Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - ..

Giải bài 4 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) (y = frac{{4{{rm{x}}^2} - 2{rm{x}} + 9}}{{2{rm{x}} - 1}}) trên khoảng (left( {1; + infty } right)); b) (y = frac{{{x^2} - 2}}{{2{rm{x}} + 1}}) trên nửa khoảng (left[ {0; + infty } right)); c) (y = frac{{9{{rm{x}}^2} + 3{rm{x}} + 7}}{{3{rm{x}} - 1}}) trên nửa khoảng (left( {frac{1}{3};5} right]); d) (y = frac{{2{{rm{x}}^2} + 3{rm{x}} - 3}}{{2{rm{x}} + 5}}) trên đoạn (left[ { - 2;4} right]

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9}}{{2{\rm{x}} - 1}}$ trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ ;

b) $y = \frac{{{x^2} - 2}}{{2{\rm{x}} + 1}}$ trên nửa khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$ ;

c) $y = \frac{{9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7}}{{3{\rm{x}} - 1}}$ trên nửa khoảng $\left( {\frac{1}{3};5} \right]$ ;

d) $y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3}}{{2{\rm{x}} + 5}}$ trên đoạn $\left[ { - 2;4} \right]$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ :

Bước 1. Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ thuộc khoảng $\left( {a;b} \right)$ mà tại đó $f'\left( x \right)$ bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính $f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);f\left( b \right)$ .

Bước 3. Gọi $M$ là số lớn nhất và $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)$ .

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9}}{{2{\rm{x}} - 1}}$ trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9} \right)}^\prime }\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9} \right){{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {8{\rm{x}} - 2} \right)\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9} \right).2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{8{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} - 16}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\end{array}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = - 1$ (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ :

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 7$ , hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\left( {1; + \infty } \right)$ .

b) Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2}}{{2{\rm{x}} + 1}}$ trên nửa khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2} \right)}^\prime }\left( {2{\rm{x}} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2} \right){{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{\rm{x}}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2} \right).2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 4}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{2}}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)\\\end{array}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = - 1$ (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$ :

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 2$ , hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ .

c) Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7}}{{3{\rm{x}} - 1}}$ trên nửa khoảng $\left( {\frac{1}{3};5} \right]$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7} \right)}^\prime }\left( {3{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7} \right){{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {18{\rm{x}} + 3} \right)\left( {3{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7} \right).3}}{{{{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{27{{\rm{x}}^2} - 18{\rm{x}} - 24}}{{{{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\\\end{array}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}$ hoặc $x = - \frac{2}{3}$ (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng $\left( {\frac{1}{3};5} \right]$ :

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left( {\frac{1}{3};5} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{4}{3}} \right) = 9$ , hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng $\left( {\frac{1}{3};5} \right]$ .

d) Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3}}{{2{\rm{x}} + 5}}$ trên đoạn $\left[ { - 2;4} \right]$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3} \right)}^\prime }\left( {2{\rm{x}} + 5} \right) - \left( {2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3} \right){{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {4{\rm{x}} + 3} \right)\left( {2{\rm{x}} + 5} \right) - \left( {2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3} \right).2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^2}}} = \frac{{4{{\rm{x}}^2} + 20{\rm{x}} + 21}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^2}}}\\\end{array}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}$ hoặc $x = - \frac{7}{2}$ (loại).

$f\left( { - 2} \right) = \frac{{11}}{9};f\left( { - \frac{3}{2}} \right) = - \frac{3}{2};f\left( 4 \right) = \frac{{41}}{{13}}$

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = \frac{{41}}{{13}},\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{3}{2}} \right) = - \frac{3}{2}$ .

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 5 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) (y = sqrt { - {x^2} + 9} ); b) (y = frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2{rm{x}} + 10}}).
Giải bài 6 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một chất điểm chuyển động theo phương ngang có toạ độ xác định bởi phương trình $x\left( t \right) = - 0,01{t^4} + 0,12{t^3} + 0,3{t^2} + 0,5$ với $x$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây, $0 \le t \le 6$ . Tìm thời điểm mà tốc độ của chất điểm lớn nhất.
Giải bài 7 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho $a$ và $b$ là hai số không âm và có tổng bằng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của ${a^4} + {b^4}$ .
Giải bài 8 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm, người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng (x) (cm) ở bốn góc (Hình 3a) và gấp lại thành một hình hộp không nắp (Hình 3b). Tìm (x) để thể tích của hình hộp là lớn nhất.
Giải bài 9 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho tam giác (ABC) cân tại (A) nội tiếp trong đường tròn tâm (O), bán kính 1 cm. Đặt (widehat A = alpha left( {0 < alpha < pi } right)). a) Viết biểu thức tính diện tích (S) của tam giác (ABC) theo (alpha ). b) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác (ABC).
Giải bài 10 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hình thang cân có đáy nhỏ và hai cạnh bên bằng nhau và bằng 5. Tìm diện tích lớn nhất của hình thang cân đó.
Giải bài 11 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Trong một ngày, tổng chi phí để một xưởng sản xuất $x$ (kg) thành phẩm được cho bởi hàm số $C\left( x \right) = 2{x^3} - 30{x^2} + 177x + 2592$ (nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam thành phẩm là 513 nghìn đồng và công suất tối đa của xưởng là 20 kg trong một ngày. Khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong một ngày là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất?
Giải bài 12 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giá bán $P$ (đồng) của một sản phẩm thay đổi theo số lượng $Q$ sản phẩm $\left( {0 \le Q \le 1500} \right)$ được cung cấp ra thị trường theo công thức $P = \sqrt {1500 - Q}$ . Tính số lượng sản phẩm nên được cung cấp ra thị trường để doanh thu $R = PQ$ lớn nhất.
Giải bài 3 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) $y = \frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} - 3}}$ trên nửa khoảng $\left( {3;4} \right]$ ; b) $y = \frac{{3{\rm{x}} + 7}}{{2{\rm{x}} - 5}}$ trên nửa khoảng $\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)$ ; c) $y = \frac{{3{\rm{x}} + 2}}{{x + 1}}$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ .
Giải bài 2 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) $y = {x^3} - 8{x^2} - 12x + 1$ trên đoạn $\left[ { - 2;9} \right]$ ; b) $y = - 2{x^3} + 9{x^2} - 17$ trên nửa khoảng $\left( { - \infty ;4} \right]$ ; c) $y = {x^3} - 12x + 4$ trên đoạn $\left[ { - 6;3} \right]$ ; d) $y = 2{x^3} - {x^2} - 28x - 3$ trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$ ; e) $y = - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x - 17$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ .
Giải bài 1 trang 16 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 2.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.