Bài tập cuối chương 5 - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 5.40 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Trong các chương trình đồ hoạ máy tính, để tạo ảo giác theo đúng phối cảnh, các vật ở càng gần thì càng lớn hơn các vật ở xa, các hình ảnh ba chiều trong bộ nhớ của máy tính được chiếu lên một màn hình hình chữ nhật từ điểm nhìn của mắt hoặc máy chiếu.

Đề bài

Trong các chương trình đồ hoạ máy tính, để tạo ảo giác theo đúng phối cảnh, các vật ở càng gần thì càng lớn hơn các vật ở xa, các hình ảnh ba chiều trong bộ nhớ của máy tính được chiếu lên một màn hình hình chữ nhật từ điểm nhìn của mắt hoặc máy chiếu.

Không gian quan sát, một phần của không gian được nhìn thấy là vùng nằm trong bốn mặt phẳng đi qua điểm nhìn và một đường biên của màn hình. Nếu vật trong cảnh vật mở rộng vượt quá bốn mặt phẳng này thì chúng phải được cắt xén trước khi dữ liệu điểm ảnh được gửi đến màn hình. Vì vậy các mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng cắt. Giả sử màn hình được biểu diễn bởi hình chữ nhật trong mặt phẳng Oyz với các đỉnh (0; 400; 0), (0; −400; 0), (0; 400; 600), (0; −400; 600) và máy quay được đặt tại (1000; 0; 0). Tính góc giữa màn hình và các mặt phẳng cắt.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xác định mặt phẳng chứa màn hình dựa trên các điểm đã cho.

- Xác định các mặt phẳng cắt đi qua điểm máy quay và các cạnh của màn hình.

- Tính góc giữa mặt phẳng chứa màn hình và từng mặt phẳng cắt bằng công thức góc giữa hai mặt phẳng: \(\cos \theta = \frac{{|{{\vec n}_{{\rm{screen}}}} \cdot {{\vec n}_{{\rm{cut}}}}|}}{{|{{\vec n}_{{\rm{screen}}}}||{{\vec n}_{{\rm{cut}}}}|}}\)_.

Lời giải chi tiết

- Các điểm \(A = (0;400;0)\), \(B = (0; - 400;0)\), \(C = (0;400;600)\), và \(D = (0; - 400;600)\) đều nằm trong mặt phẳng Oyz, do đó phương trình của mặt phẳng chứa màn hình là: \(x = 0\)

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;0;0)\).

- Điểm máy quay \(O = (1000;0;0)\).

* Mặt phẳng cắt qua điểm O và cạnh AB:

- Vectơ \(\overrightarrow {OA} = ( - 1000;400;0)\), \(\overrightarrow {OB} = ( - 1000; - 400;0)\)

- Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} \) của mặt phẳng này là tích có hướng của \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \):

\(\overrightarrow {{n_2}} = \overrightarrow {OA} \times \overrightarrow {OB} = (0;0;800000)\)

- Đơn giản hóa, ta có \(\overrightarrow {{n_2}} = (0;0;1)\).

* Mặt phẳng cắt qua điểm O và cạnh BC:

- Vectơ \(\overrightarrow {OB} = ( - 1000; - 400;0)\), \(\overrightarrow {OC} = ( - 1000;400;600)\)

- Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_3}} \) của mặt phẳng này:

\(\overrightarrow {{n_3}} = \overrightarrow {OB} \times \overrightarrow {OC} = ( - 240000;600000; - 800000)\)

- Đơn giản hóa, ta có \(\overrightarrow {{n_3}} = ( - 6;15; - 20)\).

* Mặt phẳng cắt qua điểm O và cạnh AD:

- Vectơ \(\overrightarrow {OA} = ( - 1000;400;0)\), \(\overrightarrow {OD} = ( - 1000; - 400;600)\)

- Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_4}} \) của mặt phẳng này là tích có hướng của \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \):

\(\overrightarrow {{n_4}} = \overrightarrow {OA} \times \overrightarrow {OD} = (240000;600000;800000)\)

- Đơn giản hóa, ta có \(\overrightarrow {{n_4}} = (6;15;20)\).

* Mặt phẳng cắt qua điểm O và cạnh DC:

- Vectơ \(\overrightarrow {OD} = ( - 1000; - 400;600)\), \(\overrightarrow {OC} = ( - 1000;400;600)\)

- Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_5}} \) của mặt phẳng này:

\(\overrightarrow {{n_5}} = \overrightarrow {OB} \times \overrightarrow {OC} = ( - 480000;0; - 800000)\)

- Đơn giản hóa, ta có \(\overrightarrow {{n_5}} = ( - 3;0; - 5)\).

* Tính góc giữa mặt phẳng chứa màn hình và các mặt phẳng cắt:

- Góc giữa mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng qua cạnh AB:

\(\cos {\theta _1} = \frac{{|\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} |}}{{|\overrightarrow {{n_1}} ||\overrightarrow {{n_2}} |}} = \frac{{|(1;0;0) \cdot (0;0;1)|}}{{1 \cdot 1}} = 0\) \( \Rightarrow {\theta _1} = {90^\circ }\).

- Góc giữa mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng qua cạnh BC:

\(\cos {\theta _2} = \frac{{|\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_3}} |}}{{|\overrightarrow {{n_1}} ||\overrightarrow {{n_3}} |}} = \frac{{|(1;0;0) \cdot ( - 6;15; - 20)|}}{{1 \cdot \sqrt {{{( - 6)}^2} + {{15}^2} + {{( - 20)}^2}} }} = \frac{{ - 6}}{{\sqrt {661} }} \approx 0,2334\) \( \Rightarrow {\theta _2} \approx 103,{5^\circ }\).

- Góc giữa mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng qua cạnh AD:

\(\cos {\theta _2} = \frac{{|\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_4}} |}}{{|\overrightarrow {{n_1}} ||\overrightarrow {{n_4}} |}} = \frac{{|(1;0;0) \cdot (6;15;20)|}}{{1 \cdot \sqrt {{6^2} + {{15}^2} + {{20}^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {661} }} \approx 0,2334\) \( \Rightarrow {\theta _3} \approx 76,{5^\circ }\).

- Góc giữa mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng qua cạnh DC:

\(\cos {\theta _2} = \frac{{|\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_5}} |}}{{|\overrightarrow {{n_1}} ||\overrightarrow {{n_5}} |}} = \frac{{|(1;0;0) \cdot ( - 3;0; - 5)|}}{{1 \cdot \sqrt {{{( - 3)}^2} + {{( - 5)}^2}} }} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {34} }} \approx 0,5145\) \( \Rightarrow {\theta _5} \approx 120,{96^\circ }\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 5.41 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một sân hình chữ nhật ABCD có chiều dài AD = 20 m, chiều rộng AB = 15 m. Người ta đặt một camera ở độ cao 5 m trên một cây cột vuông góc với mặt sân tại A, biết camera có bán kính quan sát là 25 m. Xét hệ trục toạ độ Oxyz với gốc toạ độ O trùng với điểm A chân cột, các tia Ox, Oy lần lượt chứa các cạnh AB, AD của sân và tia Oz chứa cây cột.
Giải bài tập 5.42 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một tháp phát sóng cao 50 m đặt ở góc A của sân hình chữ nhật ABCD. Để giữ cho tháp không bị đổ, người ta có cột rất nhiều dây cáp quanh tháp và cố định tại các vị trí trên mặt đất. Hai chú kiến vàng và kiến đen bắt đầu leo lên hai dây cáp CM và BN (từ C và B) với vận tốc lần lượt là 3 m/phút và 2,5 m/phút. Hỏi sau 10 phút thì hai chú kiến cách nhau bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Giải bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1, với A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\). b) Chứng minh \((AB'D')//(C'BD)\)và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((C'BD)\). c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\).
Giải bài tập 5.44 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 2). a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). b) Tính sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB). c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Giải bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai điểm A(1; 3; 0) và B(5; 1; −2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
Giải bài tập 5.46 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho mặt phẳng (left( alpha right)) đi qua điểm M(0; 0; −1), có cặp vectơ chỉ phương là (vec a = left( { - 1;2; - 3} right)) và (vec b = left( {3;0;5} right)). Phương trình của mặt phẳng (left( alpha right)) là
Giải bài tập 5.47 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho ba điểm A(3; 0; 1), B(0; 2; 1), C(1; 0; 0). Phương trình của mặt phẳng (ABC) là A. \(2x - 3y - 4z + 2 = 0\) B. \(2x + 3y - 4z - 2 = 0\) C. \(4x + 6y - 8z + 2 = 0\) D. \(2x - 3y - 4z + 1 = 0\)
Giải bài tập 5.48 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho điểm M(3; −1; −2) và mặt phẳng \((\alpha )\): 3x − y + 2z + 4 = 0. Mặt phẳng đi qua M và song song với \((\alpha )\)có phương trình là A. \(3x + y - 2z - 14 = 0\) B. \(3x - y + 2z + 6 = 0\) C. \(3x - y + 2z - 6 = 0\) D. \(3x - y - 2z + 6 = 0\)
Giải bài tập 5.49 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho mặt phẳng ((alpha )): 2x + y − 3z + 8 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng ((alpha ))? A. x – 3y + 3z – 7 = 0 B. 3x – 3y + z – 7 = 0 C. x + 2y – z – 8 = 0 D. x – 2y + z + 8 = 0
Giải bài tập 5.50 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(2;0; - 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2; - 3;1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là: \({\rm{A}}{\rm{. }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 4t}\\{y = - 6t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\) \({\rm{B}}{\rm{. }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t}\\{y = - 3}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\) \({\rm{C}}{\rm{. }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 +
Giải bài tập 5.51 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai điểm \(A(1; - 2; - 3)\), \(B( - 1;4;1)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{2}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với \(d\)? \({\rm{A}}{\rm{. }}d':\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\) \({\rm{B}}{\rm{. }}d':\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\) \({\rm{C}}{\rm{. }}d':\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\)
Giải bài tập 5.52 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai điểm \(M(1; - 1; - 1)\) và \(N(5;5;1)\). Đường thẳng MN có phương trình là: A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = 5 + 3t}\\{z = - 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})}\end{array}} \right.\) B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + t}\\{y = 5 + 2t}\\{z = 1 + 3t\quad (t \in \mathbb{R})}\end{array}} \right.\) C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 + 3t}\\{z = - 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})}\end{array}} \right.\) D. \(\left\{ {\begin{array}{*{
Giải bài tập 5.53 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 3 + 4t\quad (t \in \mathbb{R})}\end{array}} \right.\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t'}\\{y = 5 + 6t'}\\{z = 7 + 8t'\quad (t' \in \mathbb{R})}\end{array}} \right.\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau. B. \({d_1}\parallel {d_2}\). C. \({d_1} \equiv {d_2}\). D. \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.
Giải bài tập 5.54 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Phương trình mặt cầu tâm \(I(2;1; - 1)\), bán kính \(R = 2\) là: A. \({(x + 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 1)^2} = 4\). B. \({(x + 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 1)^2} = 2\). C. \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 1)^2} = 2\). D. \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 1)^2} = 4\).
Giải bài tập 5.55 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho mặt cầu ((S):{x^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 6). Đường kính của ((S)) bằng: A. (3). B. (sqrt 6 ). C. (2sqrt 6 ). D. 12.
Giải bài tập 5.56 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 22 = 0\) đến mặt phẳng \((\alpha ):3x - 2y + 6z + 14 = 0\) bằng: A. \(1\). B. \(2\). C. \(3\). D. \(4\).
Giải bài tập 5.57 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 6}}{2}\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 2 - 6t}\end{array}} \right.\) (với \(t \in \mathbb{R}\)). Khi đó \(\cos (d,d')\) bằng: A. \(\frac{{20}}{{21}}\). B. \(\frac{4}{{21}}\). C. \( - \frac{4}{{21}}\). D. \( - \frac{{20}}{{21}}\).
Giải bài tập 5.58 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Góc giữa hai mặt phẳng ((alpha ):x + 2y + 2z - 1 = 0) và ((beta ):7x - 8y - 15z + 3 = 0) bằng: A. ({135^circ }) B. ({45^circ }) C. ({60^circ }) D. ({120^circ })
Giải bài tập 5.59 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Góc giữa đường thẳng (d:frac{x}{1} = frac{{y - 1}}{2} = frac{z}{1}) và mặt phẳng ((alpha ):4x + 3y + 5z - 4 = 0) bằng: A. ({30^circ }) B. ({120^circ }) C. ({60^circ }) D. ({150^circ })
Giải bài tập 5.39 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Người ta mô phỏng thiết kế của một bình chứa nhiên liệu có dạng một hình chóp cụt tứ giác đều trong hệ trục Oxyz như Hình 5.39 với (S(0;0;0)), (P(10;0;0)), (Q(10;10;0)), (R(8;8;12)), (T(2;2;12)). a) Viết phương trình các mặt phẳng chứa các mặt bên của bình. b) Tính (sin ) của góc giữa cạnh bên và mặt đáy. c) Tính (cos ) của góc giữa các mặt bên.
Giải bài tập 5.38 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB, biết rằng A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7). a) Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S). b) Viết phương trình của mặt cầu (S).
Giải bài tập 5.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho mặt phẳng (\(\alpha \)): 2x − y + 2z + 11 = 0 và điểm M(1; −1; 2). a) Viết phương trình mặt phẳng (\(\beta \)) chứa điểm M và song song với (\(\alpha \)). b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (\(\alpha \)).
Giải bài tập 5.36 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình tham số của đường thẳng a) Đi qua hai điểm (A(1;0; - 3)) và (B( - 3;1;0)). b) Đi qua điểm (M(2;3; - 5)) và song song với đường thẳng (Delta ): (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 2t}{y = 3 - 4t}{z = - 5tquad (t in mathbb{R})}end{array}} right.)
Giải bài tập 5.35 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1). Tìm góc giữa: a) Hai mặt phẳng (ABC) và (BCD); b) Hai đường thẳng AB và CD; c) Đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).
Giải bài tập 5.34 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho bốn điểm A(−2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; −1), D(1; 4; 0). a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra A.BCD là một hình chóp. b) Tính chiều cao AH của hình chóp A.BCD. c) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa AB và song song với CD.