Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x$ trên \(\mathbb{R}\). Khi đó:
-
A.
\(M = 2\),\(m = \dfrac{1}{{{2^{1008}}}}\).
-
B.
\(M = 1\), \(m = \dfrac{1}{{{2^{1009}}}}\).
-
C.
\(M = 1\), \(m = 0\).
-
D.
\(M = 1\), \(m = \dfrac{1}{{{2^{1008}}}}\).
Sử dụng các đánh giá \(0 \le {\sin ^2}x \le 1;\) \(0 \le {\cos ^2}x \le 1\) và bất đẳng thức \(\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n},\left( {a,b > 0} \right)\) để tìm GTLN, GTNN của hàm số.
Ta có: \(0 \le {\sin ^2}x \le 1;\) \(0 \le {\cos ^2}x \le 1\) nên \(0 \le {\sin ^{2018}}x \le {\sin ^2}x;\) \(0 \le {\cos ^{2018}}x \le {\cos ^2}x\)
Do đó: \({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) hay \(y \le 1\)
Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(\sin x = 0\) hoặc \(\cos x = 0\)
Lại có, áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n},\left( {a,b > 0} \right)\) ta có:
\({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x\) \( = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^{1009}} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^{1009}}\) \( \ge 2.{\left( {\dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{2}} \right)^{1009}} = \dfrac{1}{{{2^{1008}}}}\)
Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \({\sin ^2}x = {\cos ^2}x = \dfrac{1}{2}\)
Vậy \(m = \dfrac{1}{{{2^{1008}}}},M = 1\)
Đáp án : D
Đối với hs lớp 12 có thể dùng công cụ hàm số để xét hàm, một cách làm đơn giản như sau:
Ta có: \(y = {\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x\) \( = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^{1009}} + {\left( {1 - si{n^2}x} \right)^{1009}}\).
Đặt \(t = {\sin ^2}x\), \(0 \le t \le 1\) thì hàm số đã cho trở thành \(y = {t^{1009}} + {\left( {1 - t} \right)^{1009}}\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^{1009}} + {\left( {1 - t} \right)^{1009}}\) trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\).
Ta có: \(f'\left( t \right) = 1009.{t^{1008}} - 1009.{\left( {1 - t} \right)^{1008}}\)
\(f'\left( t \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 1009{t^{1008}} - 1009{\left( {1 - t} \right)^{1008}} = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{1 - t}}{t}} \right)^{1008}} = 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{1 - t}}{t} = 1\) \( \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\)
Mà \(f\left( 1 \right) = f\left( 0 \right) = 1\), \(f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{{{2^{1008}}}}\).
Suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 1$, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,1} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{{{2^{1008}}}}\)
Vậy \(M = 1\), \(m = \dfrac{1}{{{2^{1008}}}}\).
Danh sách bình luận