Toán 11, giải toán lớp 11 chân trời sáng tạo Bài 3. Các công thức lượng giác Toán 11 Chân trời sáng ..

Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo


Tính các giá trị lượng giác của góc 2(alpha ), biết:

Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc 2\(\alpha \), biết:

a, \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{3},0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\)

b, \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{3}{4},\pi  < \alpha  < 2\pi \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức:

\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\(\begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\\\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\end{array}\)

Lời giải chi tiết

a, Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\ \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  =  \pm \frac{{\sqrt 6 }}{3}\end{array}\)

Vì  \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha .cos\alpha  = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\cos2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 2.{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} - 1 = \frac{1}{3}\\\tan 2\alpha  = \frac{{\sin 2\alpha }}{{cos2\alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{1}{3}}} = 2\sqrt 2 \\\cot 2\alpha  = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

b,

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\\ \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}}  =  \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}  =  \pm \frac{{\sqrt 7 }}{4}\end{array}\)

Vì \(\pi  < \alpha  < 2\pi  \Rightarrow \frac{\pi }{2} < \frac{\alpha }{2} < \pi  \Rightarrow cos\alpha  =  - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\sin \alpha  = 2\sin \frac{\alpha }{2}.cos\frac{\alpha }{2} = 2.\frac{3}{4}.\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right) =  - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\\cos\alpha  = 2{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} - 1 = 2.{\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right)^2} - 1 =  - \frac{1}{8}\\\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha .cos\alpha  = 2.\left( { - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}} \right).\left( { - \frac{1}{8}} \right) = \frac{{3\sqrt 7 }}{{32}}\\cos2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 2.{\left( { - \frac{1}{8}} \right)^2} - 1 =  - \frac{{31}}{{32}}\\\tan 2\alpha  = \frac{{\sin 2\alpha }}{{cos2\alpha }} = \frac{{\frac{{3\sqrt 7 }}{{32}}}}{{ - \frac{{31}}{{32}}}} =  - \frac{{3\sqrt 7 }}{{31}}\\\cot 2\alpha  = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{3\sqrt 7 }}{{31}}}} =  - \frac{{31\sqrt 7 }}{{21}}\end{array}\)


Bình chọn:
4.4 trên 11 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store