Cho phương trình \(\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có đúng \(3\) nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\).
-
A.
\(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}} \right]\).
-
B.
\(m \in \left( { - \infty \,;\, - 1} \right] \cup \left[ {1\,;\, + \infty } \right)\).
-
C.
\(m \in \left( { - 1\,;\,1} \right)\).
-
D.
\(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2}\,;\,1} \right)\).
- Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích.
- Biện luận số nghiệm của phương trình và kết luận (sử dụng đường tròn đơn vị)
Ta có: \(\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) - m\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left[ {\cos 4x - m\cos x - m\left( {1 - \cos x} \right)} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos 4x = m\end{array} \right.\).
Xét phương trình \(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Phương trình \(\cos x = - 1\) không có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\).
Xét $\cos 4x = m$. Ta có \(x \in \left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right] \Leftrightarrow 4x \in \left[ {0;\,\dfrac{{8\pi }}{3}} \right]\).
Quan sát hình vẽ ta thấy,
Với \(4x \in \left[ {0\,;\,2\pi } \right]\backslash \left\{ \pi \right\}\) và $m \in \left( { - 1\,;\,1} \right]$ phương trình $\cos 4x = m$ có $2$ nghiệm.
Với \(4x \in \left( {2\pi \,;\,\dfrac{{8\pi }}{3}} \right]\) và $m \in \left[ { - \dfrac{1}{2}\,;\,1} \right)$ phương trình $\cos 4x = m$ có $1$ nghiệm.
Vậy phương trình có $3$ nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\) khi $m \in \left[ { - \dfrac{1}{2}\,;\,1} \right)$.
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Phương trình \(\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi
Gọi \(S\) là tổng tất cả các nghiệm thuộc \(\left[ {0;20\pi } \right]\) của phương trình\(2{\cos ^2}x - \sin x - 1 = 0\). Khi đó, giá trị của \(S\) bằng :
Gọi \(S\) là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;100\pi } \right)\) của phương trình \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\). Tổng các phần tử của \(S\) là
Tổng các nghiệm của phương trình \(2\cos 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 1\) trên đoạn \(\left[ { - 4\pi ;6\pi } \right]\) là:
Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2017} \right]$ của phương trình \(\dfrac{{\sqrt {1 + \cos x} + \sqrt {1 - \cos x} }}{{\sin x}} = 4\cos x\) là
Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x$ trên \(\mathbb{R}\). Khi đó:
Tìm \(m\) để phương trình \(2{\sin ^2}x - \left( {2m + 1} \right)\sin x + 2m - 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\).
Số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\) có nghiệm là:
Số nghiệm của phương trình: ${\sin ^{2015}}x - {\cos ^{2016}}x = 2\left( {{{\sin }^{2017}}x - {{\cos }^{2018}}x} \right) + \cos 2x$ trên $\left[ { - 10;30} \right]$ là:
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sin 2x + \sqrt[{}]{2}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = m\) có đúng một nghiệm thực thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\)?
Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình \(\sin \left( {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right) = 0\)?
Gọi \(M,m\) lần lượt GTLN, GTNN của hàm số \(y = 2{\sin ^3}x + {\cos ^3}x\). Giá trị biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\) là:
