Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2017} \right]$ của phương trình \(\dfrac{{\sqrt {1 + \cos x} + \sqrt {1 - \cos x} }}{{\sin x}} = 4\cos x\) là
-
A.
\(1283.\)
-
B.
\(1285.\)
-
C.
\(1284.\)
-
D.
\(1287.\)
- Bình phương hai vế, giải phương trình tìm các họ nghiệm chú ý điều kiện.
- Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn \(\left[ {0;2017} \right]\) và kết luận.
Điều kiện \(\sin x\not = 0\)
$\dfrac{{\sqrt {1 + \cos x} + \sqrt {1 - \cos x} }}{{\sin x}} = 4\cos x \Leftrightarrow \sqrt {1 + \cos x} + \sqrt {1 - \cos x} = 4\sin x\cos x$
$ \Leftrightarrow 2 + 2\sqrt {\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)} = 16{\sin ^2}x{\cos ^2}x \Leftrightarrow 1 + \left| {\sin x} \right| = 8{\sin ^2}x\left( {1 - si{n^2}x} \right)\quad \left( 1 \right)$ (với \(\sin x.\cos x \ge 0\))
TH1: \(\sin x \ge 0\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {1 + \sin x} \right)\left( {8{{\sin }^3}x - 8{{\sin }^2}x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - 1\\\sin x = \dfrac{1}{2}\\\sin x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\sin x \ge 0} \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{1}{2}\\\sin x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\)
*\(\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)vì \(\sin x.\cos x \ge 0\)nên \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \).
*\(\sin x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \\x = \pi - \arcsin \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\) vì \(\sin x.\cos x \ge 0\)nên \(x = \arcsin \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \).
TH2: \(\sin x < 0\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right)\left( { - 8{{\sin }^3}x - 8{{\sin }^2}x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\sin x = - \dfrac{1}{2}\\\sin x = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\sin x < 0} \left[ \begin{array}{l}\sin x = - \dfrac{1}{2}\\\sin x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\)
*\(\sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)vì \(\sin x.\cos x \ge 0\)nên \(x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \).
*\(\sin x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \\x = \pi - \arcsin \left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)
vì \(\sin x.\cos x \ge 0\)nên \(x = \pi - \arcsin \left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \).
Xét nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2017} \right]$:
*Với \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320\) có $321$ nghiệm.
*Với \(x = \arcsin \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi = \dfrac{{3\pi }}{{10}} + k2\pi \Rightarrow 0 \le \dfrac{{3\pi }}{{10}} + k2\pi \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320\) có $321$ nghiệm.
*Với \(x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \Rightarrow 0 \le \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320\) có $321$ nghiệm.
*Với \(x = \pi - \arcsin \left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi = \dfrac{{13\pi }}{{10}} + k2\pi \Rightarrow 0 \le \dfrac{{13\pi }}{{10}} + k2\pi \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320\) có $321$ nghiệm.
*Vậy có tổng cộng \(321.4 = 1284\) nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Phương trình \(\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi
Gọi \(S\) là tổng tất cả các nghiệm thuộc \(\left[ {0;20\pi } \right]\) của phương trình\(2{\cos ^2}x - \sin x - 1 = 0\). Khi đó, giá trị của \(S\) bằng :
Gọi \(S\) là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;100\pi } \right)\) của phương trình \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\). Tổng các phần tử của \(S\) là
Tổng các nghiệm của phương trình \(2\cos 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 1\) trên đoạn \(\left[ { - 4\pi ;6\pi } \right]\) là:
Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x$ trên \(\mathbb{R}\). Khi đó:
Tìm \(m\) để phương trình \(2{\sin ^2}x - \left( {2m + 1} \right)\sin x + 2m - 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\).
Số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\) có nghiệm là:
Số nghiệm của phương trình: ${\sin ^{2015}}x - {\cos ^{2016}}x = 2\left( {{{\sin }^{2017}}x - {{\cos }^{2018}}x} \right) + \cos 2x$ trên $\left[ { - 10;30} \right]$ là:
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sin 2x + \sqrt[{}]{2}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = m\) có đúng một nghiệm thực thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\)?
Cho phương trình \(\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có đúng \(3\) nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\).
Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình \(\sin \left( {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right) = 0\)?
Gọi \(M,m\) lần lượt GTLN, GTNN của hàm số \(y = 2{\sin ^3}x + {\cos ^3}x\). Giá trị biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\) là:
