Bài 3. Tích phân - Toán 12 Cánh diều

Giải mục 3 trang 23, 24, 25 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Tính: a) \(\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \); b) \(\int\limits_1^3 {{x^{\frac{2}{3}}}dx} \); c) \(\int\limits_1^8 {\sqrt[3]{x}dx} \).

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 12 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Hoá - Sinh - Sử - Địa

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 23 SGK Toán 12 Cánh diều

Tính:

a) \(\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \);

b) \(\int\limits_1^3 {{x^{\frac{2}{3}}}dx} \);

c) \(\int\limits_1^8 {\sqrt[3]{x}dx} \).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích phân của hàm số lũy thừa.

Lời giải chi tiết:

a) \(\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {{x^{ - 3}}dx} = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right.\)

\(= \frac{{ - 1}}{{2{x^2}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. = \frac{{ - 1}}{{{{2.2}^2}}} - \frac{{ - 1}}{{{{2.1}^2}}} = \frac{3}{8}\).

b) \(\int\limits_1^3 {{x^{\frac{2}{3}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_1}\end{array}} \right. = \frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_1}\end{array}} \right. = \frac{3}{5}x\sqrt[3]{{{x^2}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_1}\end{array}} \right. \)

\(= \frac{3}{5}.3.\sqrt[3]{{{3^2}}} - \frac{3}{5}.1.\sqrt[3]{{{1^2}}} = \frac{{9\sqrt[3]{9} - 3}}{5}\).

c) \(\int\limits_1^8 {\sqrt[3]{x}dx} = \int\limits_1^8 {{x^{\frac{1}{3}}}dx} = \frac{3}{4}{x^{\frac{4}{3}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^8}\\{_1}\end{array}} \right. = \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^8}\\{_1}\end{array}} \right.\)

\(= \frac{3}{4}.8.\sqrt[3]{8} - \frac{3}{4}.1.\sqrt[3]{1} = \frac{{45}}{4}\).

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 23 SGK Toán 12 Cánh diều

Tính \(\int\limits_1^e {\frac{7}{{3x}}dx} \).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích phân của hàm số \(\frac{1}{x}\).

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_1^e {\frac{7}{{3x}}dx} = \frac{7}{3}\ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^e}\\{_1}\end{array}} \right. = \frac{7}{3}\left( {\ln \left| e \right| - \ln \left| 1 \right|} \right) = \frac{7}{3}\).

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 24 SGK Toán 12 Cánh diều

Tính:

a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(3\sin x - 2\cos x)dx} \);

b) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{2}{{\sin x}} - \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính tích phân của hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(3\sin x - 2\cos x)dx} = 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin xdx} - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos xdx} \)

\( = - 3\cos x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\frac{\pi }{4}}}\\{_0}\end{array}} \right. - 2\sin x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\frac{\pi }{4}}}\\{_0}\end{array}} \right. = - 3\left( {\cos \frac{\pi }{4} - \cos 0} \right) - 2\left( {\sin \frac{\pi }{4} - \sin 0} \right)\)

\( = - 3\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1} \right) - 2\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - 0} \right) = 3 - \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

b) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{2}{{\sin x}} - \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = 2\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{\sin x}}dx} - 3\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)

\( = - 2\cot x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\frac{\pi }{3}}}\\{_{\frac{\pi }{6}}}\end{array}} \right. - 3\tan x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\frac{\pi }{3}}}\\{_{\frac{\pi }{6}}}\end{array}} \right. = - 2\left( {\cot \frac{\pi }{3} - \cot \frac{\pi }{6}} \right) - 3\left( {\tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( = - 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \sqrt 3 } \right) - 3\left( {\sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 25 SGK Toán 12 Cánh diều

Tính:

a) \(\int\limits_0^1 {{3^x}dx} \);

b) \(\int\limits_0^1 {({{2.3}^x} - 5{e^x})dx} \).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính tích phân của hàm số mũ.

Lời giải chi tiết:

a) \(\int\limits_0^1 {{3^x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. = \frac{{{3^1}}}{{\ln 3}} - \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}} = \frac{2}{{\ln 3}}\)

b) \(\int\limits_0^1 {({{2.3}^x} - 5{e^x})dx} = \int\limits_0^1 {{{2.3}^x}dx} - \int\limits_0^1 {5{e^x}dx} \)

\( = 2\int\limits_0^1 {{3^x}dx} - 5\int\limits_0^1 {{e^x}dx} = \frac{{{{2.3}^x}}}{{\ln 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. - 5{e^x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right.\)

\( = \left( {\frac{{{{2.3}^1}}}{{\ln 3}} - \frac{{{{2.3}^0}}}{{\ln 3}}} \right) - \left( {5{e^1} - 5{e^0}} \right) = \frac{4}{{\ln 3}} - 5e + 5\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 1 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính tích phân (intlimits_2^3 {frac{1}{{{x^2}}}} dx) có giá trị bằng: A. (frac{1}{6}) B. ( - frac{1}{6}) C. (frac{{19}}{{648}}) D. ( - frac{{19}}{{648}})
Giải bài tập 2 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tích phân (intlimits_{frac{pi }{7}}^{frac{pi }{5}} {sin xdx} ) có giá trị bằng:
Giải bài tập 3 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{3^x}}}{2}dx} \) có giá trị bằng: A. \( - \frac{1}{{\ln 3}}\) B. \(\frac{1}{{\ln 3}}\) C. -1 D. 1
Giải bài tập 4 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho \(\int\limits_{ - 2}^3 {f(x)dx} = - 10\), \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [-2;3], F(3) = -8. Tính F(-2)
Giải bài tập 7 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
a) Cho một vật chuyển động với vận tốc y = v(t) (m/s). Cho 0 < a < b và v(t) > 0 với mọi (t in [a;b]). Hãy giải thích vì sao (intlimits_a^b {v(t)dt} ) biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b (a,b tính theo giây) b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 2 – sint (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm (t = frac{{3pi }}{4}) (s)
Giải bài tập 8 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở Hình 9. a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên
Giải bài tập 9 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Ở nhiệt độ (37^circ C), một phản ứng hóa học từ chất đầu A, chuyển hóa thành sản phẩm B theo phương trình: (A to B). Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol ({L^{ - 1}})) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với (x ge 0), thỏa mãn hệ thức (y'(x) = - {7.10^{ - 4}}y(x)) với (x ge 0). Biết rằng tại x = 0, nồng độ (đầu) của A là 0,05 mol ({L^{ - 1}}). a) Xét hàm số (f(x) = ln y(x)) với (x ge 0). Hãy tính f’(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x) b) Giả sử tính nồng độ trung bình chất
Giải bài tập 6 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính: a) (intlimits_0^1 {({x^6} - 4{x^3} + 3{x^2})dx} ) b) (intlimits_1^2 {frac{1}{{{x^4}}}dx} ) c) (intlimits_1^4 {frac{1}{{xsqrt x }}dx} ) d) (intlimits_0^{frac{pi }{2}} {(4sin x + 3cos x)dx} ) e) (intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} {{{cot }^2}xdx} ) g) (intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{{tan }^2}xdx} ) h) (intlimits_{ - 1}^0 {{e^{ - x}}dx} ) i) (intlimits_{ - 2}^{ - 1} {{e^{x + 2}}dx} ) k) (intlimits_0^1 {({{3.4}^x} - 5{e^{ - x}})dx}
Giải bài tập 5 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho (intlimits_0^4 {f(x)dx} = 4,intlimits_3^4 {f(x)dx} = 6). Tính (intlimits_0^3 {f(x)dx} )
Giải mục 2 trang 21, 22 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính chất của tích phân
Giải mục 1 trang 17, 19, 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Định nghĩa tích phân
Giải câu hỏi mở đầu trang 17 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong Hình 3 (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét). Làm thế nào để tính diện tích logo?
Lý thuyết Lý thuyết Tích phân Toán 12 Cánh Diều
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn (left[ {a;b} right]). Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn (left[ {a;b} right]) thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là (intlimits_a^b {f(x)dx} ).