Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá Bài tập cuối chương 5 - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 5.44 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá


Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 2). a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). b) Tính sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB). c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 2).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

b) Tính sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB).

c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng \((\alpha )\): Ax + By + Cz + D = 0 là:

\(d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

b) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\). Kí hiệu \(\left( {d,(\alpha )} \right)\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \((\alpha )\). Khi đó:

\(\sin (d,(\alpha )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}A + {a_2}B + {a_3}C} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

c) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) tương ứng có các vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'}  = (A';B';C')\). Khi đó, góc giữa \((\alpha )\) và \((\beta )\), kí hiệu là \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right)\) được tính theo công thức:

\(\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).

Lời giải chi tiết

a) Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBD)\).

Véc-tơ \(\overrightarrow {SB}  = (1;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SD}  = (0;3; - 2)\).

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBD)\):

\({\vec n_{(SBD)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SD} } \right] = (6;2;3)\)

Phương trình mặt phẳng \((SBD)\): \(6.(x - 0) + 2.(y - 0) + 3.(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 6x + 2y + 3z - 6 = 0\).

Khoảng cách từ \(A(0,0,0)\) đến mặt phẳng \((SBD)\):

\(d = \frac{{|6 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 6|}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt {49} }} = \frac{6}{7}\)

b) Tính \(\sin \) của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \((SAB)\).

- Véc-tơ \(\overrightarrow {SA}  = (0;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SB}  = (1;0; - 2)\).

- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là:

\({\vec n_{(SAB)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = (0.( - 2) - ( - 2).0;( - 2).1 - 0.( - 2);0.0 - 0.1) = (0; - 2;0)\)

- Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng SD là \(\overrightarrow {SD}  = (0;3; - 2)\).

Để tính \(\sin \) của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \((SAB)\), ta sử dụng công thức:

\(\sin \theta  = \frac{{|\overrightarrow {SD}  \cdot {{\vec n}_{(SAB)}}|}}{{\left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\left| {{{\vec n}_{(SAB)}}} \right|}}\)

- Tích vô hướng \(\overrightarrow {SD} .{\vec n_{(SAB)}}\):

\(\overrightarrow {SD} .{\vec n_{(SAB)}} = 0.0 + 3.( - 2) + ( - 2).0 = 0 - 6 + 0 =  - 6\)

- Độ dài của \(\overrightarrow {SD} \) và \({\vec n_{(SAB)}}\):

\(\left| {\overrightarrow {SD} } \right| = \sqrt {{0^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}}  = \sqrt {0 + 9 + 4}  = \sqrt {13} \)

\(\left| {{{\vec n}_{(SAB)}}} \right| = \sqrt {{0^2} + {{( - 2)}^2} + {0^2}}  = \sqrt 2 \)

Vậy: \(\sin \theta  = \frac{{| - 6|}}{{\sqrt {13} .2}} = \frac{6}{{2\sqrt {13} }} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\)

c) Tính \(\cos \) của góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((SCD)\).

- Véc-tơ \(\overrightarrow {SB}  = (1;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SC}  = (1;3; - 2)\).

- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\):

\({\vec n_{(SBC)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = (0.( - 2) - ( - 2).3;( - 2).1 - 1.( - 2);1.3 - 0.1) = (6;0;3)\)

- Véc-tơ \(\overrightarrow {SD}  = (0;3; - 2)\).

- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SCD)\):

\({\vec n_{(SCD)}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = (3 \cdot ( - 2) - ( - 2).3;( - 2).0 - ( - 2).1;3.1 - 3.0) = (0;2;3)\)

Để tính \(\cos \) của góc giữa hai mặt phẳng, ta dùng công thức:

\(\cos \alpha  = \frac{{|{{\vec n}_{(SBC)}} \cdot {{\vec n}_{(SCD)}}|}}{{\left| {{{\vec n}_{(SBC)}}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_{(SCD)}}} \right|}}\)

- Tích vô hướng \({\vec n_{(SBC)}}.{\vec n_{(SCD)}}\):

\({\vec n_{(SBC)}}.{\vec n_{(SCD)}} = 6.0 + 0.2 + 3.3 = 0 + 0 + 9 = 9\)

- Độ dài của \({\vec n_{(SBC)}}\) và \({\vec n_{(SCD)}}\):

\(\left| {{{\vec n}_{(SBC)}}} \right| = \sqrt {{6^2} + {0^2} + {3^2}}  = \sqrt {36 + 0 + 9}  = \sqrt {45} \)

\(\left| {{{\vec n}_{(SCD)}}} \right| = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {3^2}}  = \sqrt {0 + 4 + 9}  = \sqrt {13} \)

Vậy: \(\cos \alpha  = \frac{{|7|}}{{\sqrt {13}  \cdot \sqrt {45} }} = \frac{7}{{\sqrt {585} }}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho hai điểm A(1; 3; 0) và B(5; 1; −2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

  • Giải bài tập 5.46 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho mặt phẳng (left( alpha right)) đi qua điểm M(0; 0; −1), có cặp vectơ chỉ phương là (vec a = left( { - 1;2; - 3} right)) và (vec b = left( {3;0;5} right)). Phương trình của mặt phẳng (left( alpha right)) là

  • Giải bài tập 5.47 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho ba điểm A(3; 0; 1), B(0; 2; 1), C(1; 0; 0). Phương trình của mặt phẳng (ABC) là A. \(2x - 3y - 4z + 2 = 0\) B. \(2x + 3y - 4z - 2 = 0\) C. \(4x + 6y - 8z + 2 = 0\) D. \(2x - 3y - 4z + 1 = 0\)

  • Giải bài tập 5.48 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho điểm M(3; −1; −2) và mặt phẳng \((\alpha )\): 3x − y + 2z + 4 = 0. Mặt phẳng đi qua M và song song với \((\alpha )\)có phương trình là A. \(3x + y - 2z - 14 = 0\) B. \(3x - y + 2z + 6 = 0\) C. \(3x - y + 2z - 6 = 0\) D. \(3x - y - 2z + 6 = 0\)

  • Giải bài tập 5.49 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho mặt phẳng ((alpha )): 2x + y − 3z + 8 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng ((alpha ))? A. x – 3y + 3z – 7 = 0 B. 3x – 3y + z – 7 = 0 C. x + 2y – z – 8 = 0 D. x – 2y + z + 8 = 0

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store