Giải bài 2 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Cho elip (E): (frac{{{x^2}}}{{25}} + frac{{{y^2}}}{9} = 1).

Đề bài

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

a) Xác định tọa độ các đỉnh, tiêu tiêu và tìm tâm sai của (E)

b) Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

c) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có hai đỉnh là hai tiêu điểm của (E), hai tiêu điểm là hai đỉnh của (E). Tìm tâm sai của (H).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)

+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)

b Parabol (P) \({y^2} = 2px\) có tiêu điểm: \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)

c) Hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)

Lời giải chi tiết

a) Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có \(a = 5,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - 5;0} \right),{A_2}\left( {5;0} \right),{B_1}\left( {0; - 3} \right),{B_2}\left( {0;3} \right).\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( - 4;0),{F_2}(4;0),\)

+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}\)

b) Parabol (P) \({y^2} = 2px\) có tiêu điểm: \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right) \equiv {F_2}(4;0)\) suy ra \(\frac{p}{2} = 4\) hay \(p = 8\)

Vậy PTCT của (P) là: \({y^2} = 16x\)

c) Hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\) trùng với \({A_1}\left( { - 5;0} \right),{A_2}\left( {5;0} \right)\) tức là \(c = 5\)

+ 2 đỉnh \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right)\) trùng với \({F_1}( - 4;0),{F_2}(4;0),\) tức là \(a = 4\)

\( \Rightarrow \) Tâm sai của (H) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 3 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Xác định tâm sai, tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng của mỗi đường conic sau:
Giải bài 4 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng (d:x - y + 1 = 0) và điểm (F(1;1)). Viết phương trình của đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:
Giải bài 5 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Mặt Trăng chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai bằng 0,0549 và nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm.
Giải bài 6 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Ta đã biết tính chất quang học của ba đường conic (xem phần đọc thêm Bạn có biết? ở trang 72, sách giáo khoa Toán 10, tập hai).
Giải bài 7 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Mặt cắt của một chảo ăng-ten là một phần của parabol (P). Cho biết đầu thu tín hiệu đặt tại tiêu điểm F cách đỉnh O của chảo một khoảng là (frac{1}{6}m).
Giải bài 8 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Gương phản chiếu của một đèn chiếu có mặt cắt hình parabol (Hình 5). Chiều rộng giữa giữa hai mép vành của gương là (MN = 32) cm và chiều sâu của gương là (OH = 24) cm.
Giải bài 1 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm và bán kính qua tiêu ứng với điểm (M(x;y)) của các conic sau: