Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 4 trang 12 SGK Hình học 10

Giải bài 4 trang 12 SGK Hình học 10 .Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\). Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành \(ABIJ, BCPQ, CARS\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}= \overrightarrow{0}.\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có:

\(+ )\;\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).

\( + )\;\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Lời giải chi tiết

Ta xét tổng:

\((\overrightarrow{RJ} +\overrightarrow{IQ} +\overrightarrow{PS})+ ( \overrightarrow{JI}+ \overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}) \)

\(=\overrightarrow{RJ} +\overrightarrow{IQ} +\overrightarrow{PS}+ \overrightarrow{SR} + \overrightarrow{JI}+ \overrightarrow{QP}\)

\(\begin{array}{l}
= \left( {\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {JI} } \right) + \left( {\overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {QP} } \right) + \left( {\overrightarrow {PS} + \overrightarrow {SR} } \right)\\
= \overrightarrow {RI} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PR} \\
= \overrightarrow {RP} + \overrightarrow {PR}
\end{array}\)

\(= \overrightarrow{RR}= \overrightarrow{0}\)(1)

Mặt khác, ta có \(ABIJ, BCPQ\) và \(CARS\) là các hình bình hành nên:

\(\overrightarrow{JI} = \overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{SR}= \overrightarrow{CA}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{JI}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}\)\(= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}= \overrightarrow{AA}= \overrightarrow{0}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

\(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}\)\(= \overrightarrow{0}.\) (đpcm)

Cách khác:

Ta có:

AJIB là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AJ} = \overrightarrow {BI} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AJ} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow 0 \)

Tương tự như vậy:

BCPQ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BQ} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \)

CARS là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CS} + \overrightarrow {RA} = \overrightarrow 0 \)

Do đó: