Phương trình \(\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi
-
A.
\(\sqrt 2 \le m \le 2\).
-
B.
\(1 \le m \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 } \)
-
C.
\(1 \le m \le 2\).
-
D.
\(0 \le m \le 1\).
- Tìm tập giá trị \(D\) của hàm số \(y = \sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} \) bằng phương pháp bình phương rồi đặt \(t = \sin x + \cos x\)
- Điều kiện để phương trình có nghiệm là \(m \in D\)
TXĐ: \(\mathbb{R}\).
Đặt \(P = \sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} \), $P \ge 0$. Suy ra
\({P^2} = 2 + \sin x + \cos x + 2\sqrt {1 + \sin x + \cos x + \sin x\cos x} \).
Đặt \(t = \sin x + \cos x\)\( = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\)\( \Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 \,;\,\sqrt 2 } \right]\).
Khi đó \({t^2} = 1 + 2\sin x\cos x\)\( \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).
Do đó \({P^2} = 2 + t + 2\sqrt {1 + t + \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}} \)\( = 2 + t + \sqrt 2 \left| {t + 1} \right|\).
TH1: \( - \sqrt 2 \le t < - 1\) thì:
\(\begin{array}{l}t + 1 < 0 \Rightarrow \left| {t + 1} \right| = - t - 1\\ \Rightarrow {P^2} = 2 + t + \sqrt 2 \left( { - t - 1} \right)\\ = 2 + t - \sqrt 2 t - \sqrt 2 \\ = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t + 2 - \sqrt 2 \end{array}\)
Mà \( - \sqrt 2 \le t < - 1\) nên:
\(\begin{array}{l} - \sqrt 2 \left( {1 - \sqrt 2 } \right) \ge \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t > \left( {1 - \sqrt 2 } \right).\left( { - 1} \right)\\ \Rightarrow - \sqrt 2 + 2 \ge \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t > - 1 + \sqrt 2 \\ \Rightarrow - \sqrt 2 + 2 + 2 - \sqrt 2 \ge \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t + 2 - \sqrt 2 > - 1 + \sqrt 2 + 2 - \sqrt 2 \\ \Rightarrow 4 - 2\sqrt 2 \ge {P^2} > 1\\ \Rightarrow 1 < {P^2} \le 4 - 2\sqrt 2 \end{array}\)
TH2: \( - 1 \le t \le \sqrt 2 \) thì:
\(\begin{array}{l}t + 1 \ge 0 \Rightarrow \left| {t + 1} \right| = t + 1\\ \Rightarrow {P^2} = 2 + t + \sqrt 2 \left( {t + 1} \right)\\ = 2 + t + \sqrt 2 t + \sqrt 2 \\ = \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + 2 + \sqrt 2 \end{array}\)
Mà \( - 1 \le t \le \sqrt 2 \) nên:
\(\begin{array}{l} - 1\left( {1 + \sqrt 2 } \right) \le \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t \le \sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\\ \Rightarrow - 1 - \sqrt 2 \le \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t \le \sqrt 2 + 2\\ \Rightarrow - 1 - \sqrt 2 + 2 + \sqrt 2 \le \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + 2 + \sqrt 2 \le \sqrt 2 + 2 + 2 + \sqrt 2 \\ \Rightarrow 1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2 \end{array}\)
Từ 2 TH trên ta được \(1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2 \).
Mà \(P \ge 0\) nên \(1 \le P \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 } \).
Phương trình có nghiệm khi \(1 \le m \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 } \).
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Gọi \(S\) là tổng tất cả các nghiệm thuộc \(\left[ {0;20\pi } \right]\) của phương trình\(2{\cos ^2}x - \sin x - 1 = 0\). Khi đó, giá trị của \(S\) bằng :
Gọi \(S\) là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;100\pi } \right)\) của phương trình \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\). Tổng các phần tử của \(S\) là
Tổng các nghiệm của phương trình \(2\cos 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 1\) trên đoạn \(\left[ { - 4\pi ;6\pi } \right]\) là:
Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2017} \right]$ của phương trình \(\dfrac{{\sqrt {1 + \cos x} + \sqrt {1 - \cos x} }}{{\sin x}} = 4\cos x\) là
Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x$ trên \(\mathbb{R}\). Khi đó:
Tìm \(m\) để phương trình \(2{\sin ^2}x - \left( {2m + 1} \right)\sin x + 2m - 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\).
Số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\) có nghiệm là:
Số nghiệm của phương trình: ${\sin ^{2015}}x - {\cos ^{2016}}x = 2\left( {{{\sin }^{2017}}x - {{\cos }^{2018}}x} \right) + \cos 2x$ trên $\left[ { - 10;30} \right]$ là:
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sin 2x + \sqrt[{}]{2}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = m\) có đúng một nghiệm thực thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\)?
Cho phương trình \(\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có đúng \(3\) nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\).
Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình \(\sin \left( {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right) = 0\)?
Gọi \(M,m\) lần lượt GTLN, GTNN của hàm số \(y = 2{\sin ^3}x + {\cos ^3}x\). Giá trị biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\) là:
