Lý thuyết Tích phân Toán 12 Chân trời sáng tạo

1. Diện tích hình thang cong

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa

1. Diện tích hình thang cong

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\left[ {a;b} \right]\).

2. Khái niệm tích phân

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \).

Chú ý:

a) Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước

\(\)\(\int\limits_a^a {f(x)dx = 0} \) và \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = - \int\limits_b^a {f(x)dx} \)

b) Người ta chứng minh được, tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^b {f(t)dt} } \)

c) Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), thì tích phân \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \) là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

3. Tính chất của tích phân

+ \(\int\limits_a^b {kf(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} } \) (k là hằng số)

+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx + \int\limits_a^b {g(x)dx} } \)

+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx - \int\limits_a^b {g(x)dx} } \)

+ \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx + \int\limits_c^b {f(x)dx} } } \) (a < c < b)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 1 trang 12, 13 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Diện tích hình thang cong
Giải mục 2 trang 14,15,16 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Khái niệm tích phân
Giải mục 3 trang 16,17,18 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính chất của tích phân
Giải bài tập 1 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số (y = {x^2}), trục hoành và hai đường thẳng (x = 0), (x = 2). b) Đồ thị hàm số (y = frac{1}{x}), trục hoành và hai đường thẳng (x = 1), (x = 3).
Giải bài tập 2 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính các tích phân sau: a) \(\int\limits_1^2 {{x^4}dx} \) b) \(\int\limits_1^2 {\frac{1}{{\sqrt x }}dx} \) c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \) d) \(\int\limits_0^2 {{3^x}dx} \)
Giải bài tập 3 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính các tích phân sau: a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)dx} \) b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx} \) c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x - 2} \right)dx} \) d) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} \)
Giải bài tập 4 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính các tích phân sau: a) \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {2x + 2} \right|dx} \) b) \(\int\limits_0^4 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \) c) \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\sin x} \right|dx} \)
Giải bài tập 5 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là một hình vành khuyên như hình dưới đây. Khí bên trong ống được duy trì ở \({150^o}{\rm{C}}\). Biết rằng nhiệt độ \(T\left( {^oC} \right)\) tại điểm A trên thành ống là hàm số của khoảng cách \(x{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\) từ A đến tâm của mặt cắt và \(T'\left( x \right) = - \frac{{30}}{x}\) \(\left( {6 \le x \le 8} \right)\). Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.
Giải bài tập 6 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tốc độ \(v{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian \(t\) (giây) được cho bởi công thức \(v\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}t&{\left( {0 \le t \le 2} \right)}\\2&{\left( {2 < t \le 20} \right)}\\{12 - 0,5t}&{\left( {20 < t \le 24} \right)}\end{array}} \right.\). Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung bình của thang máy.