Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - SBT Toán 1..

Giải bài 4 trang 10 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) (y = frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}); b) (y = frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}); c) (y = frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}); d) (y = frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}).

Đề bài

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:

a) $y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}$;

b) $y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}$;

c) $y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}$;

d) $y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Các bước để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số $f\left( x \right)$:

Bước 1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số.

Bước 2. Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$ của hàm số. Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in D$ mà tại đó đạo hàm $f'\left( x \right)$ bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ theo thứ tự tăng dần, xét dấu $f'\left( x \right)$ và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Ta có $y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 8} \right)}^\prime }\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 8} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} $

$= \frac{{2{\rm{x}}\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 8} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc ${\rm{x}} = - 4$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 4} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$, nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 4; - 1} \right)$ và $\left( { - 1;2} \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=-4,{{y}_{CĐ}}=-4$; hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2,{y_{CT}} = 2$.

b) Xét hàm số $y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Ta có

$\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 8x + 10} \right)}^\prime }\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 10} \right){{\left( {x - 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2{\rm{x}} - 8} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 10} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0\end{array}$

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Hàm số không có cực trị.

c) Xét hàm số $y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$.

Ta có

$\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( { - 2{x^2} + x + 2} \right)}^\prime }\left( {2x - 1} \right) - \left( { - 2{x^2} + x + 2} \right){{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( { - 4{\rm{x}} + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) - \left( { - 2{x^2} + x + 2} \right).2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{ - 4{x^2} + 4{\rm{x}} - 5}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {{\left( {2x - 1} \right)}^2} - 4}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} < 0\end{array}$

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)$ và $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$.

Hàm số không có cực trị.

d) Xét hàm số $y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}$.

Ta có

$\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( { - {x^2} - 6x - 25} \right)}^\prime }\left( {x + 3} \right) - \left( { - {x^2} - 6x - 25} \right){{\left( {x + 3} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\\ = \frac{{ - 2{\rm{x}}\left( {x + 3} \right) - \left( { - {x^2} - 6x - 25} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - {{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 7}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\end{array}$

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc ${\rm{x}} = - 7$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - 7; - 3} \right)$ và $\left( { - 3;1} \right)$, nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 7} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=1,{{y}_{CĐ}}=-8$; hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 7,{y_{CT}} = 8$.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 5 trang 10 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm (m) để a) Hàm số (y = frac{{2{rm{x}} + m}}{{{rm{x}} - 1}}) đồng biến trên từng khoảng xác định. b) Hàm số (y = frac{{ - {x^2} + 3{rm{x}} + m}}{{{rm{x}} + 2}}) nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Giải bài 6 trang 11 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Đạo hàm (f'left( x right)) của hàm số (y = fleft( x right)) có đồ thị như Hình 4. Xét tính đơn điệu và tìm các điểm cực trị của hàm số (y = fleft( x right)).
Giải bài 7 trang 11 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng a) (tan x > x) với mọi (x in left( {0;frac{pi }{2}} right)); b) (ln x le x - 1) với mọi (x > 0).
Giải bài 8 trang 11 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng: a) Phương trình ${x^3} + 5{x^2} - 8{\rm{x}} + 4 = 0$ có duy nhất một nghiệm. b) Phương trình $ - {x^3} + 3{x^2} + 24x - 1 = 0$ có ba nghiệm phân biệt.
Giải bài 9 trang 11 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm $m$ để phương trình $\frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}} = m$ có hai nghiệm phân biệt.
Giải bài 10 trang 11 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một chất điểm chuyển động lên, xuống theo phương thẳng đứng. Độ cao $h\left( t \right)$ của chất điểm tại thời điểm $t$ (giây) được cho bởi công thức $h\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - 4{t^2} + 12t + 1$ với $0 \le t \le 8$. a) Viết công thức tính vận tốc của chất điểm. b) Trong khoảng thời gian nào chất điểm chuyển động lên, trong thời gian nào chất điểm chuyển động đi xuống?
Giải bài 11 trang 11 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Độ cao (tính bằng mét) của tàu lượn siêu tốc so với mặt đất sau $t$(giây) $\left( {0 \le t \le 20} \right)$ từ lúc bắt đầu được cho bởi công thức $h\left( t \right) = - \frac{4}{{255}}{t^3} + \frac{{49}}{{85}}{t^2} - \frac{{98}}{{17}}t + 20$. Trong khoảng thời gian nào tàu lượn đi xuống, trong khoảng thời gian nào tàu lượn đi lên?
Giải bài 12 trang 12 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho điểm $A$ di động trên nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $MN = 20{\rm{ }}cm,\widehat {MOA} = \alpha $ với $0 \le \alpha \le \pi $. Lấy điểm $B$ thuộc nửa đường tròn và $C,D$ thuộc đường kính $MN$ được xác định sao cho $ABCD$ là hình chữ nhật. Khi $A$ di động từ trái sang phải, trong các khoảng nào của $\alpha $ thì diện tích của hình chữ nhật $ABCD$ tăng, trong các khoảng nào của $\alpha $ thì diện tích của hình chữ nhật $ABCD$ giảm?
Giải bài 13 trang 12 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Người ta thấy rằng trong vòng 3 năm tính từ đầu năm 2020, giá thành (P) của một loại sản phẩm vào tháng thứ (t) thay đổi theo công thức (Pleft( t right) = 80{t^3} - 3600{t^2} + 48000t + 100000) (đồng) với (0 le t le 36). Hãy cho biết trong khoảng thời gian nào giá thành sản phẩm tăng, trong khoảng thời gian nào giá thành sản phẩm giảm. Giá thành đạt cực đại và cực tiểu vào thời điểm nào?
Giải bài 14 trang 12 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một cửa hàng ước tính số lượng sản phẩm $q\left( {0 \le q \le 100} \right)$ bán được phụ thuộc vào giá bán $p$ (tính bằng nghìn đồng) theo công thức $p + 2q = 300$. Chi phí cửa hàng cần chi để nhập về $q$ sản phẩm là $C\left( q \right) = 0,05{q^3} - 5,7{q^2} + 295q + 300$ (nghìn đồng). a) Viết công thức tính lợi nhuận $I$ của cửa hàng khi nhập về và bán được $q$ sản phẩm. b) Trong khoảng nào của $q$ thì lợi nhuận sẽ tăng khi $q$ tăng, trong khoảng nào thì lợi nhuận giảm kh
Giải bài 3 trang 10 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) (y = frac{{3{rm{x}} + 1}}{{{rm{x}} - 2}}); b) (y = frac{{2{rm{x}} - 5}}{{3{rm{x}} + 1}}); c) (y = sqrt {4 - {x^2}} ); d) (y = x - ln {rm{x}}).
Giải bài 2 trang 10 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) (y = - {x^3} - 3{x^2} + 24x - 1); b) (y = {x^3} - 8{x^2} + 5x + 2); c) (y = {x^3} + 2{x^2} + 3x + 1); d) (y = - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 2).
Giải bài 1 trang 10 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 3.