Bài 2. Tích phân - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Tích phân Toán 12 Cùng khám phá

1. Khái niệm tích phân Một số bài toán dẫn đến khái niệm tích phân a) Quãng đường đi được của một vật

1. Khái niệm tích phân

Một số bài toán dẫn đến khái niệm tích phân

a) Quãng đường đi được của một vật

Xét một vật chuyển động thẳng với vận tốc v = v(t) (0 < t < T) và không đổi chiều chuyển động. Gọi F(t) là một nguyên hàm bất kỳ của v(t) trên khoảng (0;T) thì quãng đường vật đi được từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là L = F(b) − F(a) với 0 < a < b < T.

b) Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.

Trong trường hợp tổng quát, cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b], người ta chứng minh được rằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b bằng F(b) − F(a), với F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b].

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f(x) = {x^2} + 1\) và các đường thẳng x = -1, x = 2.

Định nghĩa tích phân

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \).

Ta còn dùng ký hiệu F(x) để chỉ hiệu số F(b) − F(a).

Vậy \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}b\\a\end{array}} \right. = F(b) - F(a)\).

Ta gọi \(\int\limits_a^b {} \) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f\left( x \right)dx\) là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Ghi chú:

- Quy ước: \(\int\limits_a^0 {f(x)dx} = 0\), nếu b > a thì \(\int\limits_b^a {f(x)dx} = - \int\limits_a^b {f(x)dx} \).

- Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số dưới dấu tích phân và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t, nghĩa là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(t)dt} \).

- Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì diện tích S của hình thang cong (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b là \(S = \int\limits_a^b {f(x)dx} \).

Ví dụ:

a) \(\int\limits_2^3 {3{x^2}dx} = {x^3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right. = {3^3} - {2^3} = 27 - 8 = 19\).

b) \(\int\limits_2^3 {{e^t}dt} = {e^t}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. = {e^1} - {e^0} = e - 1\).

2. Tính chất của tích phân

+ \(\int\limits_a^b {kf(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} } \) (k là hằng số)

+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx + \int\limits_a^b {g(x)dx} } \)

+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx - \int\limits_a^b {g(x)dx} } \)

+ \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx + \int\limits_c^b {f(x)dx} } } \) (a < c < b)

Ví dụ:

a) Cho \(\int\limits_0^2 {\sqrt {{e^x}} dx} = 2(e - 1)\). Tính \(\int\limits_0^2 {\frac{{\sqrt {{e^x}} }}{2}dx} \).

Ta có \(\int\limits_0^2 {\frac{{\sqrt {{e^x}} }}{2}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {\sqrt {{e^x}} dx} = \frac{1}{2}.2(e - 1) = e - 1\).

b) Tính \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(3\sin x - \cos x)dx} \).

\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(3\sin x - \cos x)dx} = 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} \)

\( = ( - 3\cos x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{2}}\\0\end{array}} \right. - \sin \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{2}}\\0\end{array}} \right. = - 3(0 - 1) - (1 - 0) = 2\).

c) Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [1;3] và \(\int\limits_1^2 {f(x)dx} = \frac{1}{2}\), \(\int\limits_2^3 {f(x)dx} = \frac{3}{2}\), \(\int\limits_1^3 {g(x)dx} = - 1\).

Ta có:

\(\int\limits_1^3 {f(x)dx} = \int\limits_1^2 {f(x)dx} + \int\limits_2^3 {f(x)dx} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2\).

\(\int\limits_1^3 {[2f(x) + g(x)]dx} = 2\int\limits_1^3 {f(x)dx} + \int\limits_1^3 {f(x)dx} = 2.2 - 1 = 3\).

3. Tính tích phân trong một số trường hợp đơn giản

a) \(\int\limits_1^2 {{{(2x - 3)}^2}dx} = \int\limits_1^2 {(4{x^2} - 12x + 9)dx} = 4\int\limits_1^2 {{x^2}dx} - 12\int\limits_1^2 {xdx} + \int\limits_1^2 {9dx} \)

\( = \left( {\frac{4}{3}{x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right. - \left( {6{x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right. + (9x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right. = \frac{1}{3}\).

b) \(\int\limits_{ - 1}^0 {{5^{2x - 1}}dx} = \frac{1}{5}\int\limits_{ - 1}^0 {{5^{2x}}dx} = \frac{1}{5}\int\limits_{ - 1}^0 {{{25}^x}dx} = \frac{{{{25}^x}}}{{5\ln 25}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - 1}\end{array}} \right. = \frac{{24}}{{125\ln 25}}\).

c) \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {(2{{\tan }^2}x + 5)dx} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\left[ {2(1 + {{\tan }^2}x) + 3} \right]dx} = 2\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {3dx} \)

\( = 2(\tan x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - \frac{\pi }{4}}\end{array} + (3x)} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - \frac{\pi }{4}}\end{array}} \right. = \frac{{3\pi + 8}}{4}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 1 trang 11, 12, 13, 14 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc \(v(t) = 3t + 2\) (m/s). Gọi \(s(t)\) là quãng đường vật đi được đến thời điểm \(t\) giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây. a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng \(L = s(5) - s(3)\). b) Gọi \(F(t)\) là một nguyên hàm bất kì của \(v(t)\). So sánh \(L\) và \(F(5) - F(3)\).
Giải mục 2 trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho \(f(x) = 2x\). Tính và so sánh \(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx\).
Giải mục 3 trang 18, 19 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính a) \(\int_1^9 {\frac{{2\sqrt x - {x^2}}}{{{x^3}}}} dx\); b) \(\int_{ - 1}^1 {{e^{x + 2}}} dx\); c) \(\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3 + 2{{\cot }^2}x} \right)} dx\).
Giải bài tập 4.10 trang 19 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Biết (F(x) = sqrt x ) là một nguyên hàm của hàm số (f(x)). Tính (int_1^4 {left[ {2 + f(x)} right]dx} ).
Giải bài tập 4.11 trang 19 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) liên tục trên đoạn \([ - 1;4]\) thỏa mãn \(f( - 1) = 2\), \(f(4) = 7\). Tính \(\int_{ - 1}^4 {f'} (x)dx\).
Giải bài tập 4.12 trang 19 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho các hàm số \(f(x)\), \(g(x)\) liên tục trên đoạn \([ - 1;3]\) thỏa mãn \(\int_{ - 1}^2 f (x)dx = 2\), \(\int_{ - 1}^3 f (x)dx = 6\), và \(\int_{ - 1}^2 g (x)dx = - 1\). Tính: a) \(\int_2^3 f (x)dx\); b) \(I = \int_{ - 1}^2 {\left( {x + 2f(x) - 3g(x)} \right)} dx\).
Giải bài tập 4.13 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính các tích phân sau: a) \(\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx\); b) \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx\); c) \(\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx\); d) \(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx\); e) \(\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx\); g) \(\int_1^4 | 5 - 3x|dx\).
Giải bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một quả bóng được ném lên từ độ cao \(1,5m\) với vận tốc ban đầu \(24m/s\). Biết gia tốc của quả bóng là \(a = - 9,8m/{s^2}\). a) Tính vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi được ném lên. b) Tính quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất lần đầu.
Giải bài tập 4.15 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Đường gấp khúc ABD trong Hình 4.8 là đồ thị vận tốc \(v(t)\) của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động). Trong khoảng thời gian mà \(v < 0\)thì vật chuyển động ngược chiều với khoảng thời gian mà \(v > 0\). a) Viết công thức của hàm số \(v(t)\) với \(t \in [0;9]\). b) Biết rằng quãng đường vật đi chuyển với vận tốc \(v = v(t)\) từ thời điểm \(t = a\) đến thời điểm \(t = b\) là \(s = \int_a^b | v(t)|{\mkern 1mu} dt\), tính quãng đường vật di chuyển được trong 9 giây kể từ khi vật
Giải bài tập 4.16 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một lò xo có chiều dài tự nhiên là \({l_0} = 10{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\)(Hình 4.9a). Để kéo giãn lò xo \(x{\mkern 1mu} ({\rm{m}})\) cần một lực có độ lớn \(f(x) = kx{\mkern 1mu} ({\rm{N}})\), trong đó \(k\) là độ cứng của lò xo và có giá trị không đổi. (Hình 4.9b). a) Tìm \(k\), biết dưới tác dụng của một lực 40 N, lò xo bị giãn và chiều dài của lò xo khi ấy là \({l_1} = 15{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\). b) Nếu một lực có độ lớn \(f(x){\mkern 1mu} ({\rm{N}})\) làm biến dạng lò xo từ độ giãn \(a{\mke
Giải bài tập 4.17 trang 21 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Hiệu suất của tim là lưu lượng máu được bơm bởi tim trên một đơn vị thời gian (lưu lượng máu chảy vào động mạch chủ). Để đo hiệu suất của tim, người ta bơm \(A\) (mg) chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, chảy qua tim rồi vào động mạch chủ và đo nồng độ chất chỉ thị màu còn lại ở tim đến thời điểm \(T(s)\) khi chất chỉ thị màu tan sạch. Gọi \(c(t)\) là nồng độ \(({\rm{mg/l}})\) chất chỉ thị màu tại thời điểm \(t\) (s) thì hiệu suất của tim được xác định bởi: \(F = \frac{A}{{\int_0^T c (t)dt}}{\mk
Giải bài tập 4.18 trang 21 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Ở \({45^^\circ }C\), phản ứng hóa học phân hủy \({N_2}{O_5}\) xảy ra theo phương trình: \({N_2}{O_5} \to 2N{O_2} + \frac{1}{2}{O_2}\) với nồng độ \(c(t)\) (mol/L) của \({N_2}{O_5}\) \((c(t) > 0)\) tại thời điểm \(t\) giây (t \( \ge 0\)) thỏa mãn \(c'(t) = - 0,0005c(t)\). Biết khi \(t = 0\), nồng độ ban đầu của \({N_2}{O_5}\) là 0,05 mol/L. a) Xét hàm số \(y(t) = \ln c(t)\) với \(t \ge 0\). Tính \(y'(t)\), từ đó tìm \(y(t)\). b) Biết rằng nồng độ trung bình của \({N_2}{O_5}\) (mol/L) từ thờ