Bài 62 trang 83 SGK Toán 7 tập 2


Đề bài

Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta chứng mình tam giác cân bằng cách chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau.

Quảng cáo
decumar

Lời giải chi tiết

TH1: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) 

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AB \bot AC\) hay \(BA\) và \(CA\) chính là các đường cao xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn B và C. 

Theo đề bài ta có hai chiều cao này bằng nhau \(AB=AC\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)

TH2: Tam giác \(ABC\) không có góc vuông.

 

Xét tam giác \(ABC\) có \(BH ⊥ AC\) tại \(H\) và \(CK ⊥ AB\) tại \(K\), biết \(BH=CK.\)

Xét hai tam giác vuông \(KBC\) và \(HCB\) có:

+) \(BC\) cạnh chung

+) \(BH = CK\) (giả thiết)

Vậy \({\Delta}KBC = {\Delta}HCB\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \; \widehat{KBC}= \widehat{HCB}\) (Hai góc tương ứng).

\( \Rightarrow ∆ABC\) cân tại \(A\) (điều phải chứng minh).

*) Xét \(ΔABC\) có ba đường cao \(BH = CK = AI\)

Theo chứng minh trên ta có: 

+) Nếu \(BH = CK\) thì \(ΔABC\) cân tại \(A\) \( \Rightarrow  AB = AC\)   (1)

+) Nếu \(AI = BH\) thì \(ΔABC\) cân tại \(C\) \( \Rightarrow  CA = CB\)    (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(AB = BC = AC\).

Vậy \(ΔABC\) là tam giác đều (điều phải chứng minh).


Bình chọn:
4.3 trên 151 phiếu

>> Xem thêm

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.