Giải bài tập 5 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là một hình vành khuyên như hình dưới đây. Khí bên trong ống được duy trì ở \({150^o}{\rm{C}}\). Biết rằng nhiệt độ \(T\left( {^oC} \right)\) tại điểm A trên thành ống là hàm số của khoảng cách \(x{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\) từ A đến tâm của mặt cắt và \(T'\left( x \right) = - \frac{{30}}{x}\) \(\left( {6 \le x \le 8} \right)\). Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.

Đề bài

Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là một hình vành khuyên như hình dưới đây. Khí bên trong ống được duy trì ở \({150^o}{\rm{C}}\). Biết rằng nhiệt độ \(T\left( {^oC} \right)\) tại điểm A trên thành ống là hàm số của khoảng cách \(x{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\) từ A đến tâm của mặt cắt và \(T'\left( x \right) = - \frac{{30}}{x}\) \(\left( {6 \le x \le 8} \right)\). Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Do nhiệt độ của khí bên trong ống luôn được duy trì ở \({150^o}{\rm{C}}\), nên \(T\left( 6 \right) = 150\).

Nhiệt độ mặt ngoài của ống là \(T\left( 8 \right) = \left[ {T\left( 8 \right) - T\left( 6 \right)} \right] + T\left( 6 \right) = \int\limits_6^8 {T'\left( x \right)dx} + T\left( 6 \right)\).

Lời giải chi tiết

Do nhiệt độ của khí bên trong ống luôn được duy trì ở \({150^o}{\rm{C}}\), nên \(T\left( 6 \right) = 150\).

Ta có \(\int\limits_6^8 {T'\left( x \right)dx} = \int\limits_6^8 { - \frac{{30}}{x}dx} = - 30\int\limits_6^8 {\frac{1}{x}dx = - 30.\left. {\left( {\ln \left| x \right|} \right)} \right|_6^8 = - 30\ln 8 + 30\ln 6} \).

Vậy nhiệt độ bên ngoài mặt ống là \(T\left( 8 \right) = - 30\ln 8 + 30\ln 6 + 150 \approx 141,{37^o}C\)