Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình \(\sin \left( {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right) = 0\)?
-
A.
Số nghiệm của phương trình là \(8\).
-
B.
Tổng các nghiệm của phương trình là \(8\).
-
C.
Tổng các nghiệm của phương trình là \(48\).
-
D.
Phương trình có vô số nghiệm thuộc \(\mathbb{R}\).
- Biến đổi phương trình về dạng $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$
- Đánh giá giá trị của hai hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{x^2} + 6}}\) và \(g\left( x \right) = \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}\) trên \(\mathbb{R}\) rồi suy ra nghiệm của phương trình đã cho.
Phương trình đã cho tương đương với \(\sin \left( {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) = \sin \left( {\dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right)\quad \left( * \right)\).
Ta biết rằng hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\). Ta chỉ ra rằng các hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{x^2} + 6}}\) và \(g\left( x \right) = \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}\) nhận giá trị trong khoảng này.
Thật vậy, ta có \(\left| {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right| \le \left| {\dfrac{x}{{2\sqrt {6{x^2}} }}} \right| = \dfrac{1}{{2\sqrt 6 }}\)
và \(0 < \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}} = \dfrac{{80}}{{{{\left( {x + 16} \right)}^2} + 76}} \le \dfrac{{80}}{{76}} < \dfrac{\pi }{2}\)
Từ các đánh giá trên, \(\left( * \right)\) xảy ra khi và chỉ khi
\(\dfrac{x}{{{x^2} + 6}} = \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}\) \( \Leftrightarrow {x^3} - 48{x^2} + 332x - 480 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\\x = 40\end{array} \right.\).
Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là \(2 + 6 + 40 = 48\).
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Phương trình \(\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi
Gọi \(S\) là tổng tất cả các nghiệm thuộc \(\left[ {0;20\pi } \right]\) của phương trình\(2{\cos ^2}x - \sin x - 1 = 0\). Khi đó, giá trị của \(S\) bằng :
Gọi \(S\) là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;100\pi } \right)\) của phương trình \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\). Tổng các phần tử của \(S\) là
Tổng các nghiệm của phương trình \(2\cos 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 1\) trên đoạn \(\left[ { - 4\pi ;6\pi } \right]\) là:
Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2017} \right]$ của phương trình \(\dfrac{{\sqrt {1 + \cos x} + \sqrt {1 - \cos x} }}{{\sin x}} = 4\cos x\) là
Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x$ trên \(\mathbb{R}\). Khi đó:
Tìm \(m\) để phương trình \(2{\sin ^2}x - \left( {2m + 1} \right)\sin x + 2m - 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\).
Số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\) có nghiệm là:
Số nghiệm của phương trình: ${\sin ^{2015}}x - {\cos ^{2016}}x = 2\left( {{{\sin }^{2017}}x - {{\cos }^{2018}}x} \right) + \cos 2x$ trên $\left[ { - 10;30} \right]$ là:
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sin 2x + \sqrt[{}]{2}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = m\) có đúng một nghiệm thực thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\)?
Cho phương trình \(\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có đúng \(3\) nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\).
Gọi \(M,m\) lần lượt GTLN, GTNN của hàm số \(y = 2{\sin ^3}x + {\cos ^3}x\). Giá trị biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\) là:
