 1 giờ 18 phút.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Nhận xét: Cách đi đến công viên nhanh nhất là: Bố chở con trai 1 đến 1 điểm C nào đó trên đường rồi thả con xuống đi bộ, sau đó quay lại đón con trai 2 và chở con trai 2 đến công viên cùng lúc với con trai 1.

Lời giải chi tiết:

Cách đi đến công viên nhanh nhất là: Bố chở con trai 1 đến 1 điểm C nào đó trên đường rồi thả con xuống đi bộ, sau đó quay lại đón con trai 2 và chở con trai 2 đến công viên cùng lúc với con trai 1.

Đặt \(AC = x,CB = y\) thì \(x + y = 16,8\,\,\left( 1 \right)\).

Thời gian đi xe máy đến C là \(\dfrac{x}{{24}}\left( h \right)\).

Trong thời gian này, con thứ 2 đi đến D và được \(\dfrac{x}{{24}}.6 = \dfrac{x}{4}\left( {km} \right)\).

Bố quay về từ C với vận tốc 24km/h và con 2 đi bộ từ D với vận tốc 6km/h thì gặp nhau ở E sau khoảng thời gian là \(\dfrac{{DC}}{{6 + 24}} = \dfrac{{x - \dfrac{x}{4}}}{{30}} = \dfrac{x}{{40}}\left( h \right)\)

Quãng đường EC là \(\dfrac{x}{{40}}.24 = \dfrac{{3x}}{5}\left( {km} \right)\)

Thời gian bố đi từ C về E rồi từ E về B là \(\dfrac{x}{{40}} + \dfrac{x}{{40}} + \dfrac{y}{{24}} = \dfrac{x}{{20}} + \dfrac{y}{{24}}\left( h \right)\).

Thời gian con trai thứ hai đi từ C về B là \(\dfrac{y}{6}\left( h \right)\).

Ba bố con đến nơi cùng lúc \( \Leftrightarrow \dfrac{x}{{20}} + \dfrac{y}{{24}} = \dfrac{y}{6} \Leftrightarrow 8x = 20y\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 16,8\\8x = 20y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 4,8\end{array} \right.\).

Thời gian ngắn nhất ba bố con đến công viên là thời gian người con trai thứ hai đi từ A đến C bằng xe máy và đi bộ từ C đến B.

Vậy thời gian đi là: \(\dfrac{{12}}{{24}} + \dfrac{{4,8}}{6} = 1,3\left( h \right)\)\( = 1\) giờ \(18\) phút.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = m{x^4} + 2{x^2} - 1\) với \(m\) là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 2019;2020} \right)\) sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)?

  • A \(4\)  
  • B \(2016\)
  • C \(2024\)
  • D \(4037\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m > g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) \( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( x \right)\).

- Tìm GTNN của hàm số \(g\left( x \right)\) bằng phương pháp hàm số hoặc đánh giá.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y' = 4m{x^3} + 4x\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) thì \(y' > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

\( \Rightarrow 4m{x^3} + 4x > 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

\( \Rightarrow 4m{x^3} >  - 4x\,\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) \( \Leftrightarrow m > \frac{{ - 1}}{{{x^2}}}\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{1}{2}} \right]} \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\).

Ta có: \(0 < x \le \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow 0 < {x^2} \le \frac{1}{4}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{x^2}}} \ge 4 \Leftrightarrow  - \frac{1}{{{x^2}}} \le  - 4\,\,\forall  \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{1}{2}} \right]} \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) =  - 4\) , suy ra \(m \ge  - 4\).

Kết hợp điều kiện \(m \in \left( { - 2019;2020} \right)\), \(m \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 \le m < 2020\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2;...;2019} \right\}\).

Vậy có 2024 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Một thừa đất hình chữ nhật có chiều dài bằng \(20\) mét và chiều rộng bằng \(10\) mét, người ta giảm chiều dài \(x\) mét (với \(0 < x < 20\) ) và tăng chiều rộng thêm \(2x\) mét để được thửa đất mới. Tìm \(x\) để thửa đất mới có diện tích lớn nhất?

  • A \(x = \dfrac{{15}}{2}\)
  • B \(x = \dfrac{{15}}{4}\)           
  • C \(x = 10\)
  • D \(x = 15\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tính chiều dài, chiều rộng mới của thửa đất, sau đó tính diện tích mới của thửa đất.

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN.

Lời giải chi tiết:

Chiều dài mới của thửa đất là \(20 - x\) (mét)

Chiều rộng mới của thửa đất là \(10 + 2x\) (mét)

Khi đó diện tích mới của thửa đất là \(S = \left( {20 - x} \right)\left( {10 + 2x} \right)\).

Ta có: \(S' =  - \left( {10 + 2x} \right) + 2\left( {20 - x} \right) =  - 4x + 30\)

\(S' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{15}}{2}\).

Ta có BBT như sau:

Vậy \({S_{\max }} = S\left( {\dfrac{{15}}{2}} \right)\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Giả sử \(m\) là số thực để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {2{x^2} - 3x + 4m + 5} \right|\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) là nhỏ nhất và \(m = \dfrac{a}{b}\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên tố cùng nhau và \(b > 0\). Khi đó \(a + b\) bằng:

  • A \(47\)
  • B \(9\)
  • C \( - 47\)
  • D \( - 9\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Lập BBT của hàm số \(y = 2{x^2} - 3x + 4m + 5\) trên \(\left[ { - 1;2} \right]\).

- Chia các TH, xác định GTLN của hàm số \(y = \left| {2{x^2} - 3x + 4m + 5} \right|\), từ đó xác định \(a,\,b\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = 2{x^2} - 3x + 4m + 5\) ta có: \(f'\left( x \right) = 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4} \in \left[ { - 1;2} \right]\)

BBT:

TH1: \(\dfrac{{31}}{8} + 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{{31}}{{32}}\).

Khi đó hàm số \(y = \left| {2{x^2} - 3x + 4m + 5} \right|\) đạt GTLN bằng \(10 + 4m\).

Với \(m \ge  - \dfrac{{31}}{{32}}\) thì \(10 + 4m \ge \dfrac{{49}}{8}\).

\( \Rightarrow 10 + 4m\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{{49}}{8}\) khi \(m =  - \dfrac{{31}}{{32}}\).

Khi đó \(a =  - 31,\,\,b = 32 \Rightarrow a + b = 1\) (Không có đáp án).

TH2: \(\dfrac{{31}}{8} + 4m < 0 \le 7 + 4m \Leftrightarrow  - \dfrac{7}{4} \le m \le \dfrac{{ - 31}}{{32}}\).

Khi đó GTLN của hàm số \(y = \left| {2{x^2} - 3x + 4m + 5} \right|\) thuộc \(\left\{ {10 + 4m; - \dfrac{{31}}{8} - 4m} \right\}\).

+ Nếu \(10 + 4m \ge  - \dfrac{{31}}{8} - 4m \Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{{111}}{{64}}\).

\( \Rightarrow \max y = 10 + 4m\) đạt GTNN \( \Leftrightarrow m =  - \dfrac{{111}}{{64}}\).

\( \Rightarrow a =  - 111,\,\,b = 64 \Rightarrow a + b =  - 47\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Biết \({m_0}\) là giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{ - mx + 2}}{{x + m}}\) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\) bằng \( - 3\). Khi đó:

  • A \({m_0} \in \left( { - 5; - 2} \right)\)
  • B \({m_0} \in \left( {0;2} \right)\)
  • C \({m_0} \in \left( { - 2;0} \right)\)
  • D \({m_0} \in \left( {2;5} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định của chúng.

- Xác định GTNN của hàm số trên \(\left[ { - 1;0} \right]\) sau đó tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}\). Ta có: \(y' = \dfrac{{ - {m^2} - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D\).

Do đó hàm số nghịch biến trên \(\left[ { - 1;0} \right]\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} y = y\left( 0 \right) = \dfrac{2}{m}\).

Theo bài ra ta có: \(\dfrac{2}{m} =  - 3 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{2}{3}\).

Vậy \({m_0} \in \left( { - 2;0} \right)\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(M\) và \(m\) tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( {1 - 2\cos x} \right)\) trên \(\left[ {0;\,\,\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]\). Giá trị của \(M + m\) bằng

  • A \(\dfrac{1}{2}\)
  • B \(\dfrac{3}{2}\)
  • C \(1\)
  • D \(2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = 1 - 2\cos x\), tìm khoảng giá trị của \(t\).

- Quan sát đồ thị hàm số, tìm \(M,\,\,m\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 1 - 2\cos x\). Với \(x \in \left[ {0;\,\,\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]\) thì \(\cos x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow \)\(1 - 2\cos x \in \left[ { - 1;3} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;3} \right].\)

Khi đó ta có \(y = f\left( t \right)\) với \(t \in \left[ { - 1;3} \right]\).

Quan sát đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\), ta thấy GTLN của hàm số là 2, GTNN của hàm số là \( - \dfrac{3}{2}\)

\( \Rightarrow M = 2,\,\,m =  - \dfrac{3}{2} \Rightarrow M + m = \dfrac{1}{2}\)

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình dưới. Tìm \(m\) để bất phương trình \(f\left( x \right) \ge \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {0;\,\,1} \right].\)

  • A \(m \ge f\left( 0 \right) - \dfrac{1}{2}\)
  • B \(m > f\left( 0 \right) - \dfrac{1}{2}\)
  • C \(m < f\left( 1 \right) - \dfrac{2}{3}\)
  • D \(m \le f\left( 1 \right) - \dfrac{2}{3}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\).

- Chứng minh hàm số \(g\left( x \right)\) đơn điệu trên \(\left[ {0;1} \right]\) và suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,f\left( x \right) \ge \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + m\,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\ \Leftrightarrow m \le f\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} = g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}\) trên \(\left[ {0;1} \right]\) ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\) nên \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), lại có \( - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), do đó \(g'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), suy ra hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) - \dfrac{2}{3}\).

Vậy \(m \le f\left( 1 \right) - \dfrac{2}{3}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {{x^2} - 2x + m} \right|\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) bằng 5.

  • A \(3\)
  • B \(1\)
  • C \(2\)
  • D \(4\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Xét \(y = {x^2} - 2x + m \Rightarrow y' = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1\) (thỏa mãn)

Thay \(x =  - 1 \Rightarrow \) \(y\left( { - 1} \right) = \left| {m + 3} \right|\)

Thay \(x = 1 \Rightarrow \)\(y\left( 1 \right) = \left| {m - 1} \right|\,\)

Thay \(x = 2 \Rightarrow \)\(y\left( 2 \right) = \left| m \right|\)

BBT:

+ Đến đây ta không thể biết được giá trị nào max trong 3 giá trị trên \( \Rightarrow \) chia 3 TH của m

TH1: \(m - 1 \ge 0\) \( \Rightarrow \max \left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( { - 1} \right) = m + 3\).

\( \Rightarrow m + 3 = 5 \Leftrightarrow m = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\).

TH2: \(m - 1 < 0 \le m \Leftrightarrow 0 \le m < 1\).

\( \Rightarrow \max \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {m + 3;1 - m} \right\}\).

Do \(0 \le m < 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \le m + 3 < 4\\0 < 1 - m \le 1\end{array} \right. \Rightarrow m + 3 > 1 - m\,\,\forall m \in \left[ {0;1} \right)\).

\( \Rightarrow \max \left| {f\left( x \right)} \right| = m + 3 = 5 \Leftrightarrow m = 2\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH3: \(m \le 0 \le m + 3 \Leftrightarrow  - 3 < m \le 0\).

\( \Rightarrow \max \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {m + 3;1 - m} \right\}\).

+ Nếu \(m + 3 \ge 1 - m \Leftrightarrow m \ge  - 1\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow  - 1 \le m \le 0\).

Khi đó \(\max \left| {f\left( x \right)} \right| = m + 3 = 5 \Leftrightarrow m = 2\,\,\left( {ktm} \right)\).

+ Nếu \(m + 3 < 1 - m \Leftrightarrow m <  - 1\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow  - 3 < m <  - 1\).

\( \Rightarrow \max \left| {f\left( x \right)} \right| = 1 - m = 5 \Leftrightarrow m =  - 4\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH4: \(m + 3 \le 0 \Rightarrow m \le  - 3\).

Khi đó \(\max \left| {f\left( x \right)} \right| = 1 - m = 5 \Leftrightarrow m =  - 4\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy có 2 giá trị là \(m = 2,\,\,\,m =  - 4.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình mẫu. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh \(x\left( {cm} \right)\), chiều cao \(h\left( {cm} \right)\) và có thể tích là \(500\left( {c{m^3}} \right)\). Hãy tìm độ dài cạnh của hình vuông sao cho chiếc hộp được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.

  • A \(5\,\,cm\)
  • B \(10\,\,cm\)       
  • C \(2\,\,cm\)         
  • D \(3\,\,cm\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

\(V = h.{x^2} = 500 \Leftrightarrow h = \dfrac{{500}}{{{x^2}}}\)

\({S_{tp}} = 4xh + {x^2} = 4x\dfrac{{500}}{{{x^2}}} + {x^2} = \dfrac{{2000}}{x} + {x^2}\)

Để chiếc hộp làm ra tốn ít nguyên liệu nhất

\( \Rightarrow \)Tìm\(\min y = \dfrac{{2000}}{x} + {x^2}\)

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

Dung máy tính cầm tay: ấn tổ hợp phím mode +7

Nhập: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{2000}}{x} + {x^2}\\start:0\\end:10\\step = \dfrac{{end - start}}{{19}} = \dfrac{{10}}{{19}}\end{array} \right.\)

Nhìn vào cột \(F\left( x \right)\)thấy \(\min \,f\left( x \right) = 300\)tại \(x = 10\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \(2016\left( {cm} \right)\). Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(x\left( {cm} \right)\), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm \(x\) để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

  • A \(x = 336\).      
  • B \(x = 504\).
  • C \(x = 672\).
  • D \(x = 1008\).

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\(V = x\left( {2016 - 2x} \right)\left( {2016 - 2x} \right)\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2016 - 2x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 1008\)

Xét \(y = x\left( {2016 - 2x} \right)\left( {2016 - 2x} \right) = x{\left( {2016 - 2x} \right)^2}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x\left[ {{{\left( {2016} \right)}^2} - 8064 + 4{x^2}} \right] = 4{x^3} - 8064{x^2} + {\left( {2016} \right)^2}x\)

\(y' = 12{x^2} - 16128x + {\left( {2016} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1008\,\,\,\,\left( L \right)\\x = 336\,\,\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

BBT:

\(\Rightarrow \) Để thể tích hộp lớn nhất thì \(x=336\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Tam giác vuông có diện tích lớn nhất là bao nhiêu nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0)?

  • A \(\dfrac{2{{a}^{2}}}{9}\).   
  • B \(\dfrac{{{a^2}}}{{3\sqrt 3 }}\).
  • C \(\dfrac{{{a^2}}}{{6\sqrt 3 }}\).
  • D \(\dfrac{{{a^2}}}{9}\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(\Delta ABC\)có \(\widehat A = {90^0};\,\,AB = x;\,\,BC = y\)

Có: \(x + y = a \Leftrightarrow y = a - x\)

Xét \(\Delta ABC\,\,\,\,\left( {\widehat A = {{90}^0}} \right)\) có:

\(\eqalign{
& A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\,\left( {Pytago} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + A{C^2} = {\left( {a - x} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow A{C^2} = {\left( {a - x} \right)^2} - {x^2} \cr
& \Leftrightarrow AC = \sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} - {x^2}} \cr
& {S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.x.\sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} - {x^2}} \cr}\)

\(a = 1 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}.x.\sqrt {1 - 2x} \)

Xét \(y = \dfrac{1}{2}.x.\sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} - {x^2}} \)

Giả sử coi hằng số

TXĐ: \(D = \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right]\)

Dùng máy tính cầm tay: ấn tổ hợp phím MODE + 7

Nhập \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}.x.\sqrt {1 - 2x} \\Start:0\\End:\dfrac{1}{2}\\Step:\dfrac{{End - Start}}{{19}} = \dfrac{1}{2}:19\end{array} \right.\)

Nhìn vào cột \(f\left( x \right)\)thấy \(max\,f\left( x \right) = 0,0961 \approx \dfrac{1}{{6\sqrt 3 }}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy hình vuông không nắp có thể tích là 4 lít. Tìm kích thước của hộp đó để lượng vàng dùng mạ là ít nhất. Giả sử độ dày của lớp mạ tại mọi nơi trên mặt ngoài hộp là như nhau.

  • A Cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng 2.
  • B Cạnh đáy bằng 4, chiều cao bằng 3.
  • C Cạnh đáy bằng 2, chiều cao bằng 1.
  • D Cạnh đáy bằng 3, chiều cao bằng 4.

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Gọi độ dài đáy hộp là\(a\). Chiều cao của hộp là \(b\)

Ta có \({a^2}.b = 4 \Leftrightarrow b = \dfrac{4}{{{a^2}}}\)

\(\begin{array}{l}{S_{mv}} = 4ab + {a^2} \Rightarrow {S_{mv\,}}\min  \Leftrightarrow \left( {4ab + {a^2}} \right)\min \\ \Leftrightarrow 4a\dfrac{4}{{{a^2}}} + {a^2}\min  \Leftrightarrow \dfrac{{16}}{a} + {a^2}\min \end{array}\)

Xét \(\dfrac{{16}}{a} + {a^2} = \dfrac{8}{a} + \dfrac{8}{a} + {a^2}\)

Theo BĐT Cosi : \(\dfrac{8}{a} + \dfrac{8}{a} + {a^2} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{8}{a}.\dfrac{8}{a} + {a^2}}} \Rightarrow {S_{mv}} \ge 12\)

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{8}{a} = \dfrac{8}{a} = {a^2} \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow b = \dfrac{4}{{{a^2}}} = 1\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Cho một tấm nhôm hình tam giác đều có cạnh bằng \(20\left( {cm} \right)\). Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm đó ba tam giác như hình vẽ dưới đây để được hình chữ nhật MNPQ. Tìm độ dài đoạn MB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.

  • A \(5\left( {cm} \right)\).
  • B \(4\left( {cm} \right)\).
  • C \(2\left( {cm} \right)\).
  • D \(10\left( {cm} \right)\).

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(MN = BC - 2BM = 20 - 2BM\)

Vì \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow \widehat B = {60^\circ }\)

Xét \(\Delta BMQ\)vuông tại \(M\), có: \(\tan {60^0} = \dfrac{{QM}}{{BM}} \Rightarrow QM = BM.\sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l}{S_{MNPQ}} = MN.QM = \left( {20 - 2BM} \right).BM\sqrt 3  = \underbrace { - 2\sqrt 3 .B{M^2} + 20\sqrt 3 .BM}_{f\left( x \right)}\\{S_{MNPQ\,}}max \Leftrightarrow f\left( x \right)\,max \Leftrightarrow BM =  - \dfrac{b}{{2a}} = 5\,(cm)\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài \(12{\rm{ }}cm\) và chiểu rộng\(8{\rm{ }}cm\). Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm đáy dưới như hình vẽ. Để độ dài nếp gấp là nhỏ nhất thì giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?

  • A \(6\sqrt 3 \).
  • B \(6\sqrt 2 \).
  • C \(6\sqrt 5 \).
  • D \(6\).

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\(CF = \sqrt {{x^2} - {{\left( {8 - x} \right)}^2}}  = \sqrt {16x - 64} \)

đồng dạng với \(\Delta FCE \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{AF}} = \dfrac{{CF}}{{AD}} \Rightarrow AF = \dfrac{{EF.AD}}{{CF}} = \dfrac{{8x}}{{\sqrt {16x - 64} }}\)

\(\begin{array}{l}AE = y = \sqrt {A{F^2} + E{F^2}}  = \sqrt {\dfrac{{64{x^2}}}{{16x - 64}} + {x^2}}  = \sqrt {\dfrac{{16{x^3}}}{{16x - 64}}} \\AE\,\min  \Leftrightarrow {y^2}\min \\{y^2} = f\left( x \right) = \dfrac{{16{x^3}}}{{16x - 64}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{48{x^2}\left( {16x - 64} \right) - 16.16{x^3}}}{{{{\left( {16x - 64} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow x = 6\end{array}\)

BBT:

\({y_{\min }} = \sqrt {f{{\left( x \right)}_{\min }}}  = \sqrt {108}  = 6\sqrt 3 \)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá \(2\,000\,000\,\) đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm \(50\,000\) đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Công ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong 1 tháng là bao nhiêu?

  • A \(115{\rm{ }}250{\rm{ }}000\).
  • B \(101{\rm{ }}250{\rm{ }}000\).
  • C \(100{\rm{ }}000{\rm{ }}000\).           
  • D \(100{\rm{ }}250{\rm{ }}000\).

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Giá cho thuê sau \(x\) lần tăng \(50000\) là \(200 + x.50\)(nghìn)

\( \Rightarrow \) Khi ấy số căn hộ cho thuê là: \(50 - x\)(căn)

\( \Rightarrow \) Doanh thu: \(\left( {2000 + 50x} \right)\left( {50 - x} \right) = D\)

\(\begin{array}{l}D = 100000 + 2500x - 2000x - 50{x^2} =  - 50{x^2} + 500x + 100000\\D' =  - 100x + 500 = 0 \Leftrightarrow x = 5\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Công ty đạt thu nhập cao nhất khi tăng \(50.5 = 250\) (nghìn)

\( \Rightarrow \) Thu nhập cao nhất 1 tháng của công ty là:

\(\left( {2000 + 50.5} \right)\left( {50 - 5} \right) = 101.250\) (nghìn)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá \(30.000\) đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình \(3000\) chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá \(30.000\) đồng mà cứ tăng giá thêm \(1000\) đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn \(100\) chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là \(18.000\). Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất.

  • A \(39.000\) đồng.
  • B \(42.000\) đồng
  • C \(43.000\) đồng.
  • D \(40.000\) đồng.

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Giá khăn sau \(x\) lần tăng \(1000:30 + x\)(nghìn)

\( \Rightarrow \) Mỗi tháng bán: \(3000 - 100x\)(chiếc)

\( \Rightarrow \) Lợi nhuận

\(\left( {30 + x} \right)\left( {3000 - 100x} \right) - 18\left( {3000 - 100x} \right) = L\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow L = \left( {3000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right) = 36000 - 1200x + 3000x - 100{x^2} =  - 100{x^2} + 1.800x + 36000\\L' =  - 200x + 1800 = 0 \Leftrightarrow x = 9\end{array}\)

\( \Rightarrow \) lợi nhuận lớn nhất khi tăng giá 9 lần \( \Rightarrow \) Giá mới: \(39.000\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S =  - \dfrac{1}{3}{t^3} + 4{t^2} + 9t\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và \(S\)(mét) là quãng đường vật chuyển động trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của chất điểm là bao nhiêu?

  • A \(88\,\,\,\left( {m/s} \right)\).
  • B \(25\,\,\,\left( {m/s} \right)\).
  • C \(11\,\,\,\left( {m/s} \right)\).
  • D \(100\,\,\,\left( {m/s} \right)\).

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Ta có \(v = s' =  - {t^2} + 8t + 9 = f\left( t \right)\).

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số là parabol mà có \(a =  - 1 < 0\).

\( \Rightarrow \) Hàm số đạt GTLN tại \(t =  - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{{ - 8}}{{2\left( { - 1} \right)}} = 4\).

\( \Rightarrow f{\left( t \right)_{\max }} = {v_{\max }} =  - {4^2} + 8.4 + 9 = 25\).

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.