Giải mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3}$.

b) Tính đạo hàm của hàm số $y = \ln \left| x \right|$trên các khoảng $( - \infty ;0)$ và $(0; + \infty )$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số đa thức:

$\frac{d}{{dx}}(a{x^n}) = a \cdot n \cdot {x^{n - 1}}$

b) Chia bài toán thành các khoảng, áp dụng công thức sau để tính đạo hàm của hàm logarit cho từng khoảng.

$\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}$

Lời giải chi tiết:

a)

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng $a{x^n}$, với $a = \frac{1}{3}$ và $n = 3$, ta có:

$\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{3}{x^3}} \right) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {x^{3 - 1}} = {x^2}$

b)

Trên khoảng $(0, + \infty )$:, $|x| = x$. Do đó, hàm số trở thành $y = \ln x$. Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số $\ln x$, ta có:

                                  $\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}$

Trên khoảng $( - \infty ,0)$, $|x| =  - x$. Do đó, hàm số trở thành $y = \ln ( - x)$. Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số $\ln ( - x)$, ta có:

$\frac{d}{{dx}}(\ln ( - x)) = \frac{1}{{ - x}} \cdot ( - 1) = \frac{1}{x}$

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 5 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm

a) $\int {{x^{\frac{2}{3}}}dx;}$

b) $\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} dx$.

Phương pháp giải:

a) Để tính tích phân của hàm số dạng ${x^n}$, với $n \ne  - 1$, ta sử dụng quy tắc tích phân cơ bản: $\int {{x^n}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$.

 trong đó $C$ là hằng số tích phân.

b) Để tính tích phân của hàm số dạng $\frac{1}{{{x^n}}}$, ta chuyển hàm số này thành dạng ${x^{ - n}}$ và sử dụng quy tắc tích phân cơ bản.

Lời giải chi tiết:

a) Tính tích phân

$\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx$

Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số dạng ${x^n}$, với $n = \frac{2}{3}$:

$\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}} + C$

Tính $\frac{2}{3} + 1$:

$\frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}$

Do đó:

$\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} + C = \frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + C$

b) Tính tích phân

$\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} {\mkern 1mu} dx$

 Chuyển biểu thức $\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}$ thành dạng ${x^n}$:

$\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }} = {x^{ - \frac{3}{2}}}$

 Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số ${x^n}$, với $n =  - \frac{3}{2}$:

$\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}} + C$

 Tính $- \frac{3}{2} + 1$:

$- \frac{3}{2} + 1 =  - \frac{3}{2} + \frac{2}{2} =  - \frac{1}{2}$

 Do đó:

$\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{1}{2}}}}}{{ - \frac{1}{2}}} + C =  - 2{x^{ - \frac{1}{2}}} + C$

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Chứng minh hàm số $F(x) = {e^x} + 3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^x}$.

b) Chứng minh hàm số $F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {2^x}$.

Phương pháp giải:

Để chứng minh rằng một hàm số F(x) là một nguyên hàm của một hàm số f(x), ta cần chỉ ra rằng đạo hàm của F(x) bằng f(x).

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh hàm số $F(x) = {e^x} + 3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^x}$.

Để chứng minh rằng hàm số $F(x) = {e^x} + 3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^x}$, ta cần kiểm tra đạo hàm của $F(x)$. Tính đạo hàm của $F(x)$:

$\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = \frac{d}{{dx}}({e^x}) + \frac{d}{{dx}}(3)$

$\frac{d}{{dx}}({e^x}) = {e^x}{\rm{ và  }}\frac{d}{{dx}}(3) = 0$

$\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} + 0 = {e^x}$

 Vậy:

$\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} = f(x)$

Do đó, $F(x) = {e^x} + 3$ là một nguyên hàm của $f(x) = {e^x}$.

b) Chứng minh hàm số $F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {2^x}$.

Để chứng minh rằng hàm số $F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {2^x}$, ta cần kiểm tra đạo hàm của $F(x)$. Tính đạo hàm của $F(x)$:

$\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot \frac{d}{{dx}}({2^x})$

$\frac{d}{{dx}}({2^x}) = {2^x} \cdot \ln 2$

$\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot ({2^x} \cdot \ln 2) = {2^x}$

Vậy:

$\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = {2^x} = f(x)$

Do đó, $F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}$ là một nguyên hàm của $f(x) = {2^x}$.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm

a) $\int {\frac{1}{{{3^x}}}dx;}$

b) $\int {{e^{ - x}}} dx;$

c) $\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}dx}$.

Phương pháp giải:

a) Để tính tích phân của hàm số dạng $\frac{1}{{{a^x}}}$, ta có thể viết nó dưới dạng ${a^{ - x}}$. Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số ${a^x}$, ta có:

$\int {{a^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^{ - x}}}}{{ - \ln a}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

b) Để tính tích phân của hàm số ${e^{ - x}}$, ta sử dụng quy tắc tích phân cho hàm số ${e^x}$. Đạo hàm của ${e^{ - x}}$ là $- {e^{ - x}}$, vì vậy ta cần điều chỉnh dấu trong tích phân.

c) Để tính tích phân của hàm số dạng $\frac{{{a^x}}}{{{b^x}}}$, ta có thể viết nó dưới dạng ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^x}$. Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số ${a^x}$, ta có:

$\int {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{a}{b}} \right)}} + C$

Lời giải chi tiết:

a)

Chuyển biểu thức $\frac{1}{{{3^x}}}$ thành dạng ${3^{ - x}}$:

$\frac{1}{{{3^x}}} = {3^{ - x}}$

Áp dụng quy tắc tích phân:

$\int {{3^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{ - x}}}}{{ - \ln 3}} + C$

Kết quả:

$\int {\frac{1}{{{3^x}}}} {\mkern 1mu} dx =  - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C$

b)

Áp dụng quy tắc tích phân vào:

$\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx$

Đạo hàm của ${e^{ - x}}$ là $- {e^{ - x}}$, do đó:

$\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx =  - {e^{ - x}} + C$

Kết quả:

$\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx =  - {e^{ - x}} + C$

c)

Ta có:

$\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}$

Áp dụng quy tắc tích phân vào:

$\int {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C$

Kết quả:

$\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C$

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f(x) = {3^x}$ biết $F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2$.

Phương pháp giải:

- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ với cơ số a, tức là $\int {{a^x}dx}$ với a>0 và a≠1.

- Sau khi tìm được nguyên hàm tổng quát, sử dụng điều kiện F(0) để xác định hằng số tích phân C.

Lời giải chi tiết:

Tính nguyên hàm của hàm số ${3^x}$:

$\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx$

- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ ${a^x}$:

$\int {{a^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$

- Với $a = 3$, ta có:

$\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$

Sử dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân:

- Điều kiện ban đầu là $F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2$. Thay $x = 0$ vào nguyên hàm tổng quát:

$F(0) = \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}} + C$

- Vì ${3^0} = 1$, ta có:

$F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + C$

- Theo điều kiện ban đầu:

$\frac{1}{{\ln 3}} + C = \frac{1}{{\ln 3}} + 2$

Kết quả:

$F(x) = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + 2$

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \sin x;$

b) $y =  - \cos x;$

c) $y = \tan x;$

d) $y =  - \cot x$.

Phương pháp giải:

Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Đạo hàm của hàm số $y = \sin x$:

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số $\sin x$, ta có:

$\frac{d}{{dx}}(\sin x) = \cos x$

b) Đạo hàm của hàm số $y =  - \cos x$:

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số $- \cos x$, ta có:

$\frac{d}{{dx}}( - \cos x) =  - \frac{d}{{dx}}(\cos x) =  - ( - \sin x) = \sin x$

c) Đạo hàm của hàm số $y = \tan x$:

Hàm số $\tan x$ có thể viết lại dưới dạng $\frac{{\sin x}}{{\cos x}}$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng $\frac{u}{v}$ với $u = \sin x$ và $v = \cos x$, ta có:

$\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) = \frac{{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot ( - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$

d) Đạo hàm của hàm số $y =  - \cot x$:

Hàm số $\cot x$ có thể viết lại dưới dạng $\frac{{\cos x}}{{\sin x}}$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng $\frac{u}{v}$ với $u = \cos x$ và $v = \sin x$, ta có:

$\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right) = \frac{{\sin x \cdot ( - \sin x) - \cos x \cdot \cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}$

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho $G(x)$ là nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ thoả mãn $G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$. Tính $G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp tích phân để tìm nguyên hàm của hàm số.

- Áp dụng điều kiện ban đầu $G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$ để tìm hằng số tích phân.

- Tính giá trị của $G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của $g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ là $G(x) =  - \cot x + C$, trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Ta có điều kiện $G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$, do đó:

$G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) =  - \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0$

Vậy nguyên hàm cần tìm là:

$G(x) =  - \cot x$

$G\left( {\frac{\pi }{4}} \right) =  - \cot \left( {\frac{\pi }{4}} \right) =  - 1$

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ 1°C. Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm 𝑡 phút (0≤ 𝑡 ≤5) được cho bởi hàm số $$f(t) = 3{t^2}$$ (°C/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm 𝑡 là một nguyên hàm của hàm số $$f(t)$$ , tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.

Phương pháp giải:

- Tìm nguyên hàm của hàm số $f(t) = 3{t^2}$ để xác định nhiệt độ $T(t)$ tại thời điểm $t$.

- Sử dụng điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu là ${1^\circ }C$ để tìm hằng số tích phân.

- Tính nhiệt độ tại thời điểm $t = 3$ phút.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(t) = 3{t^2}$ là:

$T(t) = \int 3 {t^2}{\mkern 1mu} dt = {t^3} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Ta có điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm t = 0 là ${1^\circ }C$, do đó:

$T(0) = {0^3} + C = 1 \Rightarrow C = 1$

Vậy nhiệt độ tại thời điểm $t$ phút là:

$T(t) = {t^3} + 1$

Tính nhiệt độ tại thời điểm $t = 3$ phút:

$T(3) = {3^3} + 1 = 27 + 1 = {28^\circ }C$