Giải chuyên đề học tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo

Bài 1. Elip Chuyên đề học tập Toán 10 chân trời sáng tạo

Giải mục 2 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho điểm \(M(x;y)\)nằm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) (Hình 6).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ2

Cho điểm \(M(x;y)\)nằm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) (Hình 6).

a) Tính \({F_1}{M^2}\) và \({F_2}{M^2}\) theo \(x,y,c.\)

b) Chứng tỏ rằng \({F_1}{M^2} - {F_2}{M^2} = 4cx,\;{F_1}M - {F_2}M = 2\frac{{cx}}{a}\)

c) Tính độ dài hai đoạn \(M{F_1},M{F_2}\) theo \(a,c,x.\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} ( - c - x; - y);\overrightarrow {M{F_2}} (c - x; - y)\)

\( \Rightarrow M{F_1}^2 = {( - c - x)^2} + {( - y)^2};M{F_2}^2 = {(c - x)^2} + {( - y)^2}\)

b) \({F_1}{M^2} - {F_2}{M^2} = {( - c - x)^2} - {(c - x)^2} = 4cx\)

Mà \({F_1}M + {F_2}M = 2a\) (do \(M \in (E)\))

\( \Rightarrow \;{F_1}M - {F_2}M = \frac{{{F_1}{M^2} - {F_2}{M^2}}}{{{F_1}M + {F_2}M}} = 2\frac{{cx}}{a}\)

\(\begin{array}{l}M{F_1} = \frac{{2a + \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a + \frac{c}{a}x\\M{F_2} = \frac{{2a - \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a - \frac{c}{a}x\end{array}\)

Thực hành 2

a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

b) Tìm các điểm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.

Phương pháp giải:

Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là:

\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \({a^2} = 64,{b^2} = 36 \Rightarrow a = 8,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt 7 \)

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) là:

\(M{F_1} = 8 + \frac{{\sqrt 7 }}{4}x;M{F_2} = 8 - \frac{{\sqrt 7 }}{4}x.\)

b) Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là:

\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)

Để độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau thì \(a + \frac{c}{a}x = a - \frac{c}{a}x\)

\( \Leftrightarrow \frac{c}{a}x = - \frac{c}{a}x \Leftrightarrow x = 0\)

Mà \(M(x,y) \in (E)\) \( \Rightarrow \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow y = \pm b\)

Vậy tại các điểm \({B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right)\) thì độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.

Vận dụng 2

Người ta chứng minh được rằng ánh sáng hay âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu (Hình 7a).

Vòm xe điện ngầm của một thành phố có mặt cát hình elip (Hình 7b). Hãy giải thích tại sao tiếng nói của một người phát ra từ một tiêu điểm bên này, mặc dù khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.

Phương pháp giải:

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)

Lời giải chi tiết:

Gọi PTCT của elip biểu diễn vòm xe điện ngầm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)

Nói cách khác tiếng nói phát ra từ một tiêu điểm bên này, khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn tới tiêu điểm bên kia với cùng một quãng đường là \(2a\).

Do đó tiếng nói vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 4 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 3 trang 45, 46 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo
Cho biết tỉ số \(e = \frac{c}{a}\) của các elip lần lượt là \(\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}\)(Hình 8). Tính tỉ số \(\frac{b}{a}\) theo \(e\) và nêu nhận xét về sự thay đổi của hình dạng elip gắn với hình chữ nhật cơ sở khi \(e\) thay đổi.
Giải mục 4 trang 46, 47 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo
Cho điểm \(M(x;y)\) trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)và hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\) và \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\) (Hình 10). Gọi \(d(M,{\Delta _1});d(M,{\Delta _2})\) lần lượt là khoảng cách từ M đến \({\Delta _1},{\Delta _2}.\) Ta có \(d(M,{\Delta _1}) = \left| {x + \frac{a}{e}} \right| = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e} = \frac{{a + ex}}{e}\) (vì \(e > 0\) và \(a + ex = M{F_1} > 0\)).
Giải bài 1 trang 47 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Cho elip (E): (frac{{{x^2}}}{{64}} + frac{{{y^2}}}{{36}} = 1)
Giải bài 2 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Tìm các điểm trên elip (E): (frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1) có độ dài hai bán kính qua tiêu nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải bài 3 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 12 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là (frac{{169}}{6})
Giải bài 4 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Cho elip (E): (frac{{{x^2}}}{9} + frac{{{y^2}}}{1} = 1).
Giải bài 5 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Trái Đất chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai là 0,0167 và nhận tâm Mặt trời là một tiêu điểm
Giải bài 6 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Ngày 04/10/1957, Liên Xô đã phóng thành công vệ tinh nhân tạo đầu tiên vào không gian, vệ tinh mang tên Sputnik I.
Giải mục 1 trang 42, 43 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo
Cho elip (E) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\) và cho điểm \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên (E).