Gọi \(S\) là tổng tất cả các nghiệm thuộc \(\left[ {0;20\pi } \right]\) của phương trình\(2{\cos ^2}x - \sin x - 1 = 0\). Khi đó, giá trị của \(S\) bằng :

- Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai đối với \(\sin x\), giải phương trình tìm nghiệm.

- Tìm tất cả các nghiệm của phương trình trong đoạn \(\left[ {0;20\pi } \right]\) và tính tổng.

Các em có thể biến đổi như sau:

$\begin{array}{l}
2{\cos ^2}x - \sin x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) - \sin x = 0\\
\Leftrightarrow \cos 2x = \sin x\\
\Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\
2x = - \frac{\pi }{2} + x + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$

$ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}$

(Do họ nghiệm $x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi $ nằm trong họ nghiệm $x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}$, kiểm tra được bằng đường tròn lượng giác)

$\begin{array}{l}
x \in \left[ {0;20\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} \le 20\pi \\
\Leftrightarrow - \frac{\pi }{6} \le \frac{{k2\pi }}{3} \le \frac{{119\pi }}{6}\\
\Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} \le k2\pi \le \frac{{119\pi }}{2}\\
\Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{119}}{4}\\
\Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;...;29} \right\}\\
\Rightarrow S = \frac{\pi }{6} + 0.\frac{{2\pi }}{3} + \frac{\pi }{6} + 1.\frac{{2\pi }}{3} + ... + \frac{\pi }{6} + 29.\frac{{2\pi }}{3}\\
= 30.\frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3}\left( {0 + 1 + ... + 29} \right)\\
= 5\pi + \frac{{2\pi }}{3}.15.29 = 295\pi
\end{array}$