Bài 1. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Cánh diều

Giải mục 1 trang 50, 51, 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Vecto pháp tuyến. Cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 12 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Hoá - Sinh - Sử - Địa

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 50 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ (Hình 2). Giá của vecto \(\overrightarrow {AA'} \) có vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay không?

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

Vì AA' vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giá của vecto \(\overrightarrow {AA'} \) cũng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 51 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy chỉ ra một vecto pháp tuyến của:

a) Mặt phẳng (Oyz);

b) Mặt phẳng (Ozx).

Phương pháp giải:

Tìm vecto có giá vuông góc với mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Vecto \(\overrightarrow i = (1;0;0)\) có giá là trục Ox và \(Ox \bot (Oyz)\) nên \(\overrightarrow i = (1;0;0)\) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz).

b) Vecto \(\overrightarrow j = (0;1;0)\) có giá là trục Oy và \(Oy \bot (Ozx)\) nên \(\overrightarrow j = (0;1;0)\) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Ozx).

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 51 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Cho biết hai vecto \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {A'D'} \) có cùng phương hay không. Nhận xét về vị trí tương đối giữa giá của mỗi vecto \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {A'D'} \) và mặt phẳng (ABCD) (Hình 5)

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {A'D'} \) không cùng phương.

Giá của vecto \(\overrightarrow {AB} \) nằm trong mặt phẳng (ABCD).

Giá của vecto \(\overrightarrow {A'D'} \) song song với mặt phẳng (ABCD).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 51 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy chỉ ra một cặp vecto chỉ phương của mỗi mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Phương pháp giải:

Tìm cặp vecto không cùng phương, có giá song song hoặc thuộc mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Do hai vecto \(\overrightarrow i \), \(\overrightarrow j \) không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng (Oxy) nên \(\overrightarrow i \), \(\overrightarrow j \) là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (Oxy).

Do hai vecto \(\overrightarrow j \), \(\overrightarrow k \) không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng (Oyz) nên \(\overrightarrow j \), \(\overrightarrow k \) là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (Oyz).

Do hai vecto \(\overrightarrow k \), \(\overrightarrow i \) không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng (Oyz) nên \(\overrightarrow k \), \(\overrightarrow i \) là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (Ozx).

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 52 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (1;0;1)\), \(\overrightarrow b = (2;1;0)\) của mặt phẳng (P).

a) Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto \(\overrightarrow n (\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 )\) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) (Hình 6).

b) Vecto \(\overrightarrow n \) có là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) hay không?

Phương pháp giải:

a) Cho hai vecto \(\overrightarrow u = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\overrightarrow v = ({x_2};{y_2};{z_2})\) không cùng phương. Khi đó, vecto \(\overrightarrow w = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})\) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).

b) Cho mặt phẳng (P). Nếu vecto \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \) và có giá vuông góc với mặt phẳng (P) thì \(\overrightarrow n \) được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết:

a) \(\overrightarrow n = (0.0 - 1.1;1.2 - 0.1;1.1 - 2.0) = ( - 1;2;1)\).

b) \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nên \(\overrightarrow n \) có giá vuông góc với mặt phẳng (P) và là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P).

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 52 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong Ví dụ 3, vecto \(\overrightarrow {n'} = (1; - 2;1)\) có là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) hay không? Vì sao?

Ví dụ 3: Cho mặt phẳng (P) có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a = (1;3;5)\), \(\overrightarrow b = ( - 3; - 1;1)\).

Phương pháp giải:

Tìm một vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của (P).

Nếu \(\overrightarrow {n'} \) cùng phương với \(\overrightarrow n \) thì \(\overrightarrow {n'} \) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) và ngược lại.

Lời giải chi tiết:

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&5\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 3}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {8; - 16;8} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {n'} = (1; - 2;1) = \frac{1}{8}(8; - 16;8) = \frac{1}{8}\overrightarrow n \).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 2 trang 52, 53, 54 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-1;2) và có vecto pháp tuyến là (overrightarrow n = (1;2;3)) Giả sử M(x;y;z) là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng (P) (Hình 7) a) Tính tích vô hướng (overrightarrow n .overrightarrow {AM} ) theo x, y, z b) Tọa độ (x;y;z) của điểm M có thỏa mãn phương trình: x + 2y + 3z – 5 = 0 hay không?
Giải mục 3 trang 54, 55, 56, 57 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng biết một số điều kiện
Giải mục 4 trang 57, 58, 59 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng
Giải mục 5 trang 59, 60 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với (overrightarrow n = (A;B;C)) là vecto pháp tuyến. Cho điểm ({M_0}(2;3;4)). Gọi (H({x_H};{y_H};{z_H})) là hình chiếu vuông góc của điểm ({M_0}) trên mặt phẳng (P) (Hình 16) a) Tính tọa độ của (overrightarrow {H{M_0}} ) theo ({x_H},{y_H},{z_H}) b) Nêu nhận xét về phương của hai vecto (overrightarrow n = (A;B;C)), (overrightarrow {H{M_0}} ). Từ đó, hãy suy ra rằng (left| {overrightarrow n .overrighta
Giải bài tập 1 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng? A. ( - {x^2} + 2y + 3z + 4 = 0) B. (2x - {y^2} + z + 5 = 0) C. (x + y - {z^2} + 6 = 0) D. (3x - 4y - 5z + 1 = 0)
Giải bài tập 2 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Mặt phẳng \(x + 2y - 3z + 4 = 0\) có một vecto pháp tuyến là: A. \(\overrightarrow {{n_1}} = (2; - 3;4)\) B. \(\overrightarrow {{n_2}} = (1;2;3)\) C. \(\overrightarrow {{n_3}} = (1;2; - 3)\) D. \(\overrightarrow {{n_4}} = (1;2;4)\)
Giải bài tập 3 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(3;-4;5) và nhận \(\overrightarrow n \) làm vecto pháp tuyến
Giải bài tập 4 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm K(-1;2;3) và nhận hai vecto \(\overrightarrow u = (1;2;3),\overrightarrow v = (4;5;6)\) làm cặp vecto chỉ phương
Giải bài tập 5 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua: a) Điểm I(3;-4;1) và vuông góc với trục Ox b) Điểm K(-2;4;-1) và song song với mặt phẳng (Ozx) c) Điểm K(-2;4;-1) và song song với mặt phẳng (Q): 3x + 7y + 10z + 1 = 0
Giải bài tập 6 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(0;4;0), C(2;2;0)
Giải bài tập 7 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn của mặt phẳng (P), biết (P) đi qua ba điểm A(5;0;0), B(0;3;0), C(0;0;6)
Giải bài tập 8 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho hai mặt phẳng (({P_1}):4x - y - z + 1 = 0), (({P_2}):8x - 2y - 2x + 1 = 0) a) Chứng minh rằng (({P_1})//({P_2})) b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (({P_1}),({P_2}))
Giải bài tập 9 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
a) Cho hai mặt phẳng \(({P_1}):x + 2y + 3z + 4 = 0,({P_2}):x + y - z + 5 = 0\). Chứng minh rằng \(({P_1}) \bot ({P_2})\) b) Cho mặt phẳng \((P):x - 2y - 2z + 1 = 0\) và điểm M(1;1;-6). Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)
Giải bài tập 10 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm O(0;0;0), B(2;0;0), D(0;3;0), S(0;0;4) (hình 19) a) Tìm tọa độ điểm C b) Viết phương trình mặt phẳng (SBD) c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD)
Giải bài tập 11 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Hình 20 minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết A(50;0;0), D(0;20;0), B(4k;3k;2k) với k > 0 và mặt phẳng (CBEF) có phương trình z = 3 a) Tìm tọa độ điểm B b) Lập phương trình mặt phẳng (AOBC) c) Lập phương trình mặt phẳng (DOBE) d) Chỉ ra một vecto pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (AOBC) và (DOBE)
Giải bài tập 12 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Hình 21 minh hoạt một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt các điểm A(2;1;3), B(4;3;3), C(6;3;2,5), D(4;0;2,8) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b) Bốn điểm A, B, C, D có đồng phẳng không?
Giải câu hỏi mở đầu trang 50 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Người ta muốn sản xuất một chi tiết máy được cắt ra từ một ống trụ thép bằng gia công cơ khí chính xác (Hình 1). Để làm chi tiết máy đó, người ta cần xác định phương trình của mặt cắt trong một hệ tọa độ thích hợp và đưa những dữ liệu đó vào hệ thống máy tính điều khiển các máy gia công cơ khí kĩ thuật số.
Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cánh Diều
1. Vecto pháp tuyến, cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng a) Vecto pháp tuyến