Bài 9 trang 12 SGK Hình học 10

Bình chọn:
4.4 trên 31 phiếu

Giải bài 9 trang 12 SGK Hình học 10. Chứng minh rằng

Đề bài

Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\)  và \(BC\) trùng nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có:

\(+ )\;\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).

\( + )\;\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho  \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\) thì \(AD\) và \(BC\) có trung điểm trùng nhau. Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\) ta chứng minh \(I\) cũng là trung điểm của \(BC\).

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có 

     \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}\);

      \(\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)

Vì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) nên \(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}=  \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)

                           \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}\)

                           \(\Rightarrow\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}\)    (1)

Vì \(I\) là trung điểm của \(AD\) nên  \(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{0}\)                        (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ \(I\) là trung điểm của \(BC\).

b) \(AD\) và \(BC\)  có chung trung điểm \(I\), ta chứng minh \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\).

\(I\) là trung điểm của \(AD\) \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\)   \(\Rightarrow\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}\)

\(I\) là trung điểm của \(BC\)  \(\Rightarrow \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}= \overrightarrow{0}\)    \(\Rightarrow \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}\)

Suy ra  \(\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID}=  \overrightarrow{CI}- \overrightarrow{IB}\) 

     \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)    \(\Rightarrow \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\) (đpcm)

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ

>>Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu