Bài 4 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

Đề bài

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{3} + \cos \frac{{n\pi }}{4}\);

b) \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{6n - 4}}{{n + 2}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng tính chất của hàm lượng giác.

b) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết

a) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(\left. \begin{array}{l}0 \le {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{3} \le 1\\ - 1 \le \cos \frac{{n\pi }}{4} \le 1\end{array} \right\} \Leftrightarrow 0 + \left( { - 1} \right) \le {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{3} + \cos \frac{{n\pi }}{4} \le 1 + 1 \Leftrightarrow - 1 \le {a_n} \le 2\).

Vậy dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) bị chặn.

b) Ta có: \({u_n} = \frac{{6n - 4}}{{n + 2}} = \frac{{6\left( {n + 2} \right) - 16}}{{n + 2}} = 6 - \frac{{16}}{{n + 2}}\)

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{{16}}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 6 - \frac{{16}}{{n + 2}} < 6 \Leftrightarrow {u_n} < 6\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.

\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{{16}}{{n + 2}} \le \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow 6 - \frac{{16}}{{n + 2}} \ge 6 - \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{2}{3}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 10 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\). Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn.
Bài 6 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{na + 2}}{{n + 1}}\). Tìm giá trị của \(a\) để:
Bài 7 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như Hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đỏ từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?
Bài 3 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \).
Bài 2 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\).
Bài 1 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tìm ({u_2},{u_3}) và dự đoán công thức số hạng tổng quát ({u_n}) của dãy số:
Giải mục 4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{n}\). So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.
Giải mục 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hai dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_n}} \right)\) được xác định như sau: \({a_n} = 3n + 1;\) \({b_n} = - 5n\).
Giải mục 2 trang 46, 47 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho các dãy số \(\left( {{a_n}} \right),\left( {{b_n}} \right),\left( {{c_n}} \right),\left( {{d_n}} \right)\) được xác định như sau.
Giải mục 1 trang 45, 46 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
(begin{array}{l}u:{mathbb{N}^*} to mathbb{R}\ & ,,,n mapsto uleft( n right) = {n^2}end{array}) Tính (uleft( 1 right);uleft( 2 right);uleft( {50} right);uleft( {100} right)).
Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo
1. Định nghĩa dãy số