Giải mục 1 trang 42, 43 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho elip (E) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\) và cho điểm \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên (E).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ1

Cho elip (E) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\) và cho điểm \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên (E). Các điểm \({M_1}( - {x_0};{y_0}),{M_2}({x_0}; - {y_0}),{M_3}( - {x_0}; - {y_0})\) có thuộc (E) hay không?

Lời giải chi tiết:

Nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip thì \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

hay các điểm có tọa độ \({M_1}( - {x_0};{y_0}),{M_2}({x_0}; - {y_0}),{M_3}( - {x_0}; - {y_0})\) cũng thuộc Elip.

Thực hành 1

Viết phương trình chính tắc của elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của elip này.

Phương pháp giải:

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)

+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 2a và 2b.

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

+ Độ dài trục lớn: \(2a\), độ dài trục nhỏ: \(2b\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6.

\( \Rightarrow \) Độ dài trục lớn: \(2a = 8 \Leftrightarrow a = 4\), độ dài trục nhỏ: \(2b = 6 \Leftrightarrow b = 3\)

Phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - 4;0} \right),{A_2}\left( {4;0} \right),{B_1}\left( {0; - 3} \right),{B_2}\left( {0;3} \right).\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{4^2} - {3^2}} = 2\sqrt 7 \)

+ Độ dài trục lớn: \(2a = 8\), độ dài trục nhỏ: \(2b = 6\)

Vận dụng 1

Hãy gấp một mảnh giấy hình elip (Hình 5) thành 4 phần chồng khít lên nhau

Lời giải chi tiết:

Tưởng tượng elip có phương trình chính tắc trên mặt phẳng tọa độ, khi đó ta chỉ cần gập theo các trục tọa độ.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.7 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 2 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo
Cho điểm \(M(x;y)\)nằm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) (Hình 6).
Giải mục 3 trang 45, 46 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo
Cho biết tỉ số \(e = \frac{c}{a}\) của các elip lần lượt là \(\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}\)(Hình 8). Tính tỉ số \(\frac{b}{a}\) theo \(e\) và nêu nhận xét về sự thay đổi của hình dạng elip gắn với hình chữ nhật cơ sở khi \(e\) thay đổi.
Giải mục 4 trang 46, 47 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo
Cho điểm \(M(x;y)\) trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)và hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\) và \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\) (Hình 10). Gọi \(d(M,{\Delta _1});d(M,{\Delta _2})\) lần lượt là khoảng cách từ M đến \({\Delta _1},{\Delta _2}.\) Ta có \(d(M,{\Delta _1}) = \left| {x + \frac{a}{e}} \right| = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e} = \frac{{a + ex}}{e}\) (vì \(e > 0\) và \(a + ex = M{F_1} > 0\)).
Giải bài 1 trang 47 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Cho elip (E): (frac{{{x^2}}}{{64}} + frac{{{y^2}}}{{36}} = 1)
Giải bài 2 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Tìm các điểm trên elip (E): (frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1) có độ dài hai bán kính qua tiêu nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải bài 3 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 12 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là (frac{{169}}{6})
Giải bài 4 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Cho elip (E): (frac{{{x^2}}}{9} + frac{{{y^2}}}{1} = 1).
Giải bài 5 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Trái Đất chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai là 0,0167 và nhận tâm Mặt trời là một tiêu điểm
Giải bài 6 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Ngày 04/10/1957, Liên Xô đã phóng thành công vệ tinh nhân tạo đầu tiên vào không gian, vệ tinh mang tên Sputnik I.