Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá Bài 1. Nguyên hàm - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Cùng khám phá


1. Khái niệm nguyên hàm

1. Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Chú ý:

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao chp G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + với C thuộc R là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu \(\int {f(x)dx}  = F(x) + C\).

Ví dụ: Chứng minh \(\int {kdx}  = kx + C\) với k là hằng số khác 0.

Giải:

Ta có \((kx)' = k\) nên \(F(x) = kx\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = k\).

Vậy \(\int {kdx}  = kx + C\).

Nhận xét:

Ta có \(\int {0dx}  = C\), \(\int {dx}  = \int {1dx}  = x + C\).

2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

+ \(\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C(\alpha  \ne  - 1)} \)

+ \(\int {\frac{1}{x}x = \ln \left| x \right| + C} \)

Ví dụ:

a) \(\int {{x^5}dx}  = \frac{1}{6}{x^6} + C\).

b) \(\int {{x^{\sqrt 2 }}dx}  = \frac{1}{{\sqrt 2  + 1}}{x^{\sqrt 2  + 1}} + C\).

c) \(\int {{x^{ - 1}}dx}  = \int {\frac{1}{x}dx = } \ln \left| x \right| + C\).

Nguyên hàm của hàm số mũ

+ \(\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \)

+ \(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)} \)

Ví dụ:

a) \(\int {{4^x}dx}  = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C\).

b) \(\int {{e^{3x}}dx}  = \int {{{\left( {{e^3}} \right)}^x}dx}  = \frac{{{{\left( {{e^3}} \right)}^x}}}{{\ln {e^3}}} + C = \frac{1}{3}{e^{3x}} + C\).

c) \(\int {{2^x}{{.3}^x}dx}  = \int {{6^x}dx}  = \frac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + C\).

Nguyên hàm của hàm số lượng giác

+ \(\int {\cos xdx = \sin x + C} \)

+ \(\int {\sin xdx =  - \cos x + C} \)

+ \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \)

+ \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx =  - \cot x + C} \)

Ví dụ:

a) \(\int {(1 + {{\tan }^2}x)dx}  = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \tan x + C\).

b) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx, biết \(F(2\pi ) = 0\).

Ta có \(\int {\sin xdx}  =  - \cos x + C\).

F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx nên có dạng F(x) = -cosx + C.

Vì \(F(2\pi ) = 0\) nên \( - \cos 2\pi  + C = 0\) hay \( - 1 + C = 0\), suy ra C = 1.

Vậy F(x) = 1 – cosx.

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K thì:

+ \(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx(k \ne 0)} } \)

+ \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } \)

+ \(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx - \int {g(x)dx} } \)

Ví dụ:

a) \(\int {6{x^3}dx}  = 6\int {{x^3}dx}  = 6.\frac{{{x^4}}}{4} + C = \frac{3}{2}{x^4} + C\).

b) \(\int {(3{x^2} - \cos x)dx}  = 3\int {{x^2}dx}  - \int {\cos xdx}  = {x^3} - \sin x + C\).

c) \(\int {\left( {\frac{2}{{{{\cos }^2}x}} - {5^x}} \right)dx}  = 2\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  - \int {{5^x}dx}  = 2\tan x - \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store