Giải bài 7.21 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\), cạnh bằng \(a\), góc \(BAD\) bằng \({60^ \circ }\). Kẻ \(OH\) vuông góc với \(SC\) tại \(H\). Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Chứng minh rằng:

a) \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\);

b) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {BDH} \right)\);

c) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SCD} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (ABCD)\\BD \subset (ABCD)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot BD\).

Như vậy \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BD\\AC \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot (SAC)\).

Có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot (SAC)\\BD \subset (SBD)\end{array} \right. \Rightarrow (SBD) \bot (SAC)\).

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot (SAC)\\SC \subset (SAC)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot SC\).

Như vậy \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SC\\OH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot (BDH)\).

Có \(\left\{ \begin{array}{l}SC \bot (BHD)\\SC \subset (SBC)\end{array} \right. \Rightarrow (SBC) \bot (BDH)\).

c) \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (ABCD)\\AC \subset (ABCD)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot AC\).

ABCD là hình thoi cạnh a, \(\widehat {BAD} = {60^o}\) nên \(\Delta BAD\) và \(\Delta BCD\) là các tam giác đều cạnh a, độ dài \(AO = CO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác SAC vuông tại A:

\(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta CHO\) và \(\Delta CAS\):

\(\widehat C\) chung;

\(\widehat {CHO} = \widehat {CAS} = {90^o}\).

Suy ra hai tam giác \(\Delta CHO\) và \(\Delta CAS\) đồng dạng (g.g).

Do đó \(\frac{{HO}}{{SA}} = \frac{{CO}}{{CS}}\)

\( \Rightarrow HO = \frac{{CO.SA}}{{CS}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{a}{2} = \frac{{BD}}{2}\).

Tam giác BDH có trung tuyến \(HO = DO = OB = \frac{{BD}}{2}\) nên tam giác BDH vuông tại H.

Khi đó \(\widehat {BHD} = {90^o} \Rightarrow BH \bot SC\) (1)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot SC\\OH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot (BDH)\).

Như vậy \(\left\{ \begin{array}{l}SC \bot (BDH)\\DH \subset (BDH)\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot DH\) (2)

Từ (1) và (2) được \(\left\{ \begin{array}{l}SC \bot BH\\SC \bot DH\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot (BDH)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}SC \bot (BDH)\\SC \subset (SBC)\end{array} \right. \Rightarrow (SBC) \bot (BDH)\).