Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2017} \right]$ của phương trình \(\dfrac{{\sqrt {1 + \cos x}  + \sqrt {1 - \cos x} }}{{\sin x}} = 4\cos x\) là

Điều kiện \(\sin x\not  = 0\)

$\dfrac{{\sqrt {1 + \cos x}  + \sqrt {1 - \cos x} }}{{\sin x}} = 4\cos x \Leftrightarrow \sqrt {1 + \cos x}  + \sqrt {1 - \cos x}  = 4\sin x\cos x$

$ \Leftrightarrow 2 + 2\sqrt {\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)}  = 16{\sin ^2}x{\cos ^2}x \Leftrightarrow 1 + \left| {\sin x} \right| = 8{\sin ^2}x\left( {1 - si{n^2}x} \right)\quad \left( 1 \right)$ (với \(\sin x.\cos x \ge 0\))

TH1: \(\sin x \ge 0\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {1 + \sin x} \right)\left( {8{{\sin }^3}x - 8{{\sin }^2}x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =  - 1\\\sin x = \dfrac{1}{2}\\\sin x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\sin x \ge 0} \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{1}{2}\\\sin x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\)

*\(\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)vì \(\sin x.\cos x \ge 0\)nên \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \).

*\(\sin x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \\x = \pi  - \arcsin \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\) vì \(\sin x.\cos x \ge 0\)nên \(x = \arcsin \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \).

TH2: \(\sin x < 0\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right)\left( { - 8{{\sin }^3}x - 8{{\sin }^2}x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\sin x =  - \dfrac{1}{2}\\\sin x = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\sin x < 0} \left[ \begin{array}{l}\sin x =  - \dfrac{1}{2}\\\sin x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\)

*\(\sin x =  - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)vì \(\sin x.\cos x \ge 0\)nên \(x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \).

*\(\sin x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \\x = \pi  - \arcsin \left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)

vì \(\sin x.\cos x \ge 0\)nên \(x = \pi  - \arcsin \left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \).

Xét nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2017} \right]$:

*Với \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi  \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{6} + k2\pi  \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320\) có $321$ nghiệm.

*Với \(x = \arcsin \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi  = \dfrac{{3\pi }}{{10}} + k2\pi  \Rightarrow 0 \le \dfrac{{3\pi }}{{10}} + k2\pi  \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320\) có $321$ nghiệm.

*Với \(x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi  \Rightarrow 0 \le \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi  \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320\) có $321$ nghiệm.

*Với \(x = \pi  - \arcsin \left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi  = \dfrac{{13\pi }}{{10}} + k2\pi  \Rightarrow 0 \le \dfrac{{13\pi }}{{10}} + k2\pi  \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320\) có $321$ nghiệm.

*Vậy có tổng cộng \(321.4 = 1284\) nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.