Bài 2 trang 12 SGK Hình học 10
Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý.
Đề bài
Cho hình bình hành \(ABCD\) và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}.\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có:
\(+ )\;\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
\( + )\;\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).
Lời giải chi tiết
Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:
\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA}\)
\(\overrightarrow{MC}= \overrightarrow{MD}+ \overrightarrow{DC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MC} \) \( = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} \)
\(= (\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD})\) \(+ (\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{DC}\))
\(ABCD\) là hình bình hành nên hai vec tơ \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{DC}\) là hai vec tơ đối nhau nên: \(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\)
Suy ra \(\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}\).
Cách 2. Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ
\(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA}\)
\(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{MD} - \overrightarrow{MC}\)
\(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}\) \( = \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} - \overrightarrow {MC} \)
\(= (\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MD}) \)\(- (\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MC}).\)
\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) là hai vec tơ đối nhau, cho ta: \(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}.\)
Suy ra: \(\overrightarrow 0 = \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} } \right) - \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} } \right)\)
Vậy \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}.\)
Cách 3. Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên ta có: \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}+ \overrightarrow{MB}= \overrightarrow{DM} +\overrightarrow{MC}\)
\( \Leftrightarrow -\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}= - \overrightarrow{MD} +\overrightarrow{MC}\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow{MD}+ \overrightarrow{MB}= \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MC}\)
Đổi vế ta được điều phải chứng minh.
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 3 trang 12 SGK Hình học 10
- Bài 4 trang 12 SGK Hình học 10
- Bài 5 trang 12 SGK Hình học 10
- Bài 6 trang 12 SGK Hình học 10
- Bài 7 trang 12 SGK Hình học 10
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
