Giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Tìm: a) \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\) b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) c) \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\)

Đề bài

Tìm:

a) \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\)

b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)

c) \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các phương pháp tích phân từng phần, đổi biến và áp dụng các công thức tích phân cơ bản.

Lời giải chi tiết

a) Để tính \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\), ta sử dụng phép đổi biến \({4^{\frac{x}{2}}} = {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\), do đó:

\(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{2^x}du} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)

b) Tích phân \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) có thể được viết lại dưới dạng:

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = \int {\frac{1}{{{{\left( {\sin x\cos x} \right)}^2}}}dx = \int {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}} } dx\)

Đặt \(u = 2x\) suy ra \(du = 2dx\), do đó:

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}u}}} du = - 2\cot u + C = - 2\cot 2x + C\)

c) Tích phân \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\) có thể được tách ra thành hai tích phân riêng:

\(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2\int {{e^x}} dx + \frac{1}{3}\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} \)

Tính từng tích phân:

\(2\int {{e^x}} dx = 2{e^x} + {C_1},\quad \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} x{\mkern 1mu} dx = \frac{1}{3}\tan x + {C_2}\)

Vậy kết quả là:

\(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2{e^x} + \frac{1}{3}\tan x + C\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 4.8 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cường độ dòng điện (đơn vị: A) trong một dây dẫn tại thời điểm t giây là: \(I(t) = Q'(t) = 3{t^2} - 6t + 5\), Với \(Q(t)\) là điện lượng (đơn vị: C) truyền trong dây dẫn tại thời điểm t. Biết khi \(t = 1\) giây, điện lượng truyền trong dây dẫn là \(Q(1) = 4\). Tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi \(t = 3\).
Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem \(t = 0\) là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số \(T(t)\). Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi \(T'(t) = - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\)(°C/phút). Tính nhiệt độ của nước tại thời điểm \(t = 30\) phút.
Giải bài tập 4.6 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(f(x) = 3x(1 - x)\) b) \(f(x) = {3^{2x}}\) c) \(f(x) = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{{x^2}}}\) d) \(f(x) = {(2x - 1)^2}\)
Giải bài tập 4.5 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Biết \(F(x) = {e^x} + {x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(f'(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Tìm \(\int {f'} (x){\mkern 1mu} dx\).
Giải bài tập 4.4 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = 2x - {e^x}\), biết \(F(0) = - 2\).
Giải bài tập 4.3 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tìm hàm số (f(x)), biết một nguyên hàm của (f(x)) là: a) (F(x) = xsin x + sqrt 2 ) b) (F(x) = {e^x} - sqrt x )
Giải bài tập 4.2 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a) (f(x) = 4{x^5} + frac{x}{2}) b) (f(x) = 6{x^4} - frac{{{e^x}}}{2} + sin x) c) (f(x) = {5^x} - frac{4}{{xsqrt x }} + 3)
Giải bài tập 4.1 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại? a) (x{e^x}) và ((x - 1){e^x}); b) (frac{1}{2}{ln ^2}x) và (frac{{ln x}}{x}).
Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Giải mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tìm a) \(\int {{x^{\frac{2}{3}}}dx;} \) b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} dx\).
Giải mục 1 trang 2, 3, 4 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một hòn đá được thả rơi tự do từ miệng của một giếng cạn. Biết rằng vận tốc của hòn đá tại thời điểm t giây tính từ lúc bắt đầu thả được tính bởi v(t)=10t (m/s). a) Tìm hàm số s(t) mô tả quãng đường chuyển động (tính theo mét) của hòn đá sau t giây kể từ khi được thả. b) Tính độ sâu của giếng, biết thời gian rơi tự do của hòn đá là 2,2 giây.
Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Cùng khám phá
1. Khái niệm nguyên hàm