Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá Bài tập cuối chương 5 - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 5.35 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá


Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1). Tìm góc giữa: a) Hai mặt phẳng (ABC) và (BCD); b) Hai đường thẳng AB và CD; c) Đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).

Đề bài

Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1). Tìm góc giữa:

a) Hai mặt phẳng (ABC) và (BCD);

b) Hai đường thẳng AB và CD;

c) Đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Công thức góc giữa hai mặt phẳng:

\(\cos \theta  = \frac{{|\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}}  \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}{{|\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}} ||\overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}\)

- Công thức góc giữa hai đường thẳng:

\(\cos \theta  = \frac{{|\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD} |}}{{|\overrightarrow {AB} ||\overrightarrow {CD} |}}\)

- Công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

\(\cos \theta  = \frac{{|\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}{{|\overrightarrow {AB} ||\overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}\)

Lời giải chi tiết

a)

- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) được tính bằng tích chéo của hai vectơ trong mặt phẳng:

\(\overrightarrow {AB}  = B - A = (0 - 1,1 - 0,0 - 0) = ( - 1,1,0)\)

\(\overrightarrow {AC}  = C - A = (0 - 1,0 - 0,1 - 0) = ( - 1,0,1)\)

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

\(\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}}  = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AC}  = (1.1 - 0.0,\,\,\,0.( - 1) - ( - 1).1,\,\,\,( - 1).0 - 1.( - 1)) = (1,1,1)\)

- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) được tính bằng tích chéo của hai vectơ trong mặt phẳng:

\(\overrightarrow {BC}  = C - B = (0 - 0,0 - 1,1 - 0) = (0, - 1,1)\)

\(\overrightarrow {BD}  = D - B = ( - 2 - 0,1 - 1, - 1 - 0) = ( - 2,0, - 1)\)

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là:

\(\overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}}  = \overrightarrow {BC}  \times \overrightarrow {BD}  = (( - 1).( - 1) - 1.0,1.( - 2) - 0.( - 1),0.0 - ( - 1).( - 2)) = (1, - 2, - 2)\)

- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến:

\(\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}}  \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}}  = (1,1,1) \cdot (1, - 2, - 2) = 1 \times 1 + 1 \times ( - 2) + 1 \times ( - 2) =  - 3\)

- Tính độ dài của các vectơ pháp tuyến:

\(|{{\bf{n}}_{ABC}}| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 3 ,\quad |{{\bf{n}}_{BCD}}| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  = \sqrt 9  = 3\)

- Tính góc giữa hai mặt phẳng:

\(\cos \theta  = \frac{{| - 3|}}{{\sqrt 3  \times 3}} = \frac{3}{{3\sqrt 3 }}\quad  \Rightarrow \quad \theta  = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\)

b)

- Vecto chỉ phương của đường thẳng AB là:

\(\overrightarrow {AB}  = ( - 1,1,0)\)

- Vecto chỉ phương của đường thẳng CD là:

\(\overrightarrow {CD}  = D - C = ( - 2 - 0,1 - 0, - 1 - 1) = ( - 2,1, - 2)\)

- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = ( - 1,1,0) \cdot ( - 2,1, - 2) = ( - 1 \times  - 2) + (1 \times 1) + (0 \times  - 2) = 2 + 1 = 3\)

- Tính độ dài của các vectơ chỉ phương:

\(|\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}}  = \sqrt 2 ,\quad |\overrightarrow {CD} | = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}}  = \sqrt 9  = 3\)

- Tính góc giữa hai đường thẳng:

\(\cos \theta  = \frac{3}{{\sqrt 2  \times 3}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\quad  \Rightarrow \quad \theta  = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = {45^\circ }\)

c)

- Tính tích vô hướng giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD):

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}}  = ( - 1,1,0) \cdot (1, - 2, - 2) =  - 1 \times 1 + 1 \times ( - 2) + 0 \times ( - 2) =  - 3\)

- Tính độ dài của các vectơ:

\(|\overrightarrow {AB} | = \sqrt 2 ,\quad |{{\bf{n}}_{BCD}}| = 3\)

- Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

\(\cos \theta  = \frac{3}{{\sqrt 2  \times 3}} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }}\quad  \Rightarrow \quad \theta  = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = 45^\circ \)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài tập 5.36 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Viết phương trình tham số của đường thẳng a) Đi qua hai điểm (A(1;0; - 3)) và (B( - 3;1;0)). b) Đi qua điểm (M(2;3; - 5)) và song song với đường thẳng (Delta ): (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 2t}{y = 3 - 4t}{z = - 5tquad (t in mathbb{R})}end{array}} right.)

  • Giải bài tập 5.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho mặt phẳng (\(\alpha \)): 2x − y + 2z + 11 = 0 và điểm M(1; −1; 2). a) Viết phương trình mặt phẳng (\(\beta \)) chứa điểm M và song song với (\(\alpha \)). b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (\(\alpha \)).

  • Giải bài tập 5.38 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB, biết rằng A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7). a) Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S). b) Viết phương trình của mặt cầu (S).

  • Giải bài tập 5.39 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Người ta mô phỏng thiết kế của một bình chứa nhiên liệu có dạng một hình chóp cụt tứ giác đều trong hệ trục Oxyz như Hình 5.39 với (S(0;0;0)), (P(10;0;0)), (Q(10;10;0)), (R(8;8;12)), (T(2;2;12)). a) Viết phương trình các mặt phẳng chứa các mặt bên của bình. b) Tính (sin ) của góc giữa cạnh bên và mặt đáy. c) Tính (cos ) của góc giữa các mặt bên.

  • Giải bài tập 5.40 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Trong các chương trình đồ hoạ máy tính, để tạo ảo giác theo đúng phối cảnh, các vật ở càng gần thì càng lớn hơn các vật ở xa, các hình ảnh ba chiều trong bộ nhớ của máy tính được chiếu lên một màn hình hình chữ nhật từ điểm nhìn của mắt hoặc máy chiếu.

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store