Giải mục 3 trang 51, 52 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hoạt động 3

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 4\) và \(d = 3\).

a) Viết 13 số hạng đầu tiên của \(\left( {{u_n}} \right)\).

b) Gọi S là tổng 13 số hạng của cấp số cộng. Ta viết S bằng hai cách

\(\begin{array}{l}S = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 + 34 + 37 + 40;\\S = 40 + 37 + 34 + 31 + 28 + 25 + 22 + 19 + 16 + 13 + 10 + 7 + 4.\end{array}\)

Từ nhận xét \(4 + 40 = 37 + 7 = 10 + 34 = ... = 40 + 4\), hãy suy ra đẳng thức\(S = \frac{{13\left( {4 + 40} \right)}}{2}\).

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức \({u_{n + 1}} = {u_n} + d\).

b) Cộng 2 cách viết của S với nhau, nhóm các số theo hướng dẫn của đề bài.

Lời giải chi tiết:

a) 13 số hạng đầu tiên của dãy là:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 4;{u_2} = 4 + 3 = 7;{u_3} = 7 + 3 = 10;{u_4} = 10 + 3 = 13;{u_5} = 13 + 3 = 16;\\{u_6} = 16 + 3 = 19;{u_7} = 19 + 3 = 22;{u_8} = 22 + 3 = 25;{u_9} = 25 + 3 = 28;\\{u_{10}} = 28 + 3 = 31;{u_{11}} = 31 + 3 = 34;{u_{12}} = 34 + 3 = 37;{u_{13}} = 37 + 3 = 40.\end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}S = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 + 34 + 37 + 40;\\S = 40 + 37 + 34 + 31 + 28 + 25 + 22 + 19 + 16 + 13 + 10 + 7 + 4.\\ \Rightarrow 2S = \left( {4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 + 34 + 37 + 40} \right) + \\\left( {40 + 37 + 34 + 31 + 28 + 25 + 22 + 19 + 16 + 13 + 10 + 7 + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2S = \left( {4 + 40} \right) + \left( {7 + 37} \right) + \left( {10 + 34} \right) + \left( {13 + 31} \right) + \left( {16 + 28} \right) + \left( {19 + 25} \right) + \\\left( {22 + 22} \right) + \left( {25 + 19} \right) + \left( {28 + 16} \right) + \left( {31 + 13} \right) + \left( {34 + 10} \right) + \left( {37 + 7} \right) + \left( {40 + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2S = 13\left( {4 + 40} \right)\\ \Leftrightarrow S = \frac{{13\left( {4 + 40} \right)}}{2}\end{array}\)

Luyện tập 3

Tính tổng các số nguyên dương lẻ và có ba chữ số.

Phương pháp giải:

Công thức tính số số hạng của dãy số: (số cuối -số đầu ): khoảng cách +1

Áp dụng công thức tính tổng cấp số cộng \(S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Các số nguyên dương lẻ và có ba chữ số liên tiếp cách đều nhau 2 đơn vị nên ta lập thành cấp số cộng với \({u_1} = 101,d = 2\).

Dãy số có số số hạng là \(\frac{{\left( {999 - 101} \right)}}{2} + 1 = 450\)

\( \Rightarrow {u_{450}} = 999\)

\( \Rightarrow S = \frac{{450\left( {101 + 999} \right)}}{2} = 247500\)

Vậy tổng các số nguyên dương lẻ và có 3 chữ số là 247500.

Vận dụng

Một công ty X cho người lao động trẻ, có trình độ kĩ thuật cao được tự chọn phương án khi kí hợp đồng lao động có thời hạn 10 năm với công ty. Có hai phương án để chọn:

Phương án 1: Năm đầu tiên nhận lương 100 triệu đồng, mỗi năm tiếp theo tăng thêm 12 triệu đồng.

Phương án 2: Quý đầu tiên nhận 30 triệu đồng, mỗi quý tiếp theo sẽ tăng thêm 2,5 triệu đồng.

Giả sử anh An quyết định kí hợp đồng để làm việc cho công ty X trong 10 năm. Anh nên chọn phương án nào để tống tiền lương nhận được trong 10 năm là lớn hơn?

Phương pháp giải:

Xác định \({u_1},d,{u_n}\) của mỗi phương án và tính tổng bằng công thức \(S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\). So sánh tổng của 2 phương án.

Lời giải chi tiết:

Phương án 1: Mỗi năm tăng 12 triệu đồng nên ta lập được cấp số cộng với \(d = 12\), năm đầu tiên nhận lương 100 triệu đồng thì \({u_1} = 100\).

Tiền lương năm thứ 10 là \({u_{10}} = {u_1} + 9d = 100 + 9.12 = 208\).

Vậy tổng số tiền lương nhận được trong 10 năm là \(S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_{10}}} \right)}}{2} = \frac{{10\left( {100 + 208} \right)}}{2} = 1540\) (triệu đồng).

Phương án 2: Mỗi quý tăng 2,5 triệu đồng nên ta lập được cấp số cộng với \(d = 2,5\), quý đầu tiên nhận 30 triệu đồng thì \({u_1} = 30\).

Một năm có 4 quý nên 10 năm có 40 quý. Tiển lương quý cuối cùng năm thứ 10 là\({u_{40}} = {u_1} + 39d = 30 + 39.2,5 = 127,5\).

Vậy tổng số tiền lương nhận được trong 10 năm là \(S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_{40}}} \right)}}{2} = \frac{{40\left( {30 + 127,5} \right)}}{2} = 3150\) (triệu đồng).

Vậy An nên chọn phương án 2.