Bài 5 trang 12 SGK Hình học 10
Cho tam giác ABC cạnh a
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\). Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{BC}.\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có:
\(+ )\;\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
\( + )\;\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).
Lời giải chi tiết
Ta có \(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}\) (quy tắc 3 điểm)
Suy ra \(\left | \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right | = \left | \overrightarrow{AC} \right |= a.\)
Ta có: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CB}.\)
Trên tia \(CB,\) lấy điểm \(E\) sao cho \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CB}.\)
\( \Rightarrow \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} \) \( = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BE}= \overrightarrow{AE}\)
Xét tam giác \(EAC\) ta có: đường trung tuyến \(AB\) bằng nửa cạnh \(CE\) nên là tam giác vuông tại \(A\)
Áp dụng định lý Pitago ta có:
\(A{E^2} + A{C^2} = C{E^2} \) \( \Leftrightarrow AE = \sqrt {C{E^2} - A{C^2}} \)
Mà \(AC = a, \, CE = 2a,\)
Suy ra \(AE= \sqrt {4{a^2} - {a^2}} \)\(= a\sqrt 3. \)
Vậy \(\left | \overrightarrow{AB } -\overrightarrow{BC}\right | = \left | \overrightarrow{AE} \right | = a\sqrt3.\)
Cách khác:
Dựng hình bình hành ABCD ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} \\ = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {DB} \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB\end{array}\)
+ Tính BD:
Hình bình hành ABCD có AB = BC = a nên ABCD là hình thoi.
⇒ AC ⊥ BD tại O là trung điểm của AC và BD.
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 6 trang 12 SGK Hình học 10
- Bài 7 trang 12 SGK Hình học 10
- Bài 8 trang 12 SGK Hình học 10
- Bài 9 trang 12 SGK Hình học 10
- Bài 10 trang 12 SGK Hình học 10
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
