Tìm \(m\) để phương trình \(2{\sin ^2}x - \left( {2m + 1} \right)\sin x + 2m - 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\).
-
A.
\( - 1 < m < 0\).
-
B.
\(0 < m < 1\).
-
C.
\(1 < m < 2\).
-
D.
\( - \dfrac{1}{2} < m < \dfrac{1}{2}\).
- Đặt \(t = \sin x\), tìm điều kiện của \(t\) rồi đưa phương trình về bậc hai ẩn \(t\)
- Tìm điều kiện để phương trình ẩn \(t\) có nghiệm thỏa mãn điều kiện của \(t\) vừa tìm được.
Đặt \(t = \sin x\), \(t \in \left( { - 1;0} \right)\), phương trình trở thành: \(2{t^2} - (2m + 1)t + 2m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\)
Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm \(m\) để phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm \(t \in \left( { - 1;0} \right)\)
Có \(a + b + c = 2 - \left( {2m + 1} \right) + 2m - 1 = 0\) nên \(\left( * \right)\) luôn có hai nghiệm \({t_1} = \dfrac{{2m - 1}}{2},{t_2} = 1\)
Bài toán thỏa \( \Leftrightarrow - 1 < \dfrac{{2m - 1}}{2} < 0\) \( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < m < \dfrac{1}{2}\)
Đáp án : D
HS lớp 12 có thể làm theo cách dưới đây:
\(2{t^2} - (2m + 1)t + 2m - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow 2{t^2} - t - 1 + m\left( { - 2t + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow m = \dfrac{{2{t^2} - t - 1}}{{2t - 2}}\)\( = \dfrac{{2t + 1}}{2}\)
Đặt \(f\left( t \right) = \dfrac{{2t + 1}}{2}\), \(t \in \left( { - 1;0} \right)\), \(f\left( t \right)\) là hàm đồng biến nên \(f\left( { - 1} \right) < m < f\left( 0 \right)\)\( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < m < \dfrac{1}{2}\).
Danh sách bình luận