Bài 1. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Chân trời sáng ..

Giải mục 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (left( alpha right)) có cặp vectơ chỉ phương (vec a = left( {{a_1};{a_2};{a_3}} right)), (vec b = left( {{b_1};{b_2};{b_3}} right)). Xét vectơ (vec n = left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} right)).

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\), \(\vec b = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)\). Xét vectơ \(\vec n = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\).

a) Vectơ \(\vec n\) có khác \(\vec 0\) hay không?

b) Tính \(\vec a.\vec n\); \(\vec b.\vec n\).

c) Vectơ \(\vec n\) có phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không?

Phương pháp giải:

a) Giả sử \(\vec n = \vec 0\), sau đó chứng minh rằng \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương. Điều này là vô lí do \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\).

b) Sử dụng công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

c) Để chứng minh \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta chỉ ra rằng \(\vec n\) có giá vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) Giả sử \(\vec n = \vec 0\), khi đó \({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2} = {a_3}{b_1} - {a_1}{b_3} = {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0\).

Với trường hợp \({b_1}\), \({b_2}\), \({b_3}\) cùng khác 0, ta suy ra \(\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}}\), điều này có nghĩa \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.

Nếu \({b_1} = 0\) thì \({a_1} = 0\), ta vẫn thu được kết quả \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.

Các trường hợp còn lại cho ra kết quả tương tự.

Như vậy \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.

Mặt khác, do \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\), nên \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ không cùng phương, mâu thuẫn.

Như vậy \(\vec n \ne \vec 0\).

b) Ta có:

+)\(\vec a.\vec n = {a_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {a_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {a_3}\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)

\( = {a_1}{a_2}{b_3} - {a_1}{a_3}{b_2} + {a_2}{a_3}{b_1} - {a_2}{a_1}{b_3} + {a_3}{a_1}{b_2} - {a_3}{a_2}{b_1} = 0\)

+) \(\vec b.\vec n = {b_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {b_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {b_3}\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)

\( = {b_1}{a_2}{b_3} - {b_1}{a_3}{b_2} + {b_2}{a_3}{b_1} - {b_2}{a_1}{b_3} + {b_3}{a_1}{b_2} - {b_3}{a_2}{b_1} = 0\)

Như vậy \(\vec a.\vec n = \vec b.\vec n = 0\).

c) Theo câu b, ta có \(\vec a.\vec n = \vec b.\vec n = 0\), điều này có nghĩa là \(\vec n\) có giá vuông góc với giá của \(\vec a\) và \(\vec b\). Mà \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\), nên \(\vec n\) có giá vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Như vậy \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), \(C\left( {10;7; - 1} \right)\). Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), , nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là và .

Để tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng , thực hiện tính tích có hướng của hai vectơ và . Vectơ thu được là một\(C\left( {10;7; - 1} \right)\) vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), \(C\left( {10;7; - 1} \right)\), nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;0;4} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} \left( {9;6; - 2} \right)\).

Tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là:

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0.\left( { - 2} \right) - 4.6;4.9 - \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right); - 2.6 - 0.9} \right) = \left( { - 24;32; - 12} \right)\)

Do đó, mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nhận \(\vec n = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 6;8; - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho biết hai vectơ \(\vec a = \left( {2;1;1} \right)\), \(\vec b = \left( {1; - 2;0} \right)\) có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong hình dưới đây. Tìm vectơ \(\vec n\) có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành 3 đường thẳng đôi một vuông góc).

Phương pháp giải:

Theo hình vẽ, do vectơ \(\vec n\) có giá vuông góc lần lượt với giá của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), nên có thể chọn vectơ \(\vec n\) là tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).

Lời giải chi tiết:

Tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là

\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {1.0 - 1.\left( { - 2} \right);1.1 - 2.0;2.\left( { - 2} \right) - 1.1} \right) = \left( {2;1; - 5} \right)\).

Do đó, vectơ \(\vec n\) cần tìm là \(\vec n = \left( {2;1; - 5} \right)\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 3 trang 35, 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (left( alpha right)) đi qua điểm ({M_0}left( {1;2;3} right)) và nhận (vec n = left( {7;5;2} right)) làm vectơ pháp tuyến. Gọi (Mleft( {x;y;z} right)) là một điểm tuỳ ý trong không gian. Tính tích vô hướng (vec n.overrightarrow {{M_0}M} ) theo (x,y,z).
Giải mục 4 trang 38, 39, 40 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có phương trình là \(\left( \alpha \right):x - 2y + 3z + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):2x - 4y + 6z + 1 = 0\). a) Nêu nhận xét về các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng trên. b) Cho điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\). Hãy cho biết các mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có đi qua \(M\) không. c) Giải thích tại sao \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( \beta \right)\).
Giải mục 5 trang 41, 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) và điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\). Gọi \({M_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \(\left( \alpha \right)\)(hình dưới đây).
Giải bài tập 1 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Viết phương trình của mặt phẳng: a) Đi qua điểm (Aleft( {2;0;0} right)) và nhận (vec n = left( {2;1; - 1} right)) làm vectơ pháp tuyến. b) Đi qua điểm (Bleft( {1;2;3} right)) và song song với giá của mỗi vectơ (vec u = left( {1;2;3} right)) và (vec v = left( { - 2;0;1} right)). c) Đi qua ba điểm (Aleft( {1;0;0} right)), (Bleft( {0;2;0} right)) và (Cleft( {0;0;4} right)).
Giải bài tập 2 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
a) Lập phương trình của các mặt phẳng toạ độ \(\left( {Oxy} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\), \(\left( {Oxz} \right)\). b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( { - 1;9;8} \right)\) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ trên.
Giải bài tập 3 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho tứ diện (ABCD) có các đỉnh (Aleft( {4;0;2} right)), (Bleft( {0;5;1} right)), (Cleft( {4; - 1;3} right)), (Dleft( {3; - 1;5} right)). a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (left( {ABC} right)) và (left( {ABD} right)). b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (left( P right)) đi qua cạnh (BC) và song song với cạnh (AD).
Giải bài tập 4 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(C\left( {1; - 5;0} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 5y + 4z - 2024 = 0.\)
Giải bài tập 5 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {5;2;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta \right):2x - y + z - 7 = 0.\)
Giải bài tập 6 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( R \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( P \right):4x - 2y + 6z - 11 = 0\), \(\left( Q \right):2x + 2y + 2z - 7 = 0.\)
Giải bài tập 7 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính khoảng cách từ gốc toạ độ và từ điểm \(M\left( {1; - 2;13} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 3 = 0.\)
Giải bài tập 8 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(\left( P \right):x - 2 = 0\) và \(\left( Q \right):x - 8 = 0.\)
Giải bài tập 9 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = 2a\), \(AD = 5a\), \(SA = 3a\). Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình dưới đây, tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right).\)
Giải bài tập 10 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Một công trường xây dựng nhà cao tầng đã thiết lập hệ toạ độ \(Oxyz\). Hãy kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các mặt kính \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\), \(\left( R \right)\) của một toà nhà, biết: \(\left( P \right):3x + y - z + 2 = 0\) \(\left( Q \right):6x + 2y - 2z + 11 = 0\) \(\left( R \right):x - 3y + 1 = 0\)
Giải mục 1 trang 32, 33 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
a) Cho vectơ (vec n) khác (vec 0). Qua một điểm ({M_0}) cố định trong không gian, có bao nhiêu mặt phẳng (left( alpha right)) vuông góc với giá của vectơ (vec n)?