Số nghiệm của phương trình: ${\sin ^{2015}}x - {\cos ^{2016}}x = 2\left( {{{\sin }^{2017}}x - {{\cos }^{2018}}x} \right) + \cos 2x$ trên $\left[ { - 10;30} \right]$ là:
-
A.
$46$.
-
B.
$51$.
-
C.
$50$.
-
D.
$44$.
- Chuyển vế, biến đổi phương trình về dạng tích.
- Giải phương trình bằng phương pháp đánh giá, sử dụng chú ý \( - 1 \le \sin x \le 1, - 1 \le \cos x \le 1\)
Ta có: ${\sin ^{2015}}x - {\cos ^{2016}}x = 2\left( {{{\sin }^{2017}}x - {{\cos }^{2018}}x} \right) + \cos 2x$
$ \Leftrightarrow {\sin ^{2015}}x\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + {\cos ^{2016}}x\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) = \cos 2x$
$ \Leftrightarrow {\sin ^{2015}}x.\cos 2x + {\cos ^{2016}}x.\cos 2x = \cos 2x$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\{\sin ^{2015}}x + {\cos ^{2016}}x = 1\end{array} \right.$.
Với $\cos 2x = 0$$ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$
Vì $x \in \left[ { - 10;30} \right]$$ \Rightarrow - 10 \le \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2} \le 30$$ \Leftrightarrow - \dfrac{{20}}{\pi } - \dfrac{1}{2} \le k \le \dfrac{{60}}{\pi } - \dfrac{1}{2}$$ \Rightarrow - 6 \le k \le 18$.
Với ${\sin ^{2015}}x + {\cos ^{2016}}x = 1$. Ta có ${\sin ^{2015}}x \le {\sin ^2}x;{\cos ^{2016}}x \le {\cos ^2}x$.
Do đó $1 = {\sin ^{2015}}x + {\cos ^{2016}}x \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ suy ra $\left[ \begin{array}{l}\sin x = 0,\cos x = \pm 1\\\sin x = 1,\cos x = 0\end{array} \right.$.
Nếu $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
Vì $x \in \left[ { - 10;30} \right]$$ \Rightarrow - 10 \le k\pi \le 30$$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 10}}{\pi } \le k \le \dfrac{{30}}{\pi }$ $ \Rightarrow - 3 \le k \le 9$.
Nếu $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
Vì $x \in \left[ { - 10;30} \right]$$ \Rightarrow - 10 \le \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \le 30$$ \Leftrightarrow - \dfrac{5}{\pi } - \dfrac{1}{4} \le k \le \dfrac{{15}}{\pi } - \dfrac{1}{4}$$ \Rightarrow - 1 \le k \le 4$.
Ngoài ra điểm diểu diễn các nghiệm của mỗi họ nghiệm $x=\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}; x = k\pi ; x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi$ đều phân biệt nên các nghiệm thỏa bài toán là khác nhau.
Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là: $13 + 6 + 25 = 44$.
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Phương trình \(\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi
Gọi \(S\) là tổng tất cả các nghiệm thuộc \(\left[ {0;20\pi } \right]\) của phương trình\(2{\cos ^2}x - \sin x - 1 = 0\). Khi đó, giá trị của \(S\) bằng :
Gọi \(S\) là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;100\pi } \right)\) của phương trình \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\). Tổng các phần tử của \(S\) là
Tổng các nghiệm của phương trình \(2\cos 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 1\) trên đoạn \(\left[ { - 4\pi ;6\pi } \right]\) là:
Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2017} \right]$ của phương trình \(\dfrac{{\sqrt {1 + \cos x} + \sqrt {1 - \cos x} }}{{\sin x}} = 4\cos x\) là
Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x$ trên \(\mathbb{R}\). Khi đó:
Tìm \(m\) để phương trình \(2{\sin ^2}x - \left( {2m + 1} \right)\sin x + 2m - 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\).
Số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\) có nghiệm là:
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sin 2x + \sqrt[{}]{2}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = m\) có đúng một nghiệm thực thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\)?
Cho phương trình \(\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có đúng \(3\) nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\).
Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình \(\sin \left( {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right) = 0\)?
Gọi \(M,m\) lần lượt GTLN, GTNN của hàm số \(y = 2{\sin ^3}x + {\cos ^3}x\). Giá trị biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\) là:
