Giải bài 10 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo


Cho hình thang cân có đáy nhỏ và hai cạnh bên bằng nhau và bằng 5. Tìm diện tích lớn nhất của hình thang cân đó.

Đề bài

Cho hình thang cân có đáy nhỏ và hai cạnh bên bằng nhau và bằng 5. Tìm diện tích lớn nhất của hình thang cân đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính diện tích hình thang để tính diện tích \(S\left( x \right)\), sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(S\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

Xét hình thang cân \(ABCD\) có đáy nhỏ \(AB\), gọi \(H,K\) lần lượt là chân đường cao kẻ từ \(A\) và \(B\) xuống \(CD\).

Ta có:

\(C{\rm{D}} = 5 + 2{\rm{x}},AH = \sqrt {A{{\rm{D}}^2} - D{H^2}}  = \sqrt {{5^2} - {x^2}}  = \sqrt {25 - {x^2}} \)

Diện tích hình thang là:

\(S = \frac{1}{2}\left( {AB + C{\rm{D}}} \right).AH = \frac{1}{2}\left( {5 + 5 + 2{\rm{x}}} \right).\sqrt {25 - {x^2}}  = \left( {5 + {\rm{x}}} \right).\sqrt {25 - {x^2}} \)

Do \(DH < AD\) nên \({\rm{x}} < 5\).

Xét hàm số \(S\left( x \right) = \left( {5 + {\rm{x}}} \right).\sqrt {25 - {x^2}} \) trên nửa khoảng \(\left[ {0;5} \right)\).

Ta có:

\(S'\left( x \right) = {\left( {5 + {\rm{x}}} \right)^\prime }.\sqrt {25 - {x^2}}  + \left( {5 + {\rm{x}}} \right).{\left( {\sqrt {25 - {x^2}} } \right)^\prime } = \sqrt {25 - {x^2}}  + \left( {5 + {\rm{x}}} \right).\frac{{ - {\rm{x}}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} - 5x + 25}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\)

\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\) hoặc \(x =  - 5\) (loại)

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \(\left[ {0;5} \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right)} S\left( x \right) = S\left( {\frac{5}{2}} \right) = \frac{{75\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy hình thang cân \(ABCD\) có diện tích lớn nhất bằng \(\frac{{75\sqrt 3 }}{4}\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải bài 11 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Trong một ngày, tổng chi phí để một xưởng sản xuất \(x\) (kg) thành phẩm được cho bởi hàm số \(C\left( x \right) = 2{x^3} - 30{x^2} + 177x + 2592\) (nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam thành phẩm là 513 nghìn đồng và công suất tối đa của xưởng là 20 kg trong một ngày. Khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong một ngày là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất?

  • Giải bài 12 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Giá bán \(P\) (đồng) của một sản phẩm thay đổi theo số lượng \(Q\) sản phẩm \(\left( {0 \le Q \le 1500} \right)\) được cung cấp ra thị trường theo công thức \(P = \sqrt {1500 - Q} \). Tính số lượng sản phẩm nên được cung cấp ra thị trường để doanh thu \(R = PQ\) lớn nhất.

  • Giải bài 9 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Cho tam giác (ABC) cân tại (A) nội tiếp trong đường tròn tâm (O), bán kính 1 cm. Đặt (widehat A = alpha left( {0 < alpha < pi } right)). a) Viết biểu thức tính diện tích (S) của tam giác (ABC) theo (alpha ). b) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác (ABC).

  • Giải bài 8 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm, người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng (x) (cm) ở bốn góc (Hình 3a) và gấp lại thành một hình hộp không nắp (Hình 3b). Tìm (x) để thể tích của hình hộp là lớn nhất.

  • Giải bài 7 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Cho \(a\) và \(b\) là hai số không âm và có tổng bằng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \({a^4} + {b^4}\).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí