Tổng các nghiệm của phương trình \(2\cos 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 1\) trên đoạn \(\left[ { - 4\pi ;6\pi } \right]\) là:
-
A.
\(61\pi \).
-
B.
\(72\pi \).
-
C.
\(50\pi \).
-
D.
\(56\pi \).
- Nhân cả hai vế với \(\sin x \ne 0\) và giải phương trình đã cho bằng cách áp dụng các công thức biến đổi lượng giác.
- Tìm các nghiệm của phương trình trong đoạn \(\left[ { - 4\pi ;6\pi } \right]\) rồi tính tổng.
Xét \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = m\pi \): Thay vào phương trình thấy không thỏa mãn
Xét \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne m\pi \)
\(2\cos 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow 2\left[ {\cos 5x + \cos x} \right] + 2\cos 3x = 1\)
\( \Leftrightarrow 2\sin x\cos 5x + 2\sin x\cos 3x + 2\sin x\cos x = \sin x\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin 6x - \sin 4x} \right) + \left( {\sin 4x - \sin 2x} \right) + \sin 2x = \sin x\)
\( \Leftrightarrow \sin 6x = \sin x\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\\x = \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{l2\pi }}{7}\end{array} \right.\\x \ne m\pi \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\).
Biểu diễn các điểm của hai họ nghiệm \(x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\) và \(x = \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{l2\pi }}{7}\) trên đường tròn đơn vị ta thấy các điểm đều không trùng nhau. Do đó:
+) Với \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\\x \ne m\pi \\x \in \left[ { - 4\pi ;6\pi } \right]\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \left\{ { - 10; - 9; - 8;...14;15} \right\}\\k \notin \left\{ { - 10; - 5;0;5,10,15} \right\}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \)các giá trị \(x\) cần loại bỏ là \( - 4\pi ,\)\( - 2\pi ,\)\(0,\)\(2\pi ,\)\(4\pi ,\)\(6\pi \). Tổng các giá trị này là $6\pi $
Với \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{l2\pi }}{7}\\x \ne m\pi \\x \in \left[ { - 4\pi ;6\pi } \right]\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}l \in \left\{ { - 14; - 13; - 12;...19;20} \right\}\\l \notin \left\{ { - 4; - 11;3;10;17} \right\}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \)các giá trị \(x\) cần loại bỏ là \( - \pi ,\)\( - 3\pi ,\)\(\pi ,\)\(3\pi ,\)\(5\pi \). Tổng các giá trị này là $5\pi $
Vậy tổng nghiệm $S = \left[ {\sum\limits_{k = - 10}^{15} {\left( {\dfrac{{k2\pi }}{5}} \right)} - \left( {6\pi } \right)} \right] + \left[ {\sum\limits_{l = - 14}^{20} {\left( {\dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{l2\pi }}{7}} \right)} - 5\pi } \right] = 50\pi $.
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Phương trình \(\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi
Gọi \(S\) là tổng tất cả các nghiệm thuộc \(\left[ {0;20\pi } \right]\) của phương trình\(2{\cos ^2}x - \sin x - 1 = 0\). Khi đó, giá trị của \(S\) bằng :
Gọi \(S\) là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;100\pi } \right)\) của phương trình \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\). Tổng các phần tử của \(S\) là
Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2017} \right]$ của phương trình \(\dfrac{{\sqrt {1 + \cos x} + \sqrt {1 - \cos x} }}{{\sin x}} = 4\cos x\) là
Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x$ trên \(\mathbb{R}\). Khi đó:
Tìm \(m\) để phương trình \(2{\sin ^2}x - \left( {2m + 1} \right)\sin x + 2m - 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\).
Số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\) có nghiệm là:
Số nghiệm của phương trình: ${\sin ^{2015}}x - {\cos ^{2016}}x = 2\left( {{{\sin }^{2017}}x - {{\cos }^{2018}}x} \right) + \cos 2x$ trên $\left[ { - 10;30} \right]$ là:
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sin 2x + \sqrt[{}]{2}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = m\) có đúng một nghiệm thực thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\)?
Cho phương trình \(\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có đúng \(3\) nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\).
Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình \(\sin \left( {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right) = 0\)?
Gọi \(M,m\) lần lượt GTLN, GTNN của hàm số \(y = 2{\sin ^3}x + {\cos ^3}x\). Giá trị biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\) là:
