Bài 2. Tích phân - Toán 12 Cùng khám phá

Giải mục 3 trang 18, 19 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Tính a) \(\int_1^9 {\frac{{2\sqrt x - {x^2}}}{{{x^3}}}} dx\); b) \(\int_{ - 1}^1 {{e^{x + 2}}} dx\); c) \(\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3 + 2{{\cot }^2}x} \right)} dx\).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 18 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính

a) \(\int_1^9 {\frac{{2\sqrt x - {x^2}}}{{{x^3}}}} dx\);

b) \(\int_{ - 1}^1 {{e^{x + 2}}} dx\);

c) \(\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3 + 2{{\cot }^2}x} \right)} dx\).

Phương pháp giải:

a) Phân tách biểu thức trong tích phân thành các phần tử đơn giản hơn rồi sử dụng các công thức cơ bản để tính tích phân.

b) Đối với tích phân này, ta có thể khai triển biểu thức \({e^{x + 2}}\) thành \({e^x}.{e^2}\) sau đó sử dụng các công thức cơ bản để tính tích phân

c) Đối với tích phân của hàm chứa hàm lượng giác, đặc biệt là hàm \({\cot ^2}x\), sử dụng công thức lượng giác liên quan để đơn giản hóa và tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

\(\int_1^9 {\frac{{2\sqrt x - {x^2}}}{{{x^3}}}} dx = \int_1^9 {\left( {\frac{{2\sqrt x }}{{{x^3}}} - \frac{{{x^2}}}{{{x^3}}}} \right)} dx = \int_1^9 {\left( {\frac{2}{{{x^{5/2}}}} - \frac{1}{x}} \right)} dx\)

Tính từng phần:

\(\int_1^9 {\frac{2}{{{x^{5/2}}}}} dx = \left. { - \frac{4}{{3{x^{3/2}}}}} \right|_1^9 = - \frac{4}{{{{3.9}^{3/2}}}} + \frac{4}{{{{3.1}^{3/2}}}} = - \frac{4}{{81}} + \frac{4}{3} = \frac{{108 - 4}}{{81}} = \frac{{104}}{{81}}\)

\(\int_1^9 {\frac{1}{x}} dx = \left. {\ln x} \right|_1^9 = \ln 9 - \ln 1 = \ln 9\)

Vậy:

\(\int_1^9 {\frac{{2\sqrt x - {x^2}}}{{{x^3}}}} dx = \frac{{104}}{{81}} - \ln 9\)

Ta có:

\(I = \int_{ - 1}^1 {{e^{x + 2}}} {\mkern 1mu} dx = \int_{ - 1}^1 {{e^x}} \cdot {e^2}{\mkern 1mu} dx = {e^2}\int_{ - 1}^1 {{e^x}} {\mkern 1mu} dx = {e^2}\left( {\left. {{e^x}} \right|_{ - 1}^1} \right) = {e^2}\left( {{e^1} - {e^{ - 1}}} \right)\)

Mà:

\(I = {e^2}\left( {e - \frac{1}{e}} \right) = {e^2}\left( {\frac{{{e^2} - 1}}{e}} \right)\)

Vậy:

\(I = \frac{{{e^4} - {e^2}}}{e}\)

\(\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3 + 2{{\cot }^2}x} \right)} dx = \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} 3 {\mkern 1mu} dx + 2\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cot }^2}} x{\mkern 1mu} dx\)

Tính phần đầu:

\(\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} 3 {\mkern 1mu} dx = 3\left. x \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} = 3\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 3 \cdot \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4}\)

Đối với phần chứa \({\cot ^2}x\):

\(\int {{{\cot }^2}} x{\mkern 1mu} dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right)} {\mkern 1mu} dx = - \cot x - x\)

Vậy:

\(\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cot }^2}} x{\mkern 1mu} dx = \left. {\left( { - \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} = \left( { - 0 - \frac{\pi }{2}} \right) - \left( { - 1 - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{\pi }{4} + 1\)

Vậy tích phân cần tìm là:

\(\frac{{3\pi }}{4} + 2\left( { - \frac{\pi }{4} + 1} \right) = \frac{{3\pi }}{4} - \frac{\pi }{2} + 2 = \frac{\pi }{4} + 2\)

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 19 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính

a) \(\int_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \);

b) \(\int_{ - 3}^2 {\left| {1 - {x^2}} \right|dx} \).

Phương pháp giải:

Để tính các tích phân có dấu giá trị tuyệt đối, phương pháp tổng quát là:

- Xác định điểm mà hàm số bên trong giá trị tuyệt đối đổi dấu, tức là tìm những điểm mà hàm số bên trong giá trị tuyệt đối bằng 0.

- Chia khoảng tích phân thành các đoạn con, sao cho trên mỗi đoạn, giá trị tuyệt đối có thể được bỏ đi (bằng cách thay thế bằng chính hàm số hoặc lấy ngược dấu hàm số).

- Tính tích phân trên từng đoạn, với biểu thức đã bỏ giá trị tuyệt đối, sau đó cộng các tích phân này lại.

Lời giải chi tiết:

Tìm điểm đổi dấu của hàm số:

\(\cos x = 0{\rm{ khi }}x = \frac{\pi }{2}.\)

Trên đoạn \([0,\frac{\pi }{2}]\), \(\cos x > 0\), và trên đoạn \([\frac{\pi }{2},\pi ]\), \(\cos x < 0\).

Chia khoảng tích phân:

\(\int_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} + \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi { - \cos xdx} .\)

Tính từng tích phân:

\({I_1} = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} = \sin x|_0^{^{\frac{\pi }{2}}} = \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1,\)

\({I_2} = \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi { - \cos xdx} = - \sin x|_{\frac{\pi }{2}}^\pi = - (\sin \pi - \sin \frac{\pi }{2}) = - (0 - 1) = 1.\)

Kết luận:

\(\int_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} = {I_1} + {I_2} = 1 + 1 = 2.\)

Tìm điểm đổi dấu của hàm số:

\(1 - {x^2} = 0{\rm{ khi }}x = \pm 1.\)

Hàm số \(1 - {x^2}\) dương khi \(x \in ( - 1,1)\) và âm khi \(x \in ( - 3, - 1]\) và \(x \in [1,2]\).

Chia khoảng tích phân:

\(\int_{ - 3}^2 {\left| {1 - {x^2}} \right|} dx = \int_{ - 3}^{ - 1} {({x^2} - 1)} dx + \int_{ - 1}^1 {(1 - {x^2})} dx + \int_1^2 {({x^2} - 1)} dx.\)

Tích phân trên đoạn \([ - 3, - 1]\):

\({I_1} = \int_{ - 3}^{ - 1} {({x^2} - 1)} dx = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - x} \right)|_{ - 3}^{ - 1} = \left( {\frac{{{{( - 1)}^3}}}{3} - ( - 1)} \right) - \left( {\frac{{{{( - 3)}^3}}}{3} - ( - 3)} \right)\)

\( = \left( { - \frac{1}{3} + 1} \right) - \left( { - 9 + 3} \right) = \frac{2}{3} - ( - 6) = \frac{2}{3} + 6 = \frac{{20}}{3}.\)

Tích phân trên đoạn \([ - 1,1]\):

\({I_2} = \int_{ - 1}^1 {(1 - {x^2})} ,dx = \left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)|_{ - 1}^1 = \left( {1 - \frac{1}{3}} \right) - \left( { - 1 + \frac{1}{3}} \right)\)

\( = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.\)

Tích phân trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\):

\({I_3} = \int_1^2 {({x^2} - 1)} ,dx = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - x} \right)|_1^2 = \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - 2} \right) - \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - 1} \right)\)

\( = \left( {\frac{8}{3} - 2} \right) - \left( {\frac{1}{3} - 1} \right) = \left( {\frac{8}{3} - \frac{6}{3}} \right) - \left( {\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} \right)\)

\( = \frac{2}{3} - ( - \frac{2}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.\)

Kết luận:

\(\int_{ - 3}^2 {\left| {1 - {x^2}} \right|} dx = {I_1} + {I_2} + {I_3} = \frac{{20}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{{28}}{3}.\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 4.10 trang 19 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Biết (F(x) = sqrt x ) là một nguyên hàm của hàm số (f(x)). Tính (int_1^4 {left[ {2 + f(x)} right]dx} ).
Giải bài tập 4.11 trang 19 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) liên tục trên đoạn \([ - 1;4]\) thỏa mãn \(f( - 1) = 2\), \(f(4) = 7\). Tính \(\int_{ - 1}^4 {f'} (x)dx\).
Giải bài tập 4.12 trang 19 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho các hàm số \(f(x)\), \(g(x)\) liên tục trên đoạn \([ - 1;3]\) thỏa mãn \(\int_{ - 1}^2 f (x)dx = 2\), \(\int_{ - 1}^3 f (x)dx = 6\), và \(\int_{ - 1}^2 g (x)dx = - 1\). Tính: a) \(\int_2^3 f (x)dx\); b) \(I = \int_{ - 1}^2 {\left( {x + 2f(x) - 3g(x)} \right)} dx\).
Giải bài tập 4.13 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính các tích phân sau: a) \(\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx\); b) \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx\); c) \(\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx\); d) \(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx\); e) \(\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx\); g) \(\int_1^4 | 5 - 3x|dx\).
Giải bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một quả bóng được ném lên từ độ cao \(1,5m\) với vận tốc ban đầu \(24m/s\). Biết gia tốc của quả bóng là \(a = - 9,8m/{s^2}\). a) Tính vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi được ném lên. b) Tính quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất lần đầu.
Giải bài tập 4.15 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Đường gấp khúc ABD trong Hình 4.8 là đồ thị vận tốc \(v(t)\) của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động). Trong khoảng thời gian mà \(v < 0\)thì vật chuyển động ngược chiều với khoảng thời gian mà \(v > 0\). a) Viết công thức của hàm số \(v(t)\) với \(t \in [0;9]\). b) Biết rằng quãng đường vật đi chuyển với vận tốc \(v = v(t)\) từ thời điểm \(t = a\) đến thời điểm \(t = b\) là \(s = \int_a^b | v(t)|{\mkern 1mu} dt\), tính quãng đường vật di chuyển được trong 9 giây kể từ khi vật
Giải bài tập 4.16 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một lò xo có chiều dài tự nhiên là \({l_0} = 10{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\)(Hình 4.9a). Để kéo giãn lò xo \(x{\mkern 1mu} ({\rm{m}})\) cần một lực có độ lớn \(f(x) = kx{\mkern 1mu} ({\rm{N}})\), trong đó \(k\) là độ cứng của lò xo và có giá trị không đổi. (Hình 4.9b). a) Tìm \(k\), biết dưới tác dụng của một lực 40 N, lò xo bị giãn và chiều dài của lò xo khi ấy là \({l_1} = 15{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\). b) Nếu một lực có độ lớn \(f(x){\mkern 1mu} ({\rm{N}})\) làm biến dạng lò xo từ độ giãn \(a{\mke
Giải bài tập 4.17 trang 21 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Hiệu suất của tim là lưu lượng máu được bơm bởi tim trên một đơn vị thời gian (lưu lượng máu chảy vào động mạch chủ). Để đo hiệu suất của tim, người ta bơm \(A\) (mg) chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, chảy qua tim rồi vào động mạch chủ và đo nồng độ chất chỉ thị màu còn lại ở tim đến thời điểm \(T(s)\) khi chất chỉ thị màu tan sạch. Gọi \(c(t)\) là nồng độ \(({\rm{mg/l}})\) chất chỉ thị màu tại thời điểm \(t\) (s) thì hiệu suất của tim được xác định bởi: \(F = \frac{A}{{\int_0^T c (t)dt}}{\mk
Giải bài tập 4.18 trang 21 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Ở \({45^^\circ }C\), phản ứng hóa học phân hủy \({N_2}{O_5}\) xảy ra theo phương trình: \({N_2}{O_5} \to 2N{O_2} + \frac{1}{2}{O_2}\) với nồng độ \(c(t)\) (mol/L) của \({N_2}{O_5}\) \((c(t) > 0)\) tại thời điểm \(t\) giây (t \( \ge 0\)) thỏa mãn \(c'(t) = - 0,0005c(t)\). Biết khi \(t = 0\), nồng độ ban đầu của \({N_2}{O_5}\) là 0,05 mol/L. a) Xét hàm số \(y(t) = \ln c(t)\) với \(t \ge 0\). Tính \(y'(t)\), từ đó tìm \(y(t)\). b) Biết rằng nồng độ trung bình của \({N_2}{O_5}\) (mol/L) từ thờ
Giải mục 2 trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho \(f(x) = 2x\). Tính và so sánh \(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx\).
Giải mục 1 trang 11, 12, 13, 14 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc \(v(t) = 3t + 2\) (m/s). Gọi \(s(t)\) là quãng đường vật đi được đến thời điểm \(t\) giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây. a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng \(L = s(5) - s(3)\). b) Gọi \(F(t)\) là một nguyên hàm bất kì của \(v(t)\). So sánh \(L\) và \(F(5) - F(3)\).
Lý thuyết Tích phân Toán 12 Cùng khám phá
1. Khái niệm tích phân Một số bài toán dẫn đến khái niệm tích phân a) Quãng đường đi được của một vật