Lý thuyết Lý thuyết Tích phân Toán 12 Cánh Diều

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn (left[ {a;b} right]). Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn (left[ {a;b} right]) thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là (intlimits_a^b {f(x)dx} ).

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa

1. Định nghĩa tích phân

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là $\int\limits_a^b {f(x)dx} $.

Chú ý:

- Kí hiệu $F(x) \big|_a^b = F(b) - F(a)$ và đọc là $F(x)$ thế cận từ $a$ đến $b$.

Vậy $\int_a^b f(x) dx = F(x) \big|_a^b = F(b) - F(a)$.

Gọi: $\int_a^b$ là dấu tích phân; $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên; $f(x) dx$ là biểu thức dưới dấu tích phân và $f(x)$ là hàm số dưới dấu tích phân.

- Ta quy ước: $\int_a^a f(x) dx = 0$; $ \int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$.

- Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(t)dt$.

2. Tính chất của tích phân

Cho các hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $[a ; b]$. Khi đó, ta có:

$\int\limits_a^b {kf(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} } $ (k là hằng số).
$\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx + \int\limits_a^b {g(x)dx} } $.
$\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx - \int\limits_a^b {g(x)dx} } $.
$\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx + \int\limits_c^b {f(x)dx} } } $ (a < c < b).

3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp

a) Tích phân của hàm số lũy thừa

Với $\alpha \ne - 1$, ta có:

$\int\limits_a^b {{x^\alpha }dx} = \left. {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right|_a^b = \frac{{{b^{\alpha + 1}} - {a^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}$.

b) Tích phân của hàm số $f(x) = \frac{1}{x}$

Với hàm số $f(x) = \frac{1}{x}$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$, ta có:

$\int\limits_a^b {\frac{1}{x}dx = } \left. {\ln \left| x \right|} \right|_a^b = \ln \left| b \right| - \ln \left| a \right|$.

c) Tích phân của hàm số lượng giác

$\int\limits_a^b {\sin xdx = - \cos x_a^b} = - \cos b - ( - \cos a) = \cos a - \cos b$.
$\int\limits_a^b {\cos xdx = \left. {\sin x} \right|_a^b} = \sin b - \sin a$.
$\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = \left. { - \cot x} \right|_a^b} = - \cot b - ( - \cot a) = \cot a - \cot b$.
$\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \left. {\tan x} \right|_a^b} = \tan b - \tan a$.

d) Tích phân của hàm số mũ

Với $a > 0,a \ne 1$, ta có:

$\int\limits_\alpha ^\beta {{a^x}dx} = \left. {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right|_\alpha ^\beta = \frac{{{a^\beta } - {a^\alpha }}}{{\ln a}}$.

👉

Giải bài nhanh với AI Hay:

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải câu hỏi mở đầu trang 17 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong Hình 3 (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét). Làm thế nào để tính diện tích logo?
Giải mục 1 trang 17, 19, 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Định nghĩa tích phân
Giải mục 2 trang 21, 22 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính chất của tích phân
Giải mục 3 trang 23, 24, 25 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính: a) (intlimits_1^2 {frac{1}{{{x^3}}}dx} ); b) (intlimits_1^3 {{x^{frac{2}{3}}}dx} ); c) (intlimits_1^8 {sqrt[3]{x}dx} ).
Giải bài tập 1 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính tích phân (intlimits_2^3 {frac{1}{{{x^2}}}} dx) có giá trị bằng: A. (frac{1}{6}) B. ( - frac{1}{6}) C. (frac{{19}}{{648}}) D. ( - frac{{19}}{{648}})
Giải bài tập 2 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tích phân (intlimits_{frac{pi }{7}}^{frac{pi }{5}} {sin xdx} ) có giá trị bằng:
Giải bài tập 3 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{3^x}}}{2}dx} $ có giá trị bằng: A. $ - \frac{1}{{\ln 3}}$ B. $\frac{1}{{\ln 3}}$ C. -1 D. 1
Giải bài tập 4 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho (intlimits_{ - 2}^3 {f(x)dx} = - 10), (F(x)) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [-2;3], F(3) = -8. Tính F(-2)
Giải bài tập 5 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho (intlimits_0^4 {f(x)dx} = 4,intlimits_3^4 {f(x)dx} = 6). Tính (intlimits_0^3 {f(x)dx} )
Giải bài tập 6 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính: a) (intlimits_0^1 {({x^6} - 4{x^3} + 3{x^2})dx} ) b) (intlimits_1^2 {frac{1}{{{x^4}}}dx} ) c) (intlimits_1^4 {frac{1}{{xsqrt x }}dx} ) d) (intlimits_0^{frac{pi }{2}} {(4sin x + 3cos x)dx} ) e) (intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} {{{cot }^2}xdx} ) g) (intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{{tan }^2}xdx} ) h) (intlimits_{ - 1}^0 {{e^{ - x}}dx} ) i) (intlimits_{ - 2}^{ - 1} {{e^{x + 2}}dx} ) k) (intlimits_0^1 {({{3.4}^x} - 5{e^{ - x}})dx}
Giải bài tập 7 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
a) Cho một vật chuyển động với vận tốc y = v(t) (m/s). Cho 0 < a < b và v(t) > 0 với mọi (t in [a;b]). Hãy giải thích vì sao (intlimits_a^b {v(t)dt} ) biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b (a,b tính theo giây) b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 2 – sint (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm (t = frac{{3pi }}{4}) (s)
Giải bài tập 8 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở Hình 9. a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên
Giải bài tập 9 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Ở nhiệt độ (37^circ C), một phản ứng hóa học từ chất đầu A, chuyển hóa thành sản phẩm B theo phương trình: (A to B). Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol ({L^{ - 1}})) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với (x ge 0), thỏa mãn hệ thức (y'(x) = - {7.10^{ - 4}}y(x)) với (x ge 0). Biết rằng tại x = 0, nồng độ (đầu) của A là 0,05 mol ({L^{ - 1}}). a) Xét hàm số (f(x) = ln y(x)) với (x ge 0). Hãy tính f’(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x) b) Giả sử tính nồng độ trung bình chất