Giải bài 4 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Cho đường thẳng (d:x - y + 1 = 0) và điểm (F(1;1)). Viết phương trình của đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...

Đề bài

Cho đường thẳng \(d:x - y + 1 = 0\) và điểm \(F(1;1)\). Viết phương trình của đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:

a) \(e = \frac{1}{2}\)

b) \(e = 1\)

c) \(e = 2\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Xác định loại đường conic dựa vào tâm sai e:

+ \(0 < e < 1\) thì conic là đường elip

+ \(e = 1\) thì conic là đường parabol

+ \(e > 1\) thì conic là đường hypebol

Bước 2: Tìm tập hợp các điểm M sao cho \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e\)

Từ đó kết luận phương trình đường conic.

Lời giải chi tiết

a) Đường conic có tâm sai \(e = \frac{1}{2} < 1\) nên là đường elip.

Điểm \(M(x,y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} }}{{\frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \left| {x + y - 1} \right|\\ \Leftrightarrow 8{\left( {x - 1} \right)^2} + 8{\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x + y - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 7{x^2} + 7{y^2} - 14x - 14y - 2xy + 15 = 0\end{array}\)

Vậy phương trình đường elip là \(7{x^2} + 7{y^2} - 14x - 14y - 2xy + 15 = 0\)

b) Đường conic có tâm sai \(e = 1\) nên là đường parabol

Điểm \(M(x,y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} }}{{\frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}}} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \left| {x + y - 1} \right|\\ \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x + y - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2xy + 3 = 0\end{array}\)

Vậy phương trình đường parabol là \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2xy + 3 = 0\)

c) Đường conic có tâm sai \(e = 2 > 1\) nên là đường hypebol.

Điểm \(M(x,y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} }}{{\frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}}} = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = 2\left| {x + y - 1} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2{\left( {x + y - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 4xy = 0\end{array}\)

Vậy phương trình đường hypebol là \(7{x^2} + 7{y^2} - 14x - 14y - 2xy + 15 = 0\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 5 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Mặt Trăng chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai bằng 0,0549 và nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm.
Giải bài 6 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Ta đã biết tính chất quang học của ba đường conic (xem phần đọc thêm Bạn có biết? ở trang 72, sách giáo khoa Toán 10, tập hai).
Giải bài 7 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Mặt cắt của một chảo ăng-ten là một phần của parabol (P). Cho biết đầu thu tín hiệu đặt tại tiêu điểm F cách đỉnh O của chảo một khoảng là (frac{1}{6}m).
Giải bài 8 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Gương phản chiếu của một đèn chiếu có mặt cắt hình parabol (Hình 5). Chiều rộng giữa giữa hai mép vành của gương là (MN = 32) cm và chiều sâu của gương là (OH = 24) cm.
Giải bài 3 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Xác định tâm sai, tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng của mỗi đường conic sau:
Giải bài 2 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Cho elip (E): (frac{{{x^2}}}{{25}} + frac{{{y^2}}}{9} = 1).
Giải bài 1 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm và bán kính qua tiêu ứng với điểm (M(x;y)) của các conic sau: