Giải mục 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 4

Cho hai dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_n}} \right)\) được xác định như sau: \({a_n} = 3n + 1;\) \({b_n} =  - 5n\).

a) So sánh \({a_n}\) và \({a_{n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

b) So sánh \({b_n}\) và \({b_{n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Phương pháp giải:

a) Tìm \({a_{n + 1}}\) rồi xét hiệu \({a_{n + 1}} - {a_n}\).

b) Tìm \({b_{n + 1}}\) rồi xét hiệu \({b_{n + 1}} - {b_n}\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \({a_{n + 1}} = 3\left( {n + 1} \right) + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4\)

Xét hiệu: \({a_{n + 1}} - {a_n} = \left( {3n + 4} \right) - \left( {3n + 1} \right) = 3n + 4 - 3n - 1 = 3 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy \({a_{n + 1}} > {a_n}\).

a) Ta có: \({b_{n + 1}} =  - 5\left( {n + 1} \right) =  - 5n - 5\)

Xét hiệu: \({b_{n + 1}} - {b_n} = \left( { - 5n - 5} \right) - \left( { - 5n} \right) =  - 5n - 5 + 5n =  - 5 < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy \({b_{n + 1}} < {b_n}\).

Thực hành 3

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\);        

b) \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \frac{{n + 2}}{{{4^n}}}\);                                        

c) \(\left( {{t_n}} \right)\) với \({t_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.{n^2}\).

Phương pháp giải:

Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\):

Bước 1: Tìm \({u_{n + 1}}\).

Bước 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) hoặc xét thương \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) nếu các số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là số dương.

Bước 3: Kết luận:

– Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\) hoặc \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1\) thì \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

– Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0\) hoặc \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1\) thì \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

b) Ta có: \({x_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 2}}{{{4^{n + 1}}}} = \frac{{n + 1 + 2}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}}\)

Xét hiệu:

\({x_{n + 1}} - {x_n} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}} - \frac{{n + 2}}{{{4^n}}} = \frac{{n + 3 - 4\left( {n + 2} \right)}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3 - 4n - 8}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{ - 3n - 5}}{{{{4.4}^n}}} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy \({x_{n + 1}} - {x_n} < 0 \Leftrightarrow {x_{n + 1}} < {x_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm.

c) Ta có: \({t_1} = {\left( { - 1} \right)^1}{.1^2} =  - 1;{t_2} = {\left( { - 1} \right)^2}{.2^2} = 4;{t_3} = {\left( { - 1} \right)^3}{.3^2} =  - 9\), suy ra \({t_1} < {t_2},{t_2} > {t_3}\). Vậy \(\left( {{t_n}} \right)\) là dãy số không tăng không giảm.

a) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

b) Ta có: \({x_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 2}}{{{4^{n + 1}}}} = \frac{{n + 1 + 2}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}}\)

Xét hiệu:

\({x_{n + 1}} - {x_n} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}} - \frac{{n + 2}}{{{4^n}}} = \frac{{n + 3 - 4\left( {n + 2} \right)}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3 - 4n - 8}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{ - 3n - 5}}{{{{4.4}^n}}} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy \({x_{n + 1}} - {x_n} < 0 \Leftrightarrow {x_{n + 1}} < {x_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm.

c) Ta có: \({t_1} = {\left( { - 1} \right)^1}{.1^2} =  - 1;{t_2} = {\left( { - 1} \right)^2}{.2^2} = 4;{t_3} = {\left( { - 1} \right)^3}{.3^2} =  - 9\), suy ra \({t_1} < {t_2},{t_2} > {t_3}\). Vậy \(\left( {{t_n}} \right)\) là dãy số không tăng không giảm.

Vận dụng 3

Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 2).

a) Gọi \({u_1} = 25\) là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, \({u_n}\) là số cột gỗ có ở hàng thứ \(n\) tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

b) Gọi \({v_1} = 14\) là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, \({v_n}\) là số cột gỗ có ở hàng thứ \(n\) tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

Phương pháp giải:

Đưa dãy số về công thức truy hồi rồi xét hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 25\\{u_2} = 24 = {u_1} - 1\\{u_3} = 23 = {u_2} - 1\\ \vdots \end{array}\)

Vậy công thức truy hồi: \({u_n} = {u_{n - 1}} - 1\left( {n \ge 2} \right) \Leftrightarrow {u_n} - {u_{n - 1}} =  - 1 < 0\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{v_1} = 14\\{v_2} = 15 = {v_1} + 1\\{v_3} = 16 = {v_2} + 1\\ \vdots \end{array}\)

Vậy công thức truy hồi: \({v_n} = {v_{n - 1}} + 1\left( {n \ge 2} \right) \Leftrightarrow {v_n} - {v_{n - 1}} = 1 > 0\).

Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số tăng.