Giải bài 7.54 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống


Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 2a,AC = 3a\) v

Đã có lời giải SGK Toán lớp 12 - Kết nối tri thức (mới)

Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 2a,AC = 3a\) và số đo của góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \({45^ \circ }\).

a) Tính theo \(a\) khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).

b) Tính theo \(a\) thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính theo a khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).

  • Dựng \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H,AK\) vuông góc với \(A'H\) tại \(K\)
  • Chứng minh  \(AK \bot \left( {A'BC} \right)\), suy ra \(A'H \bot BC\).
  • Góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \(\widehat {AHA'}\), suy ra \(\widehat {AHA'} = {45^ \circ }\) suy ra tam giác \(AHA'\)vuông cân.
  • Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác \(ABC\) tính \(BC\).
  • \(AH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{AB.AC.{\rm{sin}}\widehat {BAC}}}{{BC}}\).
  • \(AK = \frac{1}{2}A'H\).

b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\).

\({V_{ABC,A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot AA'\)

Lời giải chi tiết

a) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H,AK\) vuông góc với \(A'H\) tại \(K\) thì \(AK \bot \left( {A'BC} \right)\), suy ra \(A'H \bot BC\).

Góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \(\widehat {AHA'}\), suy ra \(\widehat {AHA'} = {45^ \circ }\).

Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác \(ABC\), ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB.AC.{\rm{cos}}\widehat {BAC} = 7{a^2}\), suy ra \(BC = a\sqrt 7 \).

Do đó \(AH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{AB.AC.{\rm{sin}}\widehat {BAC}}}{{BC}} = \frac{{3\sqrt {21} }}{7}a\).

Vì tam giác \(AHA'\) vuông cân tại \(A\) nên \(AK = \frac{{A'H}}{2} = \frac{{AH\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\sqrt {42} }}{{14}}a\).

Vậy \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {42} }}{{14}}a\).

b) Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) là \({V_{ABC,A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot AA' = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } \cdot AA' = \frac{{27\sqrt 7 }}{{14}}{a^3}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.