Gọi \(S\) là tổng tất cả các nghiệm thuộc \(\left[ {0;20\pi } \right]\) của phương trình\(2{\cos ^2}x - \sin x - 1 = 0\). Khi đó, giá trị của \(S\) bằng :
-
A.
\(S = 570\pi \).
-
B.
\(S = 295\pi \).
-
C.
\(S = 590\pi \).
-
D.
\(S = \dfrac{{200}}{3}\pi \).
- Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai đối với \(\sin x\), giải phương trình tìm nghiệm.
- Tìm tất cả các nghiệm của phương trình trong đoạn \(\left[ {0;20\pi } \right]\) và tính tổng.
\(2{\cos ^2}x - \sin x - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow - 2{\sin ^2}x - \sin x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - 1\\\sin x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{2} + {k_1}2\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + {k_2}2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + {k_3}2\pi \end{array} \right.\)\(\left( {{k_1},{k_2},{k_3} \in \mathbb{Z}} \right)\)
Do \(x \in \left[ {0;20\pi } \right]\) nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 \le - \dfrac{\pi }{2} + {k_1}2\pi \le 20\pi \\0 \le \dfrac{\pi }{6} + {k_2}2\pi \le 20\pi \\0 \le \dfrac{{5\pi }}{6} + {k_3}2\pi \le 20\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{4} \le {k_1} \le \dfrac{{41}}{4}\\ - \dfrac{1}{{12}} \le {k_2} \le \dfrac{{119}}{{12}}\\ - \dfrac{5}{{12}} \le {k_3} \le \dfrac{{115}}{{12}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{k_1} \in \left\{ {1;2;3;...;10} \right\}\\{k_2} \in \left\{ {0;1;2;...;9} \right\}\\{k_3} \in \left\{ {0;1;2;...;9} \right\}\end{array} \right.\)
Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn \(\left[ {0;20\pi } \right]\) là:
\(S = \sum\limits_{{k_1} = 1}^{10} {\left( { - \dfrac{\pi }{2} + {k_1}2\pi } \right) + } \)\(\sum\limits_{{k_2} = 0}^9 {\left( {\dfrac{\pi }{6} + {k_2}2\pi } \right)} \)\( + \sum\limits_{{k_2} = 0}^9 {\left( {\dfrac{{5\pi }}{6} + {k_3}2\pi } \right)} \)\( = 295\pi \) .
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Phương trình \(\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi
Gọi \(S\) là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;100\pi } \right)\) của phương trình \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\). Tổng các phần tử của \(S\) là
Tổng các nghiệm của phương trình \(2\cos 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 1\) trên đoạn \(\left[ { - 4\pi ;6\pi } \right]\) là:
Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2017} \right]$ của phương trình \(\dfrac{{\sqrt {1 + \cos x} + \sqrt {1 - \cos x} }}{{\sin x}} = 4\cos x\) là
Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x$ trên \(\mathbb{R}\). Khi đó:
Tìm \(m\) để phương trình \(2{\sin ^2}x - \left( {2m + 1} \right)\sin x + 2m - 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\).
Số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\) có nghiệm là:
Số nghiệm của phương trình: ${\sin ^{2015}}x - {\cos ^{2016}}x = 2\left( {{{\sin }^{2017}}x - {{\cos }^{2018}}x} \right) + \cos 2x$ trên $\left[ { - 10;30} \right]$ là:
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sin 2x + \sqrt[{}]{2}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = m\) có đúng một nghiệm thực thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\)?
Cho phương trình \(\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có đúng \(3\) nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\).
Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình \(\sin \left( {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right) = 0\)?
Gọi \(M,m\) lần lượt GTLN, GTNN của hàm số \(y = 2{\sin ^3}x + {\cos ^3}x\). Giá trị biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\) là:
