Bài 2.29 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức


Chứng minh rằng: a) Trong một cấp số cộng (left( {{u_n}} right)), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là ({u_k} = frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}) với (k ge 2)

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Trong một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\) với \(k \ge 2\).

b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

\(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\) với \(k \ge 2\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng và cấp số nhân để lần lượt chứng minh đẳng thức.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \({u_{k - 1}} = {u_1} + \left( {k - 2} \right)d\)

\({u_k} = {u_1} + \left( {k - 1} \right)d\)

\({u_{k + 1}} = {u_1} + kd\)

Do đó:

\({u_{k - 1}} + {u_{k + 1}} = {u_1} + \left( {k - 2} \right)d + {u_1} + kd = 2{u_1} + \left( {2k - 2} \right)d\) \( = 2\left[ {{u_1} + \left( {k - 1} \right)d} \right] = 2{u_k}\)

Suy ra: \({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\) (đpcm).

b) Ta có: \({u_{k - 1}} = {u_1} \times {q^{k - 2}}\)

\({u_k} = {u_1} \times {q^{k - 1}}\)

\({u_{k + 1}} = {u_1} \times {q^k}\)

Do đó:

\({u_{k - 1}} \times {u_{k + 1}} = \left( {{u_1} \times {q^{k - 2}}} \right) \times \left( {{u_1} \times {q^k}} \right) = u_k^2.{q^{2k - 2}} = {\left( {{u_1}.{q^{k - 1}}} \right)^2} = u_k^2\) (đpcm).


Bình chọn:
4.3 trên 12 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí