Giải bài 7.21 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\)

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\), cạnh bằng \(a\), góc \(BAD\) bằng \({60^ \circ }\). Kẻ \(OH\) vuông góc với \(SC\) tại \(H\). Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Chứng minh rằng:

a) \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\);

b) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {BDH} \right)\);

c) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SCD} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để chứng minh hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) vuông góc với nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:

Cách 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng , rồi tính trực tiếp góc đó bằng \({90^0}\).

\(\left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) = {90^0} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).

Cách 2. Chứng minh trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

\(\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( \alpha \right)\\a \bot \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).

+ Áp dụng tính chất đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot BD\) mà \(BD \bot AC\), do đó \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) chứa \(BD\) nên \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

b) Ta có \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) nên \(BD \bot SC\) mà \(SC \bot OH\), do đó \(SC \bot \left( {BDH} \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) chứa \(SC\) nên \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {BDH} \right)\).

c) Ta có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\)

Vì \(\Delta CHO\) và \(\Delta CAS\) đồng dạng nên \(\frac{{HO}}{{AS}} = \frac{{CO}}{{CS}}\), suy ra \(HO = \frac{{CO \cdot AS}}{{CS}} = \frac{a}{2} = \frac{{BD}}{2}\).

Do đó, tam giác \(BDH\) vuông tại \(H\), suy ra \(\widehat {BHD} = {90^ \circ }\).

Ta lại có \(BH \bot SC,DH \bot SC\) nên \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SCD} \right)\).