Giải bài 2.13 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức>
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = overrightarrow 0 )
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh MNPQ là hình bình hành. Từ đó thực hiện các tính toán với vế trái của đẳng thức cần chứng minh, sử dụng phép cộng vectơ trong hình bình hành, tính chất liên quan đến trung điểm.
Lời giải chi tiết
Xét tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB, N là trung điểm cạnh BC, suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC . Vì vậy \(MN\parallel AC\) và \(MN = \frac{1}{2}AC\).
Tương tự ta cũng có PQ là đường trung bình của tam giác ACD do đó \(PQ\parallel AC\) và \(PQ = \frac{1}{2}AC\). Suy ra \(MN\parallel PQ\) và \(MN = PQ\), do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Khi đó ta có G là trung điểm của mỗi đường chéo MP và NQ.
Suy ra \(\overrightarrow {GM} = - \overrightarrow {GP} \) hay \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \).
Ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GM} + 2\overrightarrow {GP} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} } \right) = \overrightarrow 0 .\)
- Giải bài 2.14 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 2.15 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 2.12 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 2.11 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 2.10 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề minh họa kiểm tra cuối học kì 2 - SBT Toán 12 Kết nối tri thức
- Giải bài 45 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 44 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 43 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 42 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Đề minh họa kiểm tra cuối học kì 2 - SBT Toán 12 Kết nối tri thức
- Giải bài 45 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 44 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 43 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 42 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức