Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá>
Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem (t = 0) là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số (T(t)). Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi (T'(t) = - frac{3}{2}{e^{ - frac{t}{{50}}}})(°C/phút). Tính nhiệt độ của nước tại thời điểm (t = 30) phút.
Đề bài
Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem \(t = 0\) là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số \(T(t)\). Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi \(T'(t) = - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\)(°C/phút). Tính nhiệt độ của nước tại thời điểm \(t = 30\) phút.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính nhiệt độ của nước tại thời điểm \(t = 30\) phút, ta làm như sau:
- Tìm hàm nhiệt độ \(T(t)\) dựa vào hàm \(T'(t) = - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\) bằng cách áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\).
- Xác định C từ điều kiện \(T(0) = 95\).
- Thay \(t = 30\) vào \(T(t)\) và tính nhiệt độ.
Lời giải chi tiết
Ta biết rằng tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm \(t\) phút được cho bởi:
\(T'(t) = - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\).
Để tìm hàm số \(T(t)\), ta sẽ tích phân hàm \(T'(t)\):
\(\int {\left( { - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}} \right)dt} = - \frac{3}{2}\int {\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}.t}}} \right)dt} = - \frac{3}{2}\int {{{\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)}^t}dt} \)
\( = - \frac{3}{2}.\frac{{\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)t}}{{\ln \left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)}} + C = - \frac{3}{2}.\frac{{\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)t}}{{^{ - \frac{1}{{50}}}}} + C = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + C\).
Vậy hàm số \(T(t)\) có dạng:
\(T(t) = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + C\).
Theo đề bài khi \(t = 0\) phút, nhiệt độ của nước là 95°C:
\(T(0) = 95\)
\(95 = 75{e^0} + C\)
\(95 = 75 + C\)
\(C = 20\).
Vậy hàm số \(T(t)\) là:
\(T(t) = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + 20\).
Thay \(t = 30\) vào hàm số \(T(t)\):
\(T(30) = 75{e^{ - \frac{{30}}{{50}}}} + 20 = 75{e^{ - \frac{3}{5}}} + 20 \approx 61,16\).
Vậy nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm \(t = 30\) phút là khoảng \(61,16^\circ C\).


- Giải bài tập 4.8 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 4.6 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 4.5 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 4.4 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
>> Xem thêm
Các bài khác cùng chuyên mục
- Giải bài tập 6.20 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.19 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.18 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.17 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.16 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.20 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.19 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.18 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.17 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.16 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá