Giải bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá


Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1, với A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\). b) Chứng minh \((AB'D')//(C'BD)\)và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((C'BD)\). c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\).

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1, với A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A’(0; 0; 1).

a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\).

b) Chứng minh \((AB'D')//(C'BD)\)và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((C'BD)\).

c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

- Tìm véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng tích có hướng của hai véc-tơ trong mặt phẳng.

- Kiểm tra tích vô hướng giữa véc-tơ chỉ phương của đường thẳng và véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Nếu tích vô hướng bằng 0, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

b) Chứng minh hai mặt phẳng song song và tính khoảng cách:

- Tìm véc-tơ pháp tuyến của từng mặt phẳng. Nếu hai véc-tơ pháp tuyến cùng phương, hai mặt phẳng song song.

- Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng:

- Tìm véc-tơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng.

- Dùng công thức  để tính góc giữa hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Các đỉnh còn lại có toạ độ là: \(C(1;1;0)\), \(B'(0;1;1)\), \(C'(1;1;1)\), \(D'(1;0;1)\)

a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\)

Véc-tơ pháp tuyến của \((AB'D')\):

\(\overrightarrow {AB'}  = (0;1;1),\quad \overrightarrow {AD'}  = (1;0;1)\)

\({\vec n_{(AB'D')}} = \overrightarrow {AB'}  \times \overrightarrow {AD'}  = (1;1; - 1)\)

Mà ta có: \(\overrightarrow {A'C}  = (1;1; - 1)\)trùng với vec-tơ pháp tuyến của \((AB'D')\)

Vậy \(A'C \bot (AB'D')\).

b) Chứng minh \((AB'D')\parallel (C'BD)\) và tính khoảng cách

Véc-tơ pháp tuyến của \((C'BD)\):

\(\overrightarrow {C'B}  = ( - 1;0; - 1),\quad \overrightarrow {C'D}  = (0; - 1; - 1)\)

\({\vec n_{(C'BD)}} = \overrightarrow {C'B}  \times \overrightarrow {C'D}  = ( - 1; - 1;1)\)

Hai véc-tơ pháp tuyến \({\vec n_{(AB'D')}}\) và \({\vec n_{(C'BD)}}\) cùng phương nên \((AB'D')\parallel (C'BD)\).

* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng:

Chọn điểm \(A(0,0,0)\) thuộc \((AB'D')\).

Phương trình \((C'BD)\): \(1.(x - 0) - 1.(y - 1) - (z - 0) = 0 \Leftrightarrow x - y - z + 1 = 0\).

\(d = \frac{{|0 \cdot 1 - 0 \cdot 1 - 0 \cdot ( - 1) + 1|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

c) Tính \(\cos \theta \) giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\)

- Véc-tơ pháp tuyến của \((DA'C')\):

\(\overrightarrow {DA'}  = ( - 1;0;1),\quad \overrightarrow {DC'}  = (0;1;1)\)

\({\vec n_{(DA'C')}} = \overrightarrow {DA'}  \times \overrightarrow {DC'}  = ( - 1;1; - 1)\)

Véc-tơ pháp tuyến của \((ABB'A')\):

\(\overrightarrow {AB}  = (0,1,0),\quad \overrightarrow {AA'}  = (0,0,1)\)

\({\vec n_{(ABB'A')}} = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AA'}  = (1,0,0)\)

Tính \(\cos \theta \):

\({\vec n_{(DA'C')}} \cdot {\vec n_{(ABB'A')}} = ( - 1;1; - 1) \cdot (1;0;0) =  - 1\)

\(\cos \theta  = \frac{{| - 1|}}{{\sqrt 3  \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải bài tập 5.44 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 2). a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). b) Tính sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB). c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

  • Giải bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho hai điểm A(1; 3; 0) và B(5; 1; −2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

  • Giải bài tập 5.46 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho mặt phẳng (left( alpha right)) đi qua điểm M(0; 0; −1), có cặp vectơ chỉ phương là (vec a = left( { - 1;2; - 3} right)) và (vec b = left( {3;0;5} right)). Phương trình của mặt phẳng (left( alpha right)) là

  • Giải bài tập 5.47 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho ba điểm A(3; 0; 1), B(0; 2; 1), C(1; 0; 0). Phương trình của mặt phẳng (ABC) là A. \(2x - 3y - 4z + 2 = 0\) B. \(2x + 3y - 4z - 2 = 0\) C. \(4x + 6y - 8z + 2 = 0\) D. \(2x - 3y - 4z + 1 = 0\)

  • Giải bài tập 5.48 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho điểm M(3; −1; −2) và mặt phẳng \((\alpha )\): 3x − y + 2z + 4 = 0. Mặt phẳng đi qua M và song song với \((\alpha )\)có phương trình là A. \(3x + y - 2z - 14 = 0\) B. \(3x - y + 2z + 6 = 0\) C. \(3x - y + 2z - 6 = 0\) D. \(3x - y - 2z + 6 = 0\)

>> Xem thêm

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí